ajout d'intro et de conclusion

[hdrcouchot.git] / 11FCT.tex

diff --git a/11FCT.tex b/11FCT.tex
index 5c7747a5a9b005bd86b99cb9a5ab816b635e3302..498af15728ed7b8bd18973914144a93bf59f5fd0 100644 (file)
--- a/11FCT.tex
+++ b/11FCT.tex
@@ -55,19 +55,39 @@ $f_j$ et qui permet de n'engendrer que des fonctions
 $f$ dont le  graphe d'itérations
  $\textsc{giu}(f)$  est fortement connexe.
 
 $f$ dont le  graphe d'itérations
  $\textsc{giu}(f)$  est fortement connexe.
 

-\begin{theorem}\label{th:Adrien}
+\begin{restatable}{theorem}{thAdrien}
+\label{th:Adrien}

 Soit $f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ vers lui-même telle que:
 \begin{enumerate}
 \item 
 Soit $f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ vers lui-même telle que:
 \begin{enumerate}
 \item 

-$G(f)$ n'a pas de cycle de longueur supérieure ou égale à deux;
+$\Gamma(f)$ n'a pas de cycle de longueur supérieure ou égale à deux;

 \item 
 \item 

-chaque sommet de  $G(f)$ qui possède une boucle 
+chaque sommet de  $\Gamma(f)$ qui possède une boucle 

 positive a aussi une boucle négative;
 \item
 positive a aussi une boucle négative;
 \item

-chaque sommet de $G(f)$ est accessible depuis un sommet qui possède 
+chaque sommet de $\Gamma(f)$ est accessible depuis un sommet qui possède 

 une boucle négative.
 \end{enumerate}
 Alors, $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 une boucle négative.
 \end{enumerate}
 Alors, $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.

-\end{theorem}
+\end{restatable}

 
 La preuve de ce théorème est donnée en annexe~\ref{anx:sccg}.
 
 La preuve de ce théorème est donnée en annexe~\ref{anx:sccg}.

+
+Illustrons ce théorème par un exemple. On considère le graphe d'interactions 
+$\Gamma(f)$ donné en figure~\ref{fig:Adrien:G}. 
+Il vérifie le théorème~\ref{th:Adrien}: 
+toutes les fonctions $f$ possédant un tel graphe d'interactions
+ont un graphe d'itérations  $\textsc{giu}(f)$ fortement connexe.
+Pratiquement, il existe 34226 fonctions de $\Bool^4$ dans lui même qui 
+vérifient ce graphe d'intéraction. 
+Cependant, nombreuses sont celles qui possèdent un comportement équivalent.
+Deux fonctions sont équivalentes si leurs \textsc{giu} sont isomorphes 
+(au sens de l'isomorphisme de graphes). Il ne reste alors plus que 
+520 fonctions $f$ non équivalentes de graphe d'interactions $\Gamma(f)$.
+
+\begin{figure}%[h]
+  \begin{center}
+    \includegraphics[scale=0.5]{images/Gi.pdf}
+  \end{center}
+\caption{Exemple de graphe d'interactions vérifiant le théorème~\ref{th:Adrien}} \label{fig:Adrien:G}
+\end{figure}