+On a le théorème suivant qui étend le théorème~\ref{thm:prng:u} aux itérations
+généralisées.
+
+\begin{theorem}\label{thm:prng:g}
+ Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{gig}(f)$ son
+ graphe des itérations généralisées, $\check{M}$ la matrice d'adjacence
+ correspondante à ce graphe
+ et $M$ une matrice $2^n\times 2^n$
+ définie par
+ $M = \dfrac{1}{2^n} \check{M}$.
+ Si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe, alors
+ la sortie du générateur de nombres pseudo aléatoires détaillé par
+ l'algorithme~\ref{CI Algorithm:prng:g} suit une loi qui
+ tend vers la distribution uniforme si
+ et seulement si $M$ est une matrice doublement stochastique.
+\end{theorem}
+
+La preuve de ce théorème est la même que celle du théorème~\ref{thm:prng:u}.
+Elle n'est donc pas rappelée.
+
+\begin{xpl}
+
+ On reprend l'exemple donné à la section~\ref{sec:plc}.
+ Dans le $3$-cube, le cycle hamiltonien défini par la séquence
+ $000,100,101,001,011,111,110,010,000$ a été supprimé engendrant
+ la fonction $f^*$ définie par
+ $$f^*(x_1,x_2,x_3)=
+ (x_2 \oplus x_3, \overline{x_1}.\overline{x_3} + x_1\overline{x_2},
+\overline{x_1}.\overline{x_3} + x_1x_2).
+$$
+
+Le graphe $\textsc{gig}(f^*)$ est représenté à la
+Figure~\ref{fig:iteration:f*}.
+La matrice de Markov $M$ correspondante est donnée à
+la figure~\ref{fig:markov:f*}.
+
+\begin{figure}[ht]
+ \begin{center}
+ \subfigure[Graphe $\textsc{gig}(f^*)$
+ \label{fig:iteration:f*}]{
+ \begin{minipage}{0.55\linewidth}
+ \centering
+ \includegraphics[width=\columnwidth]{images/iter_f}%
+ \end{minipage}
+ }%
+ \subfigure[Matrice de Markov associée au $\textsc{gig}(f^*)$
+ \label{fig:markov:f*}]{%
+ \begin{minipage}{0.35\linewidth}
+ \begin{scriptsize}
+ \begin{center}
+ $ \dfrac{1}{4} \left(
+ \begin{array}{cccccccc}
+ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+
+ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
+
+ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
+
+ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+
+ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
+
+ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
+
+ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
+
+ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
+
+ \end{array} \right) $
+ \end{center}
+ \end{scriptsize}
+ \end{minipage}
+ }%
+ \caption{Représentations de $f^*(x_1,x_2,x_3)=
+ (x_2 \oplus x_3, \overline{x_1}.\overline{x_3} + x_1\overline{x_2},
+ \overline{x_1}.\overline{x_3} + x_1x_2)$.}\label{fig1}
+ \end{center}
+\end{figure}
+\end{xpl}
+
+
+
+\begin{table}[ht]
+ \begin{center}
+ \begin{scriptsize}
+ \begin{tabular}{|c|c|l|c|c|}
+ \hline
+ $n$ & fonction & $f(x)$, $f(x)$ pour $x \in [0,1,2,\hdots,2^n-1]$ & $b$ & $b'$ \\
+ \hline
+ 4 & $f^{*4}$ & [13,10,9,14,3,11,1,12,15,4,7,5,2,6,0,8] & \textbf{17} & \textbf{38} \\
+ \hline
