On a vu dans le chapitre précédent que pour avoir
un générateur à sortie
uniforme, il est nécessaire que la matrice d'adjacence du graphe d'itération du
-système soit doublement stochastique. Nous présentons dans cette partie une
-méthode permettant de générer de telles matrices.
-
-Les approches théoriques basées sur la programmation logique par contraintes sur
-domaines finis ne sont pas envisageables en pratique dès que la taille des
-matrices considérées devient suffisamment grande.
-
+système soit doublement stochastique. Nous présentons dans cette partie
+des méthodes effectives permettant de générer de telles matrices.
+La première est basée sur la programmation logique par contraintes
+(Section~\ref{sec:plc}).
+Cependant celle-ci souffre de ne pas passer à l'échelle et ne fournit pas
+une solution en un temps raisonnable dès que la fonction à engendrer
+porte sur un grand nombre de bits.
Une approche plus pragmatique consiste à supprimer un cycle hamiltonien dans le
-graphe d'itérations, ce qui revient à supprimer en chaque n{\oe}ud de ce graphe une
-arête sortante et une arête entrante.
+graphe d'itérations $\textsc{giu}(\neg)$ (section~\ref{sec:hamiltonian}).
+Pour obtenir plus rapidement une distribution uniforme, l'idéal serait
+de supprimer un cycle hamiltonien qui nierait autant de fois chaque bit.
+Cette forme de cycle est dite équilibré. La section~\ref{sub:gray} établit le
+lien avec les codes de Gray équilibrés, étudiés dans la littérature.
+La section suivante présente une démarche de génération automatique de code de Gray équilibré (section~\ref{sec:induction}).
+La vitesse avec laquelle l'algorithme de PRNG converge en interne vers
+une distribution uniforme est étudiée théoriquement et pratiquement à la
+section~\ref{sec:mixing}.
+L'extension du travail aux itérations généralisées est présentée à la
+section~\ref{sec:prng:gray:general}.
+Finalement, des instances de PRNGS engendrés selon les méthodes détaillées dans
+ce chapitre sont présentés en section~\ref{sec:prng;gray:tests}.
+Les sections~\ref{sec:plc} à~\ref{sub:gray} ont été publiées
+à~\cite{chgw+14:oip}.
% This aim of this section is to show
% This part is addressed in the first section. Next, we analyse the first
% results to provide a generation of DSSC matrices with small mixing times.
-\section{Programmation logique par contraintes sur des domaines finis}
+\section{Programmation logique par contraintes sur des domaines finis}\label{sec:plc}
Tout d'abord, soit ${\mathsf{N}}$ le nombre d'éléments.
Pour éviter d'avoir à gérer des fractions, on peut considérer que
les matrices (d'incidence) à générer ont des lignes et des colonnes dont les
\item pour chaque indice de colonne $j$,
$1 \le j\le 2^{\mathsf{N}}$, ${\mathsf{N}} = \sum_{1 \le i\le 2^{\mathsf{N}}} M_{ij}$:
la matrice est stochastique à gauche;
-\item Toutes les éléments de la somme $\sum_{1\le k\le 2^{\mathsf{N}}}M^k$ sont strictement positif, \textit{i.e.}, le graphe $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe;
+\item Tous les éléments de la somme $\sum_{1\le k\le 2^{\mathsf{N}}}M^k$ sont strictement positifs, \textit{i.e.}, le graphe $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe;
\end{enumerate}
Ce problème s'exprime sur des domaines finis entiers avec des opérateurs
-arithmétiques simples (sommes et produits). il pourrait théoriquement être
+arithmétiques simples (sommes et produits). Il pourrait théoriquement être
traité par des démarches de programmation logique par contrainte
sur des domaines finis (comme en PROLOG).
L'algorithme donné en Figure~\ref{fig:prolog}
\verb+summ(+$X,Y,R$\verb+)+
valent True si et seulement si $R$
est le produit matriciel (ou la somme matricielle)
-entre $X$ and $Y$ respectivement.
-il n'est pas difficile d'adapter ce code à n'importe quelle valeur
+entre $X$ et $Y$ respectivement.
+Il n'est pas difficile d'adapter ce code à n'importe quelle valeur
entière naturelle $\mathsf{N}$.
\begin{figure}[ht]
\end{figure}
Enfin, on définit la relation $\mathcal{R}$, qui est établie pour les deux
-fonctions $f$ et $g$ si leur graphes
-respectifs $\textsf{giu}(f)$ et $\textsf{giu}(g)$
+fonctions $f$ et $g$ si leurs graphes
+respectifs $\textsc{giu}(f)$ et $\textsc{giu}(g)$
sont isomorphes.
C'est évidemment une relation d'équivalence.
-\subsection{Analyse de l'approche}\label{sub:prng:ana}
-Exécutée sur un ordinateur personnelle, PROLOG trouve
+%\subsection{Analyse de l'approche}\label{sub:prng:ana}
+Exécutée sur un ordinateur personnel, PROLOG trouve
en moins d'une seconde les
49 solutions pour $n=2$,
dont 2 seulement ne sont pas équivalentes,
pas être retenue pour $n$ de grande taille, même
en s'appuyant sur l'efficience de l'algorithme de backtrack natif de PROLOG.
-Cependant, pour des valeurs de $n$ petites, nous avons
+Cependant, pour des petites valeurs de $n$, nous avons
comparé les fonctions non équivalentes selon leur proportion
-à engendrer des temps de mélange petits (cf. équation~\ref{eq:mt:ex}).
+à engendrer des temps de mélange petits (cf. équation~(\ref{eq:mt:ex})).
\end{table}
\end{xpl}
-Une analyse syntaxique de ces fonctions ne permet pas, à priori,
+Une analyse syntaxique de ces fonctions ne permet pas, a priori,
de déduire des règles permettant de construire de nouvelles
-fonction dont le temps de mélange serait faible.
+fonctions dont le temps de mélange serait faible.
Cependant, le graphe $\textsc{giu}(f^*)$
(donné à la Figure~\ref{fig:iteration:f*})
est le $3$-cube dans lequel le cycle
$000,100,101,001,011,111,110,010,000$
-a été enlevé. Dans cette figure, le le graphe $\textsc{giu}(f)$ est
+a été enlevé. Dans cette figure, le graphe $\textsc{giu}(f)$ est
en continu tandis que le cycle est en pointillés.
