ajout de quelques tex

[hdrcouchot.git] / annexesccg.tex

diff --git a/annexesccg.tex b/annexesccg.tex
index 9d32b2236fe3e6ba698471e0c8688586ecf9adb0..d6843dcd3f4429fbe33c07e59bd41bad2cd9d87e 100644 (file)
--- a/annexesccg.tex
+++ b/annexesccg.tex
@@ -23,7 +23,7 @@ arcs dont ${\mathsf{N}}$ est soit l'extrémité, soit l'origine (et dans ce dern
 cas, les arcs sont des boucles sur ${\mathsf{N}}$).
 \end{lemma}
 
-\begin{Proof}
+\begin{proof}
 Supposons que $G(f^{\alpha})$ possède un arc de  $j$ vers $i$ de signe 
 $s$. Par définition, il existe un sommet $x\in\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ tel que
 $f^{\alpha}_{ij}(x)=s$, et puisque 
@@ -42,13 +42,13 @@ Ainsi $f_{ij}(x,\alpha)$ est égal à $s$.
 On a donc aussi
 $f^{\alpha}_{ij}(x)=s$. Ainsi $G(f^\alpha)$ possède un arc 
 arc de $j$ vers $i$ de signe $s$.
-\end{Proof}
+\end{proof}
 
 \begin{lemma}\label{lemma:iso}
 Les graphes $\textsc{giu}(f^\alpha)$ et $\textsc{giu}(f)^\alpha$ sont isomorphes.
 \end{lemma}
 
-\begin{Proof}
+\begin{proof}
 Soit $h$ la bijection de $\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$ vers
 $\Bool^{{\mathsf{N}}-1}\times \{\alpha\}$ définie par $h(x)=(x,\alpha)$ pour chaque
 $x\in\Bool^{{\mathsf{N}}-1}$.
@@ -56,11 +56,13 @@ On voit facilement que $h$ permet de définir un isomorphisme
 entre $\textsc{giu}(f^\alpha)$ et $\textsc{giu}(f)^\alpha$: 
 $\textsc{giu}(f^\alpha)$ possède un arc de $x$ vers $y$ si et seulement si 
 $\textsc{giu}(f)^\alpha$ a un  arc de $h(x)$ vers $h(y)$.
-\end{Proof}
+\end{proof}
 
 
-\begin{Proof}
-du Théorème~\ref{th:Adrien}.
+On peut alors prouver le théorème:
+\thAdrien*
+
+\begin{proof}
 La preuve se fait par induction sur ${\mathsf{N}}$. 
 Soit $f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans lui-même et qui vérifie les hypothèses 
 du théorème.
@@ -92,7 +94,7 @@ En d'autres mots, il suffit de prouver que:
 On suppose tout d'abord que ${\mathsf{N}}$ a une boucle 
 négative.
 Alors, d'après la définition de 
-$G(f)$, il existe $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$ tel que $f_{{\mathsf{N}}{\mathsf{N}}}(x)<0$. 
+$G(f)$, il existe $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$ tel que $f_{{\mathsf{N}}}(x)<0$. 
 Ainsi si $x_{\mathsf{N}}=0$, on a  $f_{\mathsf{N}}(x)>f_{\mathsf{N}}(\overline{x}^{\mathsf{N}})$, et donc 
 $x_{\mathsf{N}}=0\neq f_{\mathsf{N}}(x)$ et
 $\overline{x}^{\mathsf{N}}_{\mathsf{N}}=1\neq f_{\mathsf{N}}(\overline{x}^{\mathsf{N}})$; 
@@ -106,7 +108,7 @@ D'après la seconde hypothèse,
 ${\mathsf{N}}$ n'a pas de boucle, \emph{i.e.}, la valeur de $f_{\mathsf{N}}(x)$
 ne dépend pas de la valeur de $x_{\mathsf{N}}$. 
 D'après la troisième hypothèse, 
-il existe $i\in \llbracket 1;{\mathsf{N}} \rrbracket$ tel que $G(f)$ a un arc de 
+il existe $i\in [{\mathsf{N}}]$ tel que $G(f)$ a un arc de 
 $i$ vers ${\mathsf{N}}$.
 Ainsi, il existe $x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ tel que $f_{{\mathsf{N}}i}(x) \neq 0$ et donc 
 %$n$ n'est donc pas de degré zéro dans $G(f)$, \emph{i.e.} 
@@ -120,7 +122,7 @@ Puisque la valeur de $f_{\mathsf{N}}(x)$
 on a $f_{\mathsf{N}}(x')=f_{\mathsf{N}}(x)=1\neq x'_{\mathsf{N}}$ (resp. $f_{\mathsf{N}}(y')=f_{\mathsf{N}}(y)=0\neq
 y'_{\mathsf{N}}$). 
 Ainsi la  condition ($*$) est établie, et le théorème est prouvé.
-\end{Proof}
+\end{proof}