Prouvons que la matrice de Markov associée est doublement stochastique par induction
sur la longueur $l$.
Pour $l=1$ et $l=2$ la preuve est évidente.
-Considérons que le résulat est établi jusqu'à $l=2k$ avec $k \in \Nats$.
+Considérons que le résultat est établi jusqu'à $l=2k$ avec $k \in \Nats$.
On montre d'abord que la double stochasticité est établie pour $l=2k+1$.
En suivant les notations introduites à la section~\ref{anx:sccg}, soit
Dans $\textsc{giu}(f_{2k+1})$, deux sortes d'arcs pointent vers $(x_1,\dots,x_{2k},0)$.
Ceux qui sont de la forme $(y_1,\dots,y_{2k},0)$, où un seul des $y_i$ est différent de $x_i$,
et leur nombre est celui des arcs qui pointent vers $(x_1,\dots,x_{2k})$ dans $\textsc{giu}(f_{2k})$.
-L'arc $(x_1,\dots,x_{2k},0) \to (x_1,\dots,x_{2k},0)$ qui existe d'après la définition de $f_l$
+L'arc $(x_1,\dots,x_{2k},0) \to (x_1,\dots,x_{2k},0)$ qui existe d'après la définition de $f_l$.
De même pour le nombre d'arcs dont l'extrémité est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},1)$.
Par hypothèse d'induction, la chaîne de Markov associée à $\textsc{giu}(f_{2k})$
est doublement stochastique.
Montrons à présent la double stochasticité pour $l=2k+2$.
La fonction $f_l$ est définie par $f_l(x)= (\overline{x_1},x_2 \oplus x_{1},\dots,\overline{x_{2k+1}},x_{2k+2} \oplus x_{2k+1})$. On se concentre sur
$\textsc{giu}(f_{2k+2})^0$ et $\textsc{giu}(f_{2k+2})^1$ qui sont isomorphes à $\textsc{giu}(f_{2k+1})$.
-Parmi les configurations de $\Bool^{2k+2}$, seuls quatre suffixes de longueur 2 peuvent appraître:
+Parmi les configurations de $\Bool^{2k+2}$, seuls quatre suffixes de longueur 2 peuvent apparaître:
$00$, $10$, $11$ et $01$.
Puisque
$f_{2k+2}(\dots,0,0)_{2k+2}=0$, $f_{2k+2}(\dots,1,0)_{2k+2}=1$,
-$f_{2k+2}(\dots,1,1)_{2k+2}=0$ et $f_{2k+2}(\dots,0,1)_{2k+2}=1$, le nombre d'arcs dont les extrémités est
+$f_{2k+2}(\dots,1,1)_{2k+2}=0$ et $f_{2k+2}(\dots,0,1)_{2k+2}=1$, le nombre d'arcs dont les extrémités sont
\begin{itemize}
\item $(x_1,\dots,x_{2k},0,0)$
est le même que celui dont l'extrémité est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},0)$ dans $\textsc{giu}(f_{2k+1})$
- auquel on ajoute 1 (une boucle autours des configurations $(x_1,\dots,x_{2k},0,0)$);
+ auquel on ajoute 1 (une boucle autour des configurations $(x_1,\dots,x_{2k},0,0)$);
\item $(x_1,\dots,x_{2k},1,0)$
est le même que celui dont l'extrémité est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},0)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$
auquel on ajoute 1 (l'arc entre les configurations $(x_1,\dots,x_{2k},1,1)$ et les configurations
$(x_1,\dots,x_{2k},1,0)$);
\item $(x_1,\dots,x_{2k},0,1)$
est le même que celui dont l'extrémité est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},0)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$
- auquel on ajoute 1 (une boucle autours des configurations $(x_1,\dots,x_{2k},0,1)$);
+ auquel on ajoute 1 (une boucle autour des configurations $(x_1,\dots,x_{2k},0,1)$);
\item $(x_1,\dots,x_{2k},1,1)$
est le même que celui dont l'extrémité est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},1)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$
auquel on ajoute 1 (l'arc entre les configurations