Ce cycle qui visite chaque n{\oe}ud exactement une fois est un
\emph{cycle hamiltonien}.
-\section{Graphes
- $\textsc{giu}(f)$
- $\textsc{gig}(f)$
- fortement connexes et doublement stochastiques}\label{sec:gen:dblstc}
-% Secrypt 14
+% section{Graphes
+% $\textsc{giu}(f)$
+% $\textsc{gig}(f)$
+% fortement connexes et doublement stochastiques}\label{sec:gen:dblstc}
+% %
+%Secrypt 14
-\subsection{Suppression des cycles hamiltoniens}
+\section{Suppression des cycles hamiltoniens}
\label{sec:hamiltonian}
-Dans un premier temps, nous montrons en section~\ref{sub:removing:theory} que la
+Dans un premier temps, nous montrons %en section~\ref{sub:removing:theory}
+que la
suppression d'un cycle hamiltonien produit bien des matrices doublement
stochastiques. Nous établissons ensuite le lien avec les codes de Gray
équilibrés.
-\subsubsection{Aspects théoriques}
-\label{sub:removing:theory}
+%\subsubsection{Aspects théoriques}
+%\label{sub:removing:theory}
Nous donnons deux résultats complémentaires, reliant la suppression d'un cycle
hamiltonien du $n$-cube, les matrices doublement stochastiques et la forte
La suppression d'un cycle hamiltonien dans une matrice de Markov $M$, issue du
$n$-cube, produit une matrice doublement stochastique.
\end{theorem}
-\begin{Proof}
+\begin{proof}
Un cycle hamiltonien passe par chaque n{\oe}ud une et une seule fois.
Pour chaque n{\oe}ud $v$ dans le $n$-cube $C_1$,
une arête entrante $(o,v)$ et une arête sortante $(v,e)$
-est ainsi enlevée.
+sont ainsi enlevées.
Considérons un autre $n$-cube $C_2$ auquel on ajoute les arêtes
pour le rendre complet. La matrice de Markov $M$ correspondante est
remplie de $\frac{1}{2^n}$ et est doublement stochastique.
Dans $M$ les $2^{n-1}$ coefficients correspondants sont mis à 0 et
$M_{vv}$ vaut alors $\frac{2^{n-1} +1}{2}$.
$M$ est donc doublement stochastique.
-\end{Proof}
+\end{proof}
\end{theorem}
-\begin{Proof}
+\begin{proof}
On considère les deux $n$-cubes $C_1$ et $C_2$ définis
dans la preuve du théorème~\ref{th:supprCH}.
Dans $C_1$ on considère le cycle inverse $r$ du cycle
Aucun arc n'appartient à la fois à $r$ et à $c$:
en effet, sinon $c$ contiendrait un n{\oe}ud deux fois.
Ainsi aucune arête de $r$ n'est enlevée dans $C_1$.
-Le cycle $r$ est évidement un cycle hamiltonien et contient tous les n{\oe}uds.
-Tous les n{\oe}uds de $C_1$ dans lequel $c$ a été enlevé sont accessibles
-depuis n'importe quel n{\oe}ud. Le graphe des itérations $\textsf{giu}$ qui
+Le cycle $r$ est évidemment un cycle hamiltonien et contient tous les n{\oe}uds.
+Tous les n{\oe}uds de $C_1$ dans lesquels $c$ a été enlevé sont accessibles
+depuis n'importe quel n{\oe}ud. Le graphe des itérations $\textsc{giu}$ qui
étend le précédent graphe est ainsi fortement connexe.
-\end{Proof}
+\end{proof}
%Les preuves, relativement directes, sont laissées en exercices au lecteur.
-La génération de cycles hamiltoniens dans le
-$n$-cube, ce qui revient à trouver des \emph{codes de Gray cycliques}. On
-rappelle que les codes de Gray sont des séquences de mots binaires de taille
-fixe ($n$), dont les éléments successifs ne différent que par un seul bit. Un
+Générer un cycle hamiltonien dans le
+$n$-cube revient à trouver un \emph{code de Gray cyclique}. On
+rappelle qu'un code de Gray est une séquence de mots binaires de taille
+fixe ($\mathsf{N}$), dont les éléments successifs ne différent que par un seul bit. Un
code de Gray est \emph{cyclique} si le premier élément et le dernier ne
différent que par un seul bit.
-\subsection{Lien avec les codes de Gray cycliques (totalement) équilibrés}
+\section{Lien avec les codes de Gray cycliques (totalement) équilibrés}
\label{sub:gray}
-La borne inférieure du nombre de codes de Gray ($\left(\frac{n*\log2}{e \log
+Un minorant du nombre de codes de Gray ($\left(\frac{n*\log2}{e \log
\log n}\times(1 - o(1))\right)^{2^n}$), donnée dans~\cite{Feder2009NTB},
indique une explosion combinatoire pour notre recherche. Afin de contourner
cette difficulté, nous nous restreignons aux codes induisant un graphe
-d'itérations $\textsf{giu}(f)$ \emph{uniforme}. Cette uniformité se traduit par des
+d'itérations $\textsc{giu}(f)$ \emph{uniforme}. Cette uniformité se traduit par des
nombres d'arcs équilibrés entre les \emph{dimensions} du graphe, la dimension
$i$ correspondant aux seules variations du bit $i$ (parmi les $n$ bits au
total). Cette approche revient à chercher des codes de Gray cycliques
\emph{équilibrés}.
-Un code de Gray équilibré peut être défini de la façon suivante :
-
-\begin{Def}[Code de Gray cyclique équilibré]\label{def:grayequ}
- Soit $L = w_1, w_2, \dots, w_{2^n}$ la séquence d'un code de Gray cyclique à
- $n$ bits. Soit $S = s_1, s_2, \dots, s_{2^n}$ la séquence des transitions où
- $s_i$, $1 \le i \le 2^n$ est l'indice du seul bit qui varie entre les mots
- $w_i$ et $w_{i+1}$. Enfin, soit $\textit{NT}_n : \{1,\dots, n\} \rightarrow
- \{0, \ldots, 2^n\}$ la fonction qui au paramètre $i$ associe le \emph{nombre
- de transitions} présentes dans la séquence $L$ pour le bit $i$, c'est-à-dire
- le nombre d'occurrences de $i$ dans $S$.