+ \multirow{4}{0.5cm}{5}& $f^{*5}$ & [29, 22, 25, 30, 19, 27, 24, 16, 21, 6, 5, 28, 23, 26, 1, & \textbf{13} & 48 \\
+ & & 17, 31, 12, 15, 8, 10, 14, 13, 9, 3, 2, 7, 20, 11, 18, 0, 4] & & \\
+ \cline{2-5}
+ & $g^{*5}$ & [29, 22, 21, 30, 19, 27, 24, 28, 7, 20, 5, 4, 23, 26, 25, & 15 & \textbf{47} \\
+ & & 17, 31, 12, 15, 8, 10, 14, 13, 9, 3, 2, 1, 6, 11, 18, 0, 16
+ & & \\
+
+ \hline
+ \multirow{8}{0.5cm}{6}& $f^{*6}$ &
+ [55, 60, 45, 56, 58, 42, 61, 40, 53, 50, 52, 54, 59, 34, 33, & \multirow{4}{0.5cm}{\textbf{11}}& \multirow{4}{0.5cm}{55}\\
+& & 49, 39, 62, 47, 46, 11, 43, 57, 8, 37, 6, 36, 4, 51, 38, 1, & & \\
+& & 48, 63, 26, 25, 30, 19, 27, 17, 28, 31, 20, 23, 21, 18, 22, & & \\
+& & 16, 24, 13, 12, 29, 44, 10, 14, 41, 0, 15, 2, 7, 5, 35, 3, 9, 32] & &\\
+ \cline{2-5}
+&$g^{*6}$ & [55, 60, 45, 44, 43, 62, 61, 48, 53, 50, 52, 36, 59, 51, 33, & \multirow{4}{0.5cm}{12}& \multirow{4}{0.5cm}{\textbf{54}}\\
+ & & 49, 15, 14, 47, 46, 35, 58, 57, 56, 7, 54, 39, 37, 3, 38, 1, & & \\
+ & & 40, 63, 26, 25, 30, 19, 27, 17, 28, 31, 20, 23, 21, 18, 22, & & \\
+ & & 16, 24, 13, 12, 29, 8, 10, 42, 41, 0, 5, 2, 4, 6, 11, 34, 9, 32] & & \\
+ \hline
+ \multirow{9}{0.5cm}{7} &$f^{*7}$ & [111, 94, 93, 116, 122, 114, 125, 88, 115, 126, 85, 84, 123, & \multirow{9}{0.5cm}{\textbf{10}} & \multirow{9}{0.5cm}{\textbf{63}} \\
+ & & 98, 81, 120, 109, 78, 105, 110, 99, 107, 104, 108, 101, 118, & & \\
+ & & 117, 96, 103, 66, 113, 64, 79, 86, 95, 124, 83, 91, 121, 24, & & \\
+ & & 119, 22, 69, 20, 87, 18, 17, 112, 77, 76, 73, 12, 74, 106, 72, & & \\
+ & & 8, 7, 102, 71, 100, 75, 82, 97, 0, 127, 54, 57, 62, 51, 59, & & \\
+ & & 56, 48, 53, 38, 37, 60, 55, 58, 33, 49, 63, 44, 47, 40, 42, & & \\
+ & & 46, 45, 41, 35, 34, 39, 52, 43, 50, 32, 36, 29, 28, 61, 92, & & \\
+ & & 26, 90, 89, 25, 19, 30, 23, 4, 27, 2, 16, 80, 31, 10, 15, 14, & & \\
+ & & 3, 11, 13, 9, 5, 70, 21, 68, 67, 6, 65, 1] & & \\
+ \hline
+ \multirow{20}{0.5cm}{8} & $f^{*8}$ &
+[223, 190, 249, 254, 187, 251, 233, 232, 183, 230, 247, 180,&
+\multirow{20}{0.5cm}{9}&
+\multirow{20}{0.5cm}{71}\\
+& & 227, 178, 240, 248, 237, 236, 253, 172, 203, 170, 201, 168,& & \\
+& & 229, 166, 165, 244, 163, 242, 241, 192, 215, 220, 205, 216,& & \\
+& & 218, 222, 221, 208, 213, 210, 212, 214, 219, 211, 217, 209,& & \\
+& & 239, 202, 207, 140, 139, 234, 193, 204, 135, 196, 199, 132,& & \\
+& & 194, 130, 225, 200, 159, 62, 185, 252, 59, 250, 169, 56, 191,& & \\
+& & 246, 245, 52, 243, 50, 176, 48, 173, 238, 189, 44, 235, 42,& & \\
+& & 137, 184, 231, 38, 37, 228, 35, 226, 177, 224, 151, 156, 141,& & \\
+& & 152, 154, 158, 157, 144, 149, 146, 148, 150, 155, 147, 153,& & \\
+& & 145, 175, 206, 143, 12, 11, 142, 129, 128, 7, 198, 197, 4, 195,& & \\
+& & 2, 161, 160, 255, 124, 109, 108, 122, 126, 125, 112, 117, 114,& & \\
+& & 116, 100, 123, 98, 97, 113, 79, 106, 111, 110, 99, 74, 121,& & \\
