ajout de quelques tex

[hdrcouchot.git] / caracunaire.tex

diff --git a/caracunaire.tex b/caracunaire.tex
index c74aaf063e463c156d6342829e7e9ceca306731c..35b28b5d6525b6e45f219d4264030b35528ad129 100644 (file)
--- a/caracunaire.tex
+++ b/caracunaire.tex
@@ -8,7 +8,7 @@ On prouve les théorèmes suivants
 
 
 
 
 
 

-\begin{Proof} 
+\begin{proof} 

 
 $\Longleftarrow$ Supposons que $\textsc{giu}(f)$ soit fortement connexe.
 Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}_u$ et  $\varepsilon >0$. 
 
 $\Longleftarrow$ Supposons que $\textsc{giu}(f)$ soit fortement connexe.
 Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}_u$ et  $\varepsilon >0$. 


@@ -53,7 +53,7 @@ Pour tout entier naturel $t$, on a
 $G_{f_u}^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
 Ainsi $G_{f_u}$ n'est pas transitive et 
 par contraposée, on a la démonstration souhaitée.
 $G_{f_u}^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
 Ainsi $G_{f_u}$ n'est pas transitive et 
 par contraposée, on a la démonstration souhaitée.

-\end{Proof}
+\end{proof}

 
 
 Prouvons à présent le théorème suivant: 
 
 
 Prouvons à présent le théorème suivant: 


@@ -63,7 +63,7 @@ Prouvons à présent le théorème suivant:
 \end{theorem}
 
 
 \end{theorem}
 
 

-\begin{Proof}  
+\begin{proof}  

 Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $G_{f_u}$ est transitive (\textit{i.e.}
 $f$ appartient à $\mathcal{T}$). 
 Soit $(x,S) \in\mathcal{X}_u$ et $\varepsilon >0$. Pour 
 Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $G_{f_u}$ est transitive (\textit{i.e.}
 $f$ appartient à $\mathcal{T}$). 
 Soit $(x,S) \in\mathcal{X}_u$ et $\varepsilon >0$. Pour 


@@ -88,13 +88,13 @@ Il est évident que  $(x,\tilde S)$ s'obtient à partir de  $(x,\tilde S)$ aprè
 $t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_u}$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point 
 périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le 
 choix de  $t_1$, on a  $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.
 $t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_u}$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point 
 périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le 
 choix de  $t_1$, on a  $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.

-\end{Proof}
+\end{proof}

 
 On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
 = \mathcal{T}$. On a alors la  caractérisation suivante:
 
 \begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
 
 On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
 = \mathcal{T}$. On a alors la  caractérisation suivante:
 
 \begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]

-\label{Th:CaracIC}  
+\label{Th:CaracIC:up}  

 Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique  
 si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 \end{theorem}
 Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique  
 si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 \end{theorem}