+On formalise un code de Gray équilibré comme suit.
+Soit $L = w_1, w_2, \dots, w_{2^n}$ la séquence d'un code de Gray cyclique à
+$n$ bits. Soit $S = s_1, s_2, \dots, s_{2^n}$ la séquence des transitions où
+$s_i$, $1 \le i \le 2^n$ est l'indice du seul bit qui varie entre les mots
+$w_i$ et $w_{i+1}$. Enfin, soit $\textit{TC}_n : \{1,\dots, n\} \rightarrow
+\{0, \ldots, 2^n\}$ la fonction qui au paramètre $i$ associe le \emph{nombre
+ de transitions} présentes dans la séquence $L$ pour le bit $i$, c'est-à-dire
+le nombre d'occurrences de $i$ dans $S$.
- Le code $L$ est \textbf{équilibré} si $\forall
- i,j\in\{1,...,n\},~|\textit{NT}_n(i) - \textit{NT}_n(j)| \le 2$. Il est
- \textbf{totalement équilibré} si $\forall
- i\in\{1,...,n\},~\textit{NT}_n(i)=\frac{2^n}{n}$.
-\end{Def}
+Le code $L$ est \textbf{équilibré} si $\forall
+i,j\in\{1,...,n\},~|\textit{TC}_n(i) - \textit{TC}_n(j)| \le 2$. Il est
+\textbf{totalement équilibré} si $\forall
+i\in\{1,...,n\},~\textit{TC}_n(i)=\frac{2^n}{n}$.
+
On peut donc déjà déduire qu'il ne peut exister des codes de Gray totalement
équilibrés que pour les systèmes ayant un nombre d'éléments $n=2^k, k>0$. De
-plus, comme dans tout code de Gray cyclique, $\textit{NT}_n(i)$ est pair
+plus, comme dans tout code de Gray cyclique, $\textit{TC}_n(i)$ est pair
$\forall i\in\{1,...,n\}$, alors les systèmes ayant un nombre d'éléments
différent de $2^k$, ne peuvent avoir que des codes de Gray équilibrés avec
-$\textit{NT}_n(i)=\lfloor\frac{2^n}{n}\rfloor$ ou
-$\textit{NT}_n(i)=\lceil\frac{2^n}{n}\rceil, \forall i\in\{1,...,n\}$ et
-vérifiant $\sum_{i=1}^nNT_n(i) = 2^n$.
+$\textit{TC}_n(i)=\lfloor\frac{2^n}{n}\rfloor$ ou
+$\textit{TC}_n(i)=\lceil\frac{2^n}{n}\rceil, \forall i\in\{1,...,n\}$ et
+vérifiant $\sum_{i=1}^n\textit{TC}_n(i) = 2^n$.
\begin{xpl}
Soit $L^*=000,100,101,001,011,111,110,010$ le code de Gray correspondant au
ce code est totalement équilibré.
\end{xpl}
-\subsection{Génération de codes de Gray équilibrés par induction}
+\section{Génération de codes de Gray équilibrés par induction}
\label{sec:induction}
-Dans leur article de 2004~\cite{ZanSup04}, Zanten et Suparta proposent un
-algorithme inductif pour générer des codes de Gray équilibrés de $n$ bits à
-partir de codes de $n-2$ bits. Cependant, leur méthode n'est pas
-constructive. En effet, elle effectue des manipulations sur un partitionnement du
-code de Gray initial de $n-2$ bits pour obtenir un code de Gray sur $n$ bits,
-mais le résultat n'est pas systématiquement équilibré. Il est donc nécessaire
-d'évaluer les résultats obtenus à partir de tous les partitionnements réalisables
-en suivant les contraintes spécifiées. Or, le nombre de possibilités augmente
-exponentiellement (voir~\cite{Mons14} pour l'évaluation détaillée), ce qui rend
-déraisonnable tout parcours exhaustif. Une amélioration proposée
-dans~\cite{Mons14} permet de réduire le nombre de partitionnements considérés,
-mais l'ordre de grandeur reste similaire. On constate donc clairement ici la
-nécessité de trouver des algorithmes de génération de codes de Gray équilibrés
-plus efficaces. Ce problème représente une des voies que nous souhaitons
-explorer dans la suite de nos travaux.
-
-Le tableau~\ref{table:nbFunc} donne le nombre de fonctions différentes
-compatibles avec les codes de Gray équilibrés générés par l'approche précédente
-selon le nombre de bits. Il donne donc la taille de la classe des générateurs
-pouvant être produits. Les cas 7 et 8 ne sont que des bornes minimales basées
-sur des sous-ensembles des partitionnements possibles.
-
-\begin{table}[ht]
- \begin{center}
- \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
- \hline
- $n$ & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
- \hline
- nb. de fonctions & 1 & 2 & 1332 & $>$ 2300 & $>$ 4500 \\
- \hline
- \end{tabular}
- \end{center}
-\caption{Nombre de codes de Gray équilibrés selon le nombre de bits.}\label{table:nbFunc}
-\end{table}
-
+De nombreuses approches ont été développées pour résoudre le problème de construire
+un code de Gray dans un $\mathsf{N}$-cube~\cite{Robinson:1981:CS,DBLP:journals/combinatorics/BhatS96,ZanSup04},
+selon les propriétés que doit vérifier ce code.
+
+Dans les travaux~\cite{Robinson:1981:CS}, les auteurs
+proposent une approche inductive de construction de code de Gray équilibrés
+(on passe du $\mathsf{N}-2$ à $\mathsf{N}$)
+pour peu que l'utilisateur fournisse une sous-séquence possédant certaines
+propriétés à chaque pas inductif.
+Ce travail a été renforcé dans ~\cite{DBLP:journals/combinatorics/BhatS96}
+où les auteurs donnent une manière explicite de construire une telle sous-séquence.
