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[hdrcouchot.git] / caracgeneralise.tex

diff --git a/caracgeneralise.tex b/caracgeneralise.tex
index 0427db87648bac22bf28aab93b5943f6f6cb4475..9ebc5d18756a7df426ec906a43b52ae95fdcb881 100644 (file)
--- a/caracgeneralise.tex
+++ b/caracgeneralise.tex
@@ -1,11 +1,10 @@
 
 

-Commençons par caractériser l'ensemble $\mathcal{T}$ des fonctions transitives:
+Commençons par caractériser l'ensemble $\mathcal{T}$ des fonctions transitives dans le cas 
+des itérations généralisées.

 
 

-\begin{theorem} $G_{f_g}$  est transitive si et seulement si 
- $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
+\caractransitivegeneralise*

 
 

-\begin{Proof} 
+\begin{proof} 

 
 $\Longleftarrow$ Supposons que $\textsc{gig}(f)$ soit fortement connexe.
 Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}_g$ et  $\varepsilon >0$. 
 
 $\Longleftarrow$ Supposons que $\textsc{gig}(f)$ soit fortement connexe.
 Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}_g$ et  $\varepsilon >0$. 


@@ -50,17 +49,15 @@ Pour tout entier naturel $t$, on a
 $G_{f_g}^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
 Ainsi $G_{f_g}$ n'est pas transitive et 
 par contraposée, on a la démonstration souhaitée.
 $G_{f_g}^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
 Ainsi $G_{f_g}$ n'est pas transitive et 
 par contraposée, on a la démonstration souhaitée.

-\end{Proof}
+\end{proof}

 
 
 Prouvons à présent le théorème suivant: 
 
 
 
 Prouvons à présent le théorème suivant: 
 

-\begin{theorem}
-\label{Prop: T est dans R} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
-\end{theorem}
+\caracsubgeneralise*

 
 
 
 

-\begin{Proof}  
+\begin{proof}  

 Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $G_{f_g}$ est transitive (\textit{i.e.}
 $f$ appartient à $\mathcal{T}$). 
 Soit $(x,S) \in\mathcal{X}_g$ et $\varepsilon >0$. Pour 
 Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $G_{f_g}$ est transitive (\textit{i.e.}
 $f$ appartient à $\mathcal{T}$). 
 Soit $(x,S) \in\mathcal{X}_g$ et $\varepsilon >0$. Pour 


@@ -85,13 +82,7 @@ Il est évident que  $(x,\tilde S)$ s'obtient à partir de  $(x,\tilde S)$ aprè
 $t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_g}$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point 
 périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le 
 choix de  $t_1$, on a  $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.
 $t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_g}$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point 
 périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le 
 choix de  $t_1$, on a  $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.

-\end{Proof}
+\end{proof}

 
 On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
 
 On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}

-= \mathcal{T}$. On a alors la  caractérisation suivante:
-
-\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
-\label{Th:CaracIC}  
-Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_g}$ est chaotique  
-si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
+= \mathcal{T}$. 
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