+& & 120, 71, 118, 103, 101, 115, 66, 65, 104, 127, 90, 89, 94, 83,& & \\
+& & 91, 81, 92, 95, 84, 87, 85, 82, 86, 80, 88, 77, 76, 93, 72,& & \\
+& & 107, 78, 105, 64, 69, 102, 68, 70, 75, 67, 73, 96, 55, 58, 45,& & \\
+& & 188, 51, 186, 61, 40, 119, 182, 181, 53, 179, 54, 33, 49, 15,& & \\
+& & 174, 47, 60, 171, 46, 57, 32, 167, 6, 36, 164, 43, 162, 1, 0,& & \\
+& & 63, 26, 25, 30, 19, 27, 17, 28, 31, 20, 23, 21, 18, 22, 16,& & \\
+& & 24, 13, 10, 29, 14, 3, 138, 41, 136, 39, 134, 133, 5, 131,& & \\
+& & 34, 9, 8]&&\\
+ \hline
+ \end{tabular}
+ \end{scriptsize}
+ \end{center}
+\caption{Fonctions avec matrices DSCC et le plus faible temps de mélange}\label{table:functions}
+\end{table}
+
+Le tableau~\ref{table:functions} reprend une synthèse de
+fonctions qui ont été générées selon la méthode détaillée
+à la section~\ref{sec:hamiltonian}.
+Pour chaque nombre $n=3$, $4$, $5$ et $6$,
+tous les cycles hamiltoniens non isomorphes ont été générés. Pour les
+valeur de $n=7$ et $8$, seules $10^{5}$ cycles ont été évalués. Parmi
+toutes les fonctions obtenues en enlevant du $n$-cube ces cycles, n'ont été
+retenues que celles qui minimisaient le temps de mélange relatif à une valeur de
+$\epsilon$ fixée à $10^{-8}$ et pour un mode donné.
+Ce nombre d'itérations (\textit{i.e.}, ce temps de mélange)
+est stocké dans la troisième
+colonne sous la variable $b$.
+La variable $b'$ reprend le temps de mélange pour
+l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
+On note que pour un nombre $n$ de bits fixé et un mode donné d'itérations,
+il peut avoir plusieurs fonctions minimisant ce temps de mélange. De plus, comme ce temps
+de mélange est construit à partir de la matrice de Markov et que celle-ci dépend
+du mode, une fonction peut être optimale pour un mode et ne pas l'être pour l'autre
+(c.f. pour $n=5$).
+
+Un second résultat est que ce nouvel algorithme réduit grandement le nombre
+d'itérations suffisant pour obtenir une faible déviation par rapport à une
+distribution uniforme. On constate de plus que ce nombre décroit avec
+le nombre d'éléments alors qu'il augmente dans l'approche initiale où
+l'on marche.
+
+Cela s'explique assez simplement. Depuis une configuration initiale, le nombre
+de configurations qu'on ne peut pas atteindre en une itération est de:
+\begin{itemize}
+\item $2^n-n$ en unaire. Ceci représente un rapport de
+ $\dfrac{2^n-n}{2^n} = 1-\dfrac{n}{2^n}$
+ de toutes les configurations; plus $n$ est grand,
+ plus ce nombre est proche de $1$, et plus grand devient le nombre
+ d'itérations nécessaires pour atteinte une déviation faible;
+\item $2^n-2^{n-1}$ dans le cas généralisé,
+ soit la moitié de toutes les configurations
+ quel que soit $n$; seul 1 bit reste constant tandis que tous les autres peuvent changer. Plus $n$ grandit, plus la proportion de bits constants diminue.