+Enfin, les auteurs de~\cite{ZanSup04} présentent une extension de l'algorithme de
+\emph{Robinson-Cohn}. La présentation rigoureuse de cette extension leur permet
+principalement de prouver que si $\mathsf{N}$ est une puissance de 2,
+le code de Gray équilibré engendré par l'extension est toujours totalement équilibré et
+que $S_{\mathsf{N}}$ est la séquence de transition d'un code de Gray de $\mathsf{N}$ bits
+si $S_{\mathsf{N}-2}$ l'est aussi..
+Cependant les auteurs ne prouvent pas que leur approche fournit systématiquement
+un code de Gray (totalement) équilibré.
+Cette section montre que ceci est vrai en rappelant tout d'abord
+l'extension de l'algorithme de \emph{Robinson-Cohn} pour un
+code de Gray avec $\mathsf{N}-2$ bits
+défini à partir de la séquence $S_{\mathsf{N}-2}$.
-Ces fonctions étant générée, on s'intéresse à étudier à quelle vitesse
+\begin{enumerate}
+\item \label{item:nondet}Soit $l$ un entier positif pair. Trouver des sous-séquences
+$u_1, u_2, \dots , u_{l-2}, v$ (possiblement vides) de $S_{\mathsf{N}-2}$
+telles que $S_{\mathsf{N}-2}$ est la concaténation de
+$$
+s_{i_1}, u_0, s_{i_2}, u_1, s_{i_3}, u_2, \dots , s_{i_l-1}, u_{l-2}, s_{i_l}, v
+$$
+où $i_1 = 1$, $i_2 = 2$, et $u_0 = \emptyset$ (la séquence vide).
+\item\label{item:u'} Remplacer dans $S_{\mathsf{N}-2}$ les séquences $u_0, u_1, u_2, \ldots, u_{l-2}$
+ par
+ $\mathsf{N} - 1, u'(u_1,\mathsf{N} - 1, \mathsf{N}) , u'(u_2,\mathsf{N}, \mathsf{N} - 1), u'(u_3,\mathsf{N} - 1,\mathsf{N}), \dots, u'(u_{l-2},\mathsf{N}, \mathsf{N} - 1)$
+ respectivement, où $u'(u,x,y)$ est la séquence $u,x,u^R,y,u$ telle que
+ $u^R$ est $u$, mais dans l'ordre inverse. La séquence obtenue est ensuite notée $U$.
+\item\label{item:VW} Construire les séquences $V=v^R,\mathsf{N},v$, $W=\mathsf{N}-1,S_{\mathsf{N}-2},\mathsf{N}$. Soit alors $W'$ définie comme étant égale à $W$ sauf pour les
+deux premiers éléments qui ont été intervertis.
+\item La séquence de transition $S_{\mathsf{N}}$ est la concaténation $U^R, V, W'$.
+\end{enumerate}
+
+L'étape~(\ref{item:nondet}) n'est pas constructive: il n'est pas précisé
+comment sélectionner des sous-séquences qui assurent que le code obtenu est équilibré.
+Le théorème suivant montre que c'est possible et sa preuve,
+donnée en annexe~\ref{anx:generateur}, explique comment le faire.
+
+\begin{restatable}[Existence d'un code de Gray équilibré]{theorem}{theograyequilibre}
+\label{prop:balanced}
+Soit $\mathsf{N}$ dans $\Nats^*$, et $a_{\mathsf{N}}$ défini par
+$a_{\mathsf{N}}= 2 \left\lfloor \dfrac{2^{\mathsf{N}}}{2\mathsf{N}} \right\rfloor$.
+Il existe une séquence $l$ dans l'étape~(\ref{item:nondet}) de l'extension
+de l'algorithme de \emph{Robinson-Cohn} telle que
+les nombres de transitions $\textit{TC}_{\mathsf{N}}(i)$
+valent tous $a_{\mathsf{N}}$ ou $a_{\mathsf{N}}+2$
+pour chaque $i$, $1 \le i \le \mathsf{N}$.
+\end{restatable}
+
+Ces fonctions étant générées, on s'intéresse à étudier à quelle vitesse
un générateur les embarquant converge vers la distribution uniforme.
C'est l'objectif de la section suivante.
-\section{Quantifier l'écart par rapport à la distribution uniforme}
+\section{Quantifier l'écart par rapport à la distribution uniforme}\label{sec:mixing}
On considère ici une fonction construite comme à la section précédente.
On s'intéresse ici à étudier de manière théorique les
itérations définies à l'équation~(\ref{eq:asyn}) pour une
Tout d'abord, celles-ci peuvent être interprétées comme une marche le long d'un
graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ tel que le choix de tel ou tel arc est donné par la
stratégie.
-On remarque que ce graphe d'itération est toujours un sous graphe
+On remarque que ce graphe d'itérations est toujours un sous graphe
du ${\mathsf{N}}$-cube augmenté des
boucles sur chaque sommet, \textit{i.e.}, les arcs
$(v,v)$ pour chaque $v \in \Bool^{\mathsf{N}}$.
-Ainsi, le travail ci dessous répond à la question de
+Ainsi, le travail ci-dessous répond à la question de
définir la longueur du chemin minimum dans ce graphe pour
obtenir une distribution uniforme.
Ceci se base sur la théorie des chaînes de Markov.
+
+
\begin{xpl}
On considère par exemple le graphe $\textsc{giu}(f)$ donné à la
\textsc{Figure~\ref{fig:iteration:f*}.} et la fonction de
$$
p(e) \left\{
\begin{array}{ll}
-= \frac{2}{3} \textrm{ si $e=(v,v)$ avec $v \in \Bool^3$,}\\
+= \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \textrm{ si $e=(v,v)$ avec $v \in \Bool^3$,}\\
= \frac{1}{6} \textrm{ sinon.}
\end{array}
\right.
\]
\end{xpl}
+On remarque que dans cette marche on reste sur place avec une probabilité égale
+à $\frac{1}{2}+\frac{1}{2\mathsf{N}}$ et l'on passe d'un sommet à son voisin
+lorsque c'est possible avec une probabilité $\frac{1}{2\mathsf{N}}$.
+Les probabilités usuelles que l'on appliquerait aux transitions de
+l'algorithme~\ref{CI Algorithm} seraient quant à elles uniformément égales
+à $\frac{1}{\mathsf{N}}$.
+Cette manière paresseuse d'itérer (puisqu'on reste plus souvent sur place) n'est donc pas équivalente à celle issue de l'algorithme.
