-\begin{Proof}
+\begin{proof}
$\Longleftarrow$ Supposons que $\textsc{giu}(f)$ soit fortement connexe.
Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}_u$ et $\varepsilon >0$.
$G_{f_u}^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
Ainsi $G_{f_u}$ n'est pas transitive et
par contraposée, on a la démonstration souhaitée.
-\end{Proof}
+\end{proof}
Prouvons à présent le théorème suivant:
\end{theorem}
-\begin{Proof}
+\begin{proof}
Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que $G_{f_u}$ est transitive (\textit{i.e.}
$f$ appartient à $\mathcal{T}$).
Soit $(x,S) \in\mathcal{X}_u$ et $\varepsilon >0$. Pour
$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_u}$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point
périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le
choix de $t_1$, on a $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.
-\end{Proof}
+\end{proof}
On peut conclure que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
= \mathcal{T}$. On a alors la caractérisation suivante:
\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
-\label{Th:CaracIC}
+\label{Th:CaracIC:up}
Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique
si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
\end{theorem}