+\end{itemize}
+
+Cependant, dans le cas généralisé, chaque itération a une complexité
+plus élevée puisqu'il est nécessaire d'invoquer un générateur
+produisant un nombre pseudo-aléatoire dans $[2^{n}]$ tandis qu'il suffit
+que celui-ci soit dans $[n]$ dans le cas unaire.
+Pour comparer les deux approches,
+on considère que le générateur aléatoire embarqué est binaire, \textit{i.e.} ne génère qu'un bit (0 ou 1).
+
+Dans le cas généralisé, si l'on effectue $b$ itérations,
+à chacune d'elles, la stratégie génère un nombre entre
+$1$ et $2^n$. Elle fait donc $n$ appels à ce générateur.
+On fait donc au total $b*n$ appels pour $n$ bits et
+donc $b$ appels pour 1 bit généré en moyenne.
+Dans le cas unaire, si l'on effectue $b'$ itérations,
+à chacune d'elle, la stratégie génère un nombre entre
+$1$ et $n$.
+Elle fait donc $\ln(n)/\ln(2)$ appels à ce générateur binaire en moyenne.
+La démarche fait donc au total $b'*\ln(n)/\ln(2)$ appels pour $n$ bits et
+donc $b'*\ln(n)/(n*\ln(2))$ appels pour 1 bit généré en moyenne.
+Le tableau~\ref{table:marchevssaute} donne des instances de
+ces valeurs pour $n \in\{4,5,6,7,8\}$ et les fonctions
+données au tableau~\ref{table:functions}.
+On constate que le nombre d'appels par bit généré décroit avec $n$ dans le
+cas des itérations généralisées et est toujours plus faible
+que celui des itérations unaires.
+
+
+
+\begin{table}[ht]
+$$
+\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|}
+\hline
+\textrm{Itérations} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
+\hline
+\textrm{Unaires} & 19.0 & 22.3 & 23.7 & 25.3 & 27.0\\
+\hline
+\textrm{Généralisées} & 17 & 13 & 11 & 10 & 9\\
+\hline
+\end{array}
+$$
+\caption{Nombre moyen
+ d'appels à un générateurs binaire par bit généré}\label{table:marchevssaute}
+\end{table}
+
+
+
+
+\section{Tests statistiques}
+
+La qualité des séquences aléatoires produites par
+le générateur des itérations unaires ainsi que
+celles issues des itérations généralisées a été évaluée à travers la suite
+de tests statistiques développée par le
+\emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST).
+En interne, c'est l'implantation de l'algorithme de Mersenne Twister qui
+permet de générer la stratégie aléatoire.
+
+
+
+
+ Pour les 15 tests, le seuil $\alpha$ est fixé à $1\%$:
+ une valeur
+ qui est plus grande que $1\%$ signifie
+ que la chaîne est considérée comme aléatoire avec une confiance de $99\%$.
+
+
+Les tableau~\ref{fig:TEST:generalise} donnent
+une vision synthétique de ces expérimentations.
+Nous avons évalué les fonctions préfixées par
+$f$ (respecitvement $g$) avec les générateurs issus des itérations
+généralisées (resp. unaires).
+Quelle que soit la méthode utilisée, on constate que chacun des
+générateurs passe
+avec succes le test de NIST.
+
+Interpréter ces resultats en concluant que ces générateurs sont
+tous équivalents serait erroné: la meilleur des
+méthodes basées sur le mode des itérations
+généralisées (pour $n=8$ par exemple)
+est au moins deux fois plus rapide que la meilleur de celles qui
+sont basées sur les itérations unaires.