+Cependant, l'étude théorique de référence~\cite{LevinPeresWilmer2006}
+considère cette marche comme cadre. S'inspirant de
+celle-ci, le travail suivant se replace donc dans ce cadre théorique.
Tout d'abord, soit $\pi$ et $\mu$ deux distributions sur
On sait que
$$\tv{\pi-\mu}=\frac{1}{2}\sum_{X\in\Bool^{\mathsf{N}}}|\pi(X)-\mu(X)|.$$
De plus, si
-$\nu$ est une distribution on $\Bool^{\mathsf{N}}$, on a
+$\nu$ est une distribution sur $\Bool^{\mathsf{N}}$, on a
$$\tv{\pi-\mu}\leq \tv{\pi-\nu}+\tv{\nu-\mu}.$$
Soit $P$ une matrice d'une chaîne de Markov sur $\Bool^{\mathsf{N}}$.
et
$$t_{\rm mix}(\varepsilon)=\min\{t \mid d(t)\leq \varepsilon\}.$$
-
-Un résultat classique est
-
-$$t_{\rm mix}(\varepsilon)\leq \lceil\log_2(\varepsilon^{-1})\rceil t_{\rm mix}(\frac{1}{4})$$
-
-
-
-
-Soit $(X_t)_{t\in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires de
-$\Bool^{\mathsf{N}}$.
-une variable aléatoire $\tau$ dans $\mathbb{N}$ est un
-\emph{temps d'arrêt} pour la suite
-$(X_i)$ si pour chaque $t$ il existe $B_t\subseteq
-(\Bool^{\mathsf{N}})^{t+1}$ tel que
-$\{\tau=t\}=\{(X_0,X_1,\ldots,X_t)\in B_t\}$.
-En d'autres termes, l'événement $\{\tau = t \}$ dépend uniquement des valeurs
-de
-$(X_0,X_1,\ldots,X_t)$, et non de celles de $X_k$ pour $k > t$.
+Intuitivement, $t_{\rm mix}(\varepsilon)$ est le nombre d'itérations nécessaire
+pour être proche de la distribution stationnaire à $\varepsilon$ près,
+peu importe la configuration de départ. On a le théorème suivant démontré en annexe~\ref{anx:generateur}.
-Soit $(X_t)_{t\in \mathbb{N}}$ une chaîne de Markov et
-$f(X_{t-1},Z_t)$ une représentation fonctionnelle de celle-ci.
-Un \emph{temps d'arrêt aléatoire} pour la chaîne de
-Markov est un temps d'arrêt pour
-$(Z_t)_{t\in\mathbb{N}}$.
-Si la chaîne de Markov est irréductible et a $\pi$
-comme distribution stationnaire, alors un
-\emph{temps stationnaire} $\tau$ est temps d'arrêt aléatoire
-(qui peut dépendre de la configuration initiale $X$),
-tel que la distribution de $X_\tau$ est $\pi$:
-$$\P_X(X_\tau=Y)=\pi(Y).$$
+\begin{restatable}[Temps de mixage sans chemin hamiltonien]{theorem}{theotpsmix}
+\label{theo:tmps:mix}
+On considère un $\mathsf{N}$-cube dans lequel un chemin hamiltonien a été supprimé et la fonction de
+probabilités $p$ définie sur l'ensemble des arcs comme suit:
+\[
+p(e) \left\{
+\begin{array}{ll}
+= \frac{1}{2} + \frac{1}{2\mathsf{N}} \textrm{ si $e=(v,v)$ avec $v \in \Bool^{\mathsf{N}}$,}\\
+= \frac{1}{2\mathsf{N}} \textrm{ sinon.}
+\end{array}
+\right.
+\]
-Un temps d'arrêt $\tau$ est qualifié de \emph{fort} si $X_{\tau}$
-est indépendant de $\tau$. On a les deux théorèmes suivants, dont les
-démonstrations sont données en annexes~\ref{anx:generateur}.
-
+La chaîne de Markov associée converge vers la distribution uniforme et
-\begin{theorem}
-Si $\tau$ est un temps d'arrêt fort, alors $d(t)\leq \max_{X\in\Bool^{\mathsf{N}}}
-\P_X(\tau > t)$.
-\end{theorem}
+\[
+\forall \varepsilon >0,\, t_{\rm mix}(\varepsilon) \le 32 {\mathsf{N}}^2+ 16{\mathsf{N}}\ln ({\mathsf{N}}+1) = O(N^2).
+\]
+\end{restatable}
+
+
+
+Sans entrer dans les détails de la preuve, on remarque aussi
+que le calcul de ce majorant impose uniquement que
+pour chaque n{\oe}ud du $\mathsf{N}$-cube
+un arc entrant et un arc sortant sont supprimés.
+Le fait qu'on enlève un cycle hamiltonien et que ce dernier
+soit équilibré n'est pas pris en compte.
+En intégrant cette contrainte, ce majorant pourrait être réduit.
+
+En effet, le temps de mixage est en $\Theta(N\ln N)$ lors d'une
+marche aléatoire classique paresseuse dans le $\mathsf{N}$-cube.
+On peut ainsi conjecturer que cet ordre de grandeur reste le même
+dans le contexte du $\mathsf{N}$-cube privé d'un chemin hamiltonien.
+
+On peut évaluer ceci pratiquement: pour une fonction
+$f: \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$ et une graine initiale
+$x^0$, le code donné à l'algorithme~\ref{algo:stop} retourne le
+nombre d'itérations suffisant tel que tous les éléments $\ell\in \llbracket 1,{\mathsf{N}} \rrbracket$ sont équitables. Il permet de déduire une approximation de $E[\ts]$
+en l'instanciant un grand nombre de fois: pour chaque nombre $\mathsf{N}$,
+$ 3 \le \mathsf{N} \le 16$, 10 fonctions ont été générées comme dans
+ce chapitre. Pour chacune d'elle, le calcul d'une approximation de $E[\ts]$
+est exécuté 10000 fois avec une graine aléatoire. La Figure~\ref{fig:stopping:moy}
+résume ces résultats. Dans celle-ci, un cercle représente une approximation de
+$E[\ts]$ pour un $\mathsf{N}$ donné tandis que la courbe est une représentation de
+la fonction $x \mapsto 2x\ln(2x+8)$.