+
+
+
+
+%%%%%%%%% Relancer pour n=6, n=7, n=8
+%%%%%%%%% Recalculer le MT
+%%%%%%%%% Regenerer les 10^6 bits
+%%%%%%%%% Evaluer sur NIST
+
+\begin{table}[ht]
+ \centering
+ \begin{scriptsize}
+
+
+\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|}
+ \hline
+Test & $f^{*5}$ &$f^{*6}$ &$f^{*7}$ &$f^{*8}$ \\ \hline
+Fréquence (Monobit)& 0.401 (0.97)& 0.924 (1.0)& 0.779 (0.98)& 0.883 (0.99)\\ \hline
+Fréquence ds un bloc& 0.574 (0.98)& 0.062 (1.0)& 0.978 (0.98)& 0.964 (0.98)\\ \hline
+Somme Cumulé*& 0.598 (0.975)& 0.812 (1.0)& 0.576 (0.99)& 0.637 (0.99)\\ \hline
+Exécution& 0.998 (0.99)& 0.213 (0.98)& 0.816 (0.98)& 0.494 (1.0)\\ \hline
+Longue exécution dans un bloc& 0.085 (0.99)& 0.971 (0.99)& 0.474 (1.0)& 0.574 (0.99)\\ \hline
+Rang& 0.994 (0.96)& 0.779 (1.0)& 0.191 (0.99)& 0.883 (0.99)\\ \hline
+Fourier rapide& 0.798 (1.0)& 0.595 (0.99)& 0.739 (0.99)& 0.595 (1.0)\\ \hline
+Patron sans superposition*& 0.521 (0.987)& 0.494 (0.989)& 0.530 (0.990)& 0.520 (0.989)\\ \hline
+Patron avec superposition& 0.066 (0.99)& 0.040 (0.99)& 0.304 (1.0)& 0.249 (0.98)\\ \hline
+Statistiques universelles& 0.851 (0.99)& 0.911 (0.99)& 0.924 (0.96)& 0.066 (1.0)\\ \hline
+Entropie approchée (m=10)& 0.637 (0.99)& 0.102 (0.99)& 0.115 (0.99)& 0.350 (0.98)\\ \hline
+Suite aléatoire *& 0.573 (0.981)& 0.144 (0.989)& 0.422 (1.0)& 0.314 (0.984)\\ \hline
+Suite aléatoire variante *& 0.359 (0.968)& 0.401 (0.982)& 0.378 (0.989)& 0.329 (0.985)\\ \hline
+Série* (m=10)& 0.469 (0.98)& 0.475 (0.995)& 0.473 (0.985)& 0.651 (0.995)\\ \hline
+Complexité linaire& 0.129 (1.0)& 0.494 (1.0)& 0.062 (1.0)& 0.739 (1.0)\\ \hline
+
+\end{tabular}
+ \end{scriptsize}
+
+
+\caption{Test de NIST pour les fonctions
+ du tableau~\ref{table:functions} selon les itérations généralisées}\label{fig:TEST:generalise}
+\end{table}
+
+
+\begin{table}[ht]
+ \centering
+ \begin{scriptsize}
+\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|}
+\hline
+Test & $g^{*5}$& $g^{*6}$& $f^{*7}$& $f^{*8}$\\ \hline
+Fréquence (Monobit)& 0.236 (1.0)& 0.867 (0.99)& 0.437 (0.99)& 0.911 (1.0)\\ \hline
+Fréquence ds un bloc& 0.129 (0.98)& 0.350 (0.99)& 0.366 (0.96)& 0.657 (1.0)\\ \hline
+Somme Cumulé*& 0.903 (0.995)& 0.931 (0.985)& 0.863 (0.995)& 0.851 (0.995)\\ \hline
+Exécution& 0.699 (0.98)& 0.595 (0.99)& 0.181 (1.0)& 0.437 (0.99)\\ \hline
+Longue exécution dans un bloc& 0.009 (0.99)& 0.474 (0.97)& 0.816 (1.0)& 0.051 (1.0)\\ \hline
+Rang& 0.946 (0.96)& 0.637 (0.98)& 0.494 (1.0)& 0.946 (1.0)\\ \hline
+Fourier rapide& 0.383 (0.99)& 0.437 (1.0)& 0.616 (0.98)& 0.924 (0.99)\\ \hline
+Patron sans superposition*& 0.466 (0.990)& 0.540 (0.989)& 0.505 (0.990)& 0.529 (0.991)\\ \hline