+On constate que l'approximation de $E[\ts]$ est largement inférieure
+au majorant quadratique donné au théorème~\ref{prop:stop} et que la conjecture
+donnée au paragraphe précédent est sensée.
+
+
+\begin{algorithm}[ht]
+%\begin{scriptsize}
+\KwIn{a function $f$, an initial configuration $x^0$ ($\mathsf{N}$ bits)}
+\KwOut{a number of iterations $\textit{nbit}$}
-\begin{theorem} \label{prop:stop}
-If $\ov{h}$ is bijective et telle que if for every $X\in \Bool^{\mathsf{N}}$,
-$\ov{h}(\ov{h}(X))\neq X$, alors
-$E[\ts]\leq 8{\mathsf{N}}^2+ 4{\mathsf{N}}\ln ({\mathsf{N}}+1)$.
-\end{theorem}
+$\textit{nbit} \leftarrow 0$\;
+$x\leftarrow x^0$\;
+$\textit{fair}\leftarrow\emptyset$\;
+\While{$\left\vert{\textit{fair}}\right\vert < \mathsf{N} $}
+{
+ $ s \leftarrow \textit{Random}(\mathsf{N})$ \;
+ $\textit{image} \leftarrow f(x) $\;
+ \If{$\textit{Random}(1) \neq 0$ and $x[s] \neq \textit{image}[s]$}{
+ $\textit{fair} \leftarrow \textit{fair} \cup \{s\}$\;
+ $x[s] \leftarrow \textit{image}[s]$\;
+ }
+ $\textit{nbit} \leftarrow \textit{nbit}+1$\;
+}
+\Return{$\textit{nbit}$}\;
+%\end{scriptsize}
+\caption{Pseudo Code pour évaluer le temps d'arrêt}
+\label{algo:stop}
+\end{algorithm}
-Sans entrer dans les détails de la preuve, on remarque tout d'abord
-que le calcul
-de cette borne n'intègre pas le fait qu'on préfère enlever des
-chemins hamiltoniens équilibrés.
-En intégrant cette contrainte, la borne supérieure pourrait être réduite.
-On remarque ensuite que la chaîne de Markov proposée ne suit pas exactement
-l'algorithme~\ref{CI Algorithm}. En effet dans la section présente,
-la probabilité de rester dans une configuration donnée
-est fixée à $frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$.
-Dans l'algorithme initial, celle-ci est de ${1}{n}$.
-Cette version, qui reste davantage sur place que l'algorithme original,
-a été introduite pour simplifier le calcul de la borne sup
-du temps d'arrêt.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=0.49\textwidth]{images/complexityET}
+\caption{Interpolation du temps d'arrêt}\label{fig:stopping:moy}
+\end{figure}
-\section{Et les itérations généralisées?}
-Le chaptire précédent a présenté un algorithme de
+\section{Et les itérations généralisées?}\label{sec:prng:gray:general}
+Le chapitre précédent a présenté un algorithme de
PRNG construit à partir d'itérations unaires.
On pourrait penser que cet algorithme est peu efficace puisqu'il
dispose d'une fonction $f$ de $\Bool^n$ dans lui même mais il ne modifie à
On pourrait penser à un algorithme basé sur les itérations généralisées,
c'est-à-dire qui modifierait une partie des éléments de $[n]$ à chaque
itération.
-C'est l'algorithme~\ref{CI Algorithm:prng:g}.
+C'est l'algorithme~\ref{CI Algorithm:prng:g} donné ci-après.
-\begin{algorithm}[h]
+\begin{algorithm}[ht]
%\begin{scriptsize}
\KwIn{une fonction $f$, un nombre d'itérations $b$,
une configuration initiale $x^0$ ($n$ bits)}
Dans celle-ci la fonction $\textit{Set} : \{1,\ldots,2^n\} \rightarrow
\mathcal{P}(\{1,\ldots n\})$ retourne l'ensemble dont la fonction
caractéristique serait représentée par le nombre donné en argument.
-Par exemple, pour $n=3$, l'ensemble $\textit{Set}(6)$ vaudraitt $\{3,2\}$.
+Par exemple, pour $n=3$, l'ensemble $\textit{Set}(6)$ vaudrait $\{3,2\}$.
On remarque aussi que l'argument de la fonction $\textit{Random}$
passe de $n$ à $2^n$.
correspondante à ce graphe
et $M$ une matrice $2^n\times 2^n$
définie par
- $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
+ $M = \dfrac{1}{2^n} \check{M}$.
Si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe, alors
la sortie du générateur de nombres pseudo aléatoires détaillé par
- l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui
+ l'algorithme~\ref{CI Algorithm:prng:g} suit une loi qui
tend vers la distribution uniforme si
et seulement si $M$ est une matrice doublement stochastique.
\end{theorem}
\begin{xpl}
- On reprend l'exemple donné à la section~\ref{sub:prng:ana}:
- Dans le $3$-cube cycle hamiltonien défini par la séquence
- $000,100,101,001,011,111,110,010,000$ a été supprimé engendrant
+ On reprend l'exemple donné à la section~\ref{sec:plc}.
+ On considère le cycle hamiltonien défini par la séquence
+ $000,100,101,001,011,111,110,010,000$. En supprimant celui-ci dans
+ le $3$-cube, cela engendre
la fonction $f^*$ définie par
$$f^*(x_1,x_2,x_3)=
(x_2 \oplus x_3, \overline{x_1}.\overline{x_3} + x_1\overline{x_2},
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
- \subfigure[Graphe des itérations chaotiques de $f^*$.