+Patron avec superposition& 0.202 (0.96)& 0.129 (0.98)& 0.851 (0.99)& 0.319 (0.98)\\ \hline
+Statistiques universelles& 0.319 (0.97)& 0.534 (0.99)& 0.759 (1.0)& 0.657 (0.99)\\ \hline
+Entropie approchée (m=10)& 0.075 (0.97)& 0.181 (0.99)& 0.213 (0.98)& 0.366 (0.98)\\ \hline
+Suite aléatoire *& 0.357 (0.986)& 0.569 (0.991)& 0.539 (0.987)& 0.435 (0.992)\\ \hline
+Suite aléatoire variante *& 0.398 (0.989)& 0.507 (0.986)& 0.668 (0.991)& 0.514 (0.994)\\ \hline
+Série* (m=10)& 0.859 (0.995)& 0.768 (0.99)& 0.427 (0.995)& 0.637 (0.98)\\ \hline
+Complexité linaire& 0.897 (0.99)& 0.366 (0.98)& 0.153 (1.0)& 0.437 (1.0)\\ \hline
+
+\end{tabular}
+\end{scriptsize}
+
+
+\caption{Test de NIST pour les fonctions
+ du tableau~\ref{table:functions} selon les itérations unaires}\label{fig:TEST:unaire}
+\end{table}
+
+
+\begin{table}[ht]
+ \centering
+ \begin{scriptsize}
+
+\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|}
+ \hline
+Test & 5 bits& 6 bits & 7 bits & 8bits \\ \hline
+Fréquence (Monobit)& 0.289 (1.0)& 0.437 (1.0)& 0.678 (1.0)& 0.153 (0.99)\\ \hline
+Fréquence ds un bloc& 0.419 (1.0)& 0.971 (0.98)& 0.419 (0.99)& 0.275 (1.0)\\ \hline
+Somme Cumulé*& 0.607 (0.99)& 0.224 (0.995)& 0.645 (0.995)& 0.901 (0.99)\\ \hline
+Exécution& 0.129 (0.99)& 0.005 (0.99)& 0.935 (0.98)& 0.699 (0.98)\\ \hline
+Longue exécution dans un bloc& 0.514 (1.0)& 0.739 (0.99)& 0.994 (1.0)& 0.834 (0.99)\\ \hline
+Rang& 0.455 (0.97)& 0.851 (0.99)& 0.554 (1.0)& 0.964 (0.99)\\ \hline
+Fourier rapide& 0.096 (0.98)& 0.955 (0.99)& 0.851 (0.97)& 0.037 (1.0)\\ \hline
+Patron sans superposition*& 0.534 (0.990)& 0.524 (0.990)& 0.508 (0.987)& 0.515 (0.99)\\ \hline
+Patron avec superposition& 0.699 (0.99)& 0.616 (0.95)& 0.071 (1.0)& 0.058 (1.0)\\ \hline
+Statistiques universelles& 0.062 (0.99)& 0.071 (1.0)& 0.637 (1.0)& 0.494 (0.98)\\ \hline
+Entropie approchée (m=10)& 0.897 (0.99)& 0.383 (0.99)& 0.366 (1.0)& 0.911 (0.99)\\ \hline
+Suite aléatoire *& 0.365 (0.983)& 0.442 (0.994)& 0.579 (0.992)& 0.296 (0.993)\\ \hline
+Suite aléatoire variante *& 0.471 (0.978)& 0.559 (0.992)& 0.519 (0.987)& 0.340 (0.995)\\ \hline
+Série* (m=10)& 0.447 (0.985)& 0.298 (0.995)& 0.648 (1.0)& 0.352 (0.995)\\ \hline
+Complexité linaire& 0.005 (0.98)& 0.534 (0.99)& 0.085 (0.97)& 0.996 (1.0)\\ \hline
+
+\end{tabular}
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+
+
+
+ \end{scriptsize}
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+\caption{Test de NIST pour l'algorithme de Mersenne Twister}\label{fig:TEST:Mersenne}
+\end{table}
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