+ \subfigure[Graphe $\textsc{gig}(f^*)$
\label{fig:iteration:f*}]{
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\centering
\includegraphics[width=\columnwidth]{images/iter_f}%
\end{minipage}
}%
- \subfigure[Matrice de Markov du graphe d'itérations chaotiques de
- $f^*$\label{fig:markov:f*}]{%
+ \subfigure[Matrice de Markov associée au $\textsc{gig}(f^*)$
+ \label{fig:markov:f*}]{%
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\begin{scriptsize}
\begin{center}
\end{minipage}
}%
\caption{Représentations de $f^*(x_1,x_2,x_3)=
- (x_2 \oplus x_3, \overline{x_1}\overline{x_3} + x_1\overline{x_2},
- \overline{x_1}\overline{x_3} + x_1x_2)$.}\label{fig1}
+ (x_2 \oplus x_3, \overline{x_1}.\overline{x_3} + x_1\overline{x_2},
+ \overline{x_1}.\overline{x_3} + x_1x_2)$.}\label{fig1}
\end{center}
\end{figure}
\end{xpl}
-\begin{table}[table:functions]{Fonctions avec matrices DSCC et le plus faible temps de mélange.}
+\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{scriptsize}
- \begin{tabular}{|c|l|c|c|}
+ \begin{tabular}{|c|c|l|c|c|}
\hline
- fonction & $f(x)$, $f(x)$ pour $x \in [0,1,2,\hdots,2^n-1]$ & $b$ & $b'$ \\
+ $n$ & fonction & $f(x)$, $f(x)$ pour $x \in [0,1,2,\hdots,2^n-1]$ & $b$ & $b'$ \\
\hline
- $f^{*4}$ & [13,10,9,14,3,11,1,12,15,4,7,5,2,6,0,8] & 17 & 38 \\
+ 4 & $f^{*4}$ & [13,10,9,14,3,11,1,12,15,4,7,5,2,6,0,8] & \textbf{17} & \textbf{38} \\
\hline
- $f^{*5}$ & [29, 22, 25, 30, 19, 27, 24, 16, 21, 6, 5, 28, 23, 26, 1, & 13 & 48 \\
- & 17, 31, 12, 15, 8, 10, 14, 13, 9, 3, 2, 7, 20, 11, 18, 0, 4] & & \\
+ \multirow{4}{0.5cm}{5}& $f^{*5}$ & [29, 22, 25, 30, 19, 27, 24, 16, 21, 6, 5, 28, 23, 26, 1, & \textbf{13} & 48 \\
+ & & 17, 31, 12, 15, 8, 10, 14, 13, 9, 3, 2, 7, 20, 11, 18, 0, 4] & & \\
+ \cline{2-5}
+ & $g^{*5}$ & [29, 22, 21, 30, 19, 27, 24, 28, 7, 20, 5, 4, 23, 26, 25, & 15 & \textbf{47} \\
+ & & 17, 31, 12, 15, 8, 10, 14, 13, 9, 3, 2, 1, 6, 11, 18, 0, 16
+ & & \\
+
\hline
- $f^{*6}$ & [55, 60, 45, 44, 58, 62, 61, 48, 53, 50, 52, 36, 59, 34, 33, & 11 & 55 \\
- & 49, 15, 42, 47, 46, 35, 10, 57, 56, 7, 54, 39, 37, 51, 2, 1, & & \\
- & 40, 63, 26, 25, 30, 19, 27, 17, 28, 31, 20, 23, 21, 18, 22, & & \\
- & 16, 24, 13, 12, 29, 8, 43, 14, 41, 0, 5, 38, 4, 6, 11, 3, 9, 32] & & \\
- \hline
- $f^{*7}$ & [111, 94, 93, 116, 122, 114, 125, 88, 87, 126, 119, 84, 123, & 10 & 63 \\
- & 98, 81, 120, 109, 106, 105, 110, 99, 107, 104, 108, 101, 70, & & \\
- & 117, 96, 67, 102, 113, 64, 79, 30, 95, 124, 83, 91, 121, 24, & & \\
- & 23, 118, 69, 20, 115, 90, 17, 112, 77, 14, 73, 78, 74, 10, 72, & & \\
- & 76, 103, 6, 71, 100, 75, 82, 97, 0, 127, 54, 57, 62, 51, 59, & & \\
- & 56, 48, 53, 38, 37, 60, 55, 58, 33, 49, 63, 44, 47, 40, 42, & & \\
- & 46, 45, 41, 35, 34, 39, 52, 43, 50, 32, 36, 29, 28, 61, 92, & & \\
- & 26, 18, 89, 25, 19, 86, 85, 4, 27, 2, 16, 80, 31, 12, 15, 8, & & \\
- & 3, 11, 13, 9, 5, 22, 21, 68, 7, 66, 65, 1] & & \\
+ \multirow{8}{0.5cm}{6}& $f^{*6}$ &
+ [55, 60, 45, 56, 58, 42, 61, 40, 53, 50, 52, 54, 59, 34, 33, & \multirow{4}{0.5cm}{\textbf{11}}& \multirow{4}{0.5cm}{55}\\
+& & 49, 39, 62, 47, 46, 11, 43, 57, 8, 37, 6, 36, 4, 51, 38, 1, & & \\
+& & 48, 63, 26, 25, 30, 19, 27, 17, 28, 31, 20, 23, 21, 18, 22, & & \\
+& & 16, 24, 13, 12, 29, 44, 10, 14, 41, 0, 15, 2, 7, 5, 35, 3, 9, 32] & &\\
+ \cline{2-5}
+&$g^{*6}$ & [55, 60, 45, 44, 43, 62, 61, 48, 53, 50, 52, 36, 59, 51, 33, & \multirow{4}{0.5cm}{12}& \multirow{4}{0.5cm}{\textbf{54}}\\
+ & & 49, 15, 14, 47, 46, 35, 58, 57, 56, 7, 54, 39, 37, 3, 38, 1, & & \\
+ & & 40, 63, 26, 25, 30, 19, 27, 17, 28, 31, 20, 23, 21, 18, 22, & & \\
+ & & 16, 24, 13, 12, 29, 8, 10, 42, 41, 0, 5, 2, 4, 6, 11, 34, 9, 32] & & \\
+ \hline
+ \multirow{9}{0.5cm}{7} &$f^{*7}$ & [111, 94, 93, 116, 122, 114, 125, 88, 115, 126, 85, 84, 123, & \multirow{9}{0.5cm}{\textbf{10}} & \multirow{9}{0.5cm}{\textbf{63}} \\
+ & & 98, 81, 120, 109, 78, 105, 110, 99, 107, 104, 108, 101, 118, & & \\
+ & & 117, 96, 103, 66, 113, 64, 79, 86, 95, 124, 83, 91, 121, 24, & & \\
+ & & 119, 22, 69, 20, 87, 18, 17, 112, 77, 76, 73, 12, 74, 106, 72, & & \\
+ & & 8, 7, 102, 71, 100, 75, 82, 97, 0, 127, 54, 57, 62, 51, 59, & & \\
+ & & 56, 48, 53, 38, 37, 60, 55, 58, 33, 49, 63, 44, 47, 40, 42, & & \\
+ & & 46, 45, 41, 35, 34, 39, 52, 43, 50, 32, 36, 29, 28, 61, 92, & & \\
+ & & 26, 90, 89, 25, 19, 30, 23, 4, 27, 2, 16, 80, 31, 10, 15, 14, & & \\
+ & & 3, 11, 13, 9, 5, 70, 21, 68, 67, 6, 65, 1] & & \\
\hline
- $f^{*8}$ &[223, 190, 249, 254, 187, 251, 233, 232, 183, 230, 247, 180,& 9 & 72 \\
- & 227, 178, 240, 248, 237, 236, 253, 172, 203, 170, 201, 168, &&\\
- & 229, 166, 165, 244, 163, 242, 241, 192, 215, 220, 205, 216, &&\\
- & 218, 222, 221, 208, 213, 210, 212, 214, 219, 211, 217, 209, &&\\
- & 239, 202, 207, 140, 139, 234, 193, 204, 135, 196, 199, 132, &&\\
- & 194, 130, 225, 200, 159, 62, 185, 252, 59, 250, 169, 56, 191,&&\\
- & 246, 245, 52, 243, 50, 176, 48, 173, 238, 189, 44, 235, 42, &&\\
- & 137, 184, 231, 38, 37, 228, 35, 226, 177, 224, 151, 156, 141,&&\\
- & 152, 154, 158, 157, 144, 149, 146, 148, 150, 155, 147, 153, &&\\
- & 145, 175, 206, 143, 136, 11, 142, 129, 8, 7, 198, 197, 4, 195, &&\\
- & 2, 161, 160, 255, 124, 109, 108, 122, 126, 125, 112, 117, 114, &&\\
- & 116, 100, 123, 98, 97, 113, 79, 106, 111, 110, 99, 74, 121, 120,&&\\
- & 71, 118, 103, 101, 115, 66, 65, 104, 127, 90, 89, 94, 83, 91, 81,&&\\
- & 92, 95, 84, 87, 85, 82, 86, 80, 88, 77, 76, 93, 72, 107, 78, 105, &&\\
- & 64, 69, 102, 68, 70, 75, 67, 73, 96, 55, 58, 45, 188, 51, 186, 61, &&\\
- & 40, 119, 182, 181, 53, 179, 54, 33, 49, 15, 174, 47, 60, 171, && \\
- & 46, 57, 32, 167, 6, 36, 164, 43, 162, 1, 0, 63, 26, 25, 30, 19,&&\\
- & 27, 17, 28, 31, 20, 23, 21, 18, 22, 16, 24, 13, 10, 29, 14, 3, &&\\
- &138, 41, 12, 39, 134, 133, 5, 131, 34, 9, 128]&&\\
+ \multirow{20}{0.5cm}{8} & $f^{*8}$ &
+[223, 190, 249, 254, 187, 251, 233, 232, 183, 230, 247, 180,&
+\multirow{20}{0.5cm}{9}&
+\multirow{20}{0.5cm}{71}\\
+& & 227, 178, 240, 248, 237, 236, 253, 172, 203, 170, 201, 168,& & \\
+& & 229, 166, 165, 244, 163, 242, 241, 192, 215, 220, 205, 216,& & \\
+& & 218, 222, 221, 208, 213, 210, 212, 214, 219, 211, 217, 209,& & \\
+& & 239, 202, 207, 140, 139, 234, 193, 204, 135, 196, 199, 132,& & \\
+& & 194, 130, 225, 200, 159, 62, 185, 252, 59, 250, 169, 56, 191,& & \\
+& & 246, 245, 52, 243, 50, 176, 48, 173, 238, 189, 44, 235, 42,& & \\
+& & 137, 184, 231, 38, 37, 228, 35, 226, 177, 224, 151, 156, 141,& & \\
+& & 152, 154, 158, 157, 144, 149, 146, 148, 150, 155, 147, 153,& & \\
+& & 145, 175, 206, 143, 12, 11, 142, 129, 128, 7, 198, 197, 4, 195,& & \\
+& & 2, 161, 160, 255, 124, 109, 108, 122, 126, 125, 112, 117, 114,& & \\
+& & 116, 100, 123, 98, 97, 113, 79, 106, 111, 110, 99, 74, 121,& & \\
+& & 120, 71, 118, 103, 101, 115, 66, 65, 104, 127, 90, 89, 94, 83,& & \\
+& & 91, 81, 92, 95, 84, 87, 85, 82, 86, 80, 88, 77, 76, 93, 72,& & \\
+& & 107, 78, 105, 64, 69, 102, 68, 70, 75, 67, 73, 96, 55, 58, 45,& & \\
+& & 188, 51, 186, 61, 40, 119, 182, 181, 53, 179, 54, 33, 49, 15,& & \\
+& & 174, 47, 60, 171, 46, 57, 32, 167, 6, 36, 164, 43, 162, 1, 0,& & \\
+& & 63, 26, 25, 30, 19, 27, 17, 28, 31, 20, 23, 21, 18, 22, 16,& & \\
+& & 24, 13, 10, 29, 14, 3, 138, 41, 136, 39, 134, 133, 5, 131,& & \\
+& & 34, 9, 8]&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{scriptsize}
\end{center}
+\caption{Fonctions avec matrices DSCC et le plus faible temps de mélange}\label{table:functions}
\end{table}
Le tableau~\ref{table:functions} reprend une synthèse de
fonctions qui ont été générées selon la méthode détaillée
-à la section~\ref{sec:gen:dblstc}.
-Pour chaque nombre $n=3$, $4$, $5$
-,$6$, tous les cycles hamiltoniens non isomorphes ont été générés. Pour les
-valeur de $n=7$ et $8$, seules $10^{5}$ configurations ont été évaluées. Parmi
+à la section~\ref{sec:hamiltonian}.
+Pour chaque nombre $n=3$, $4$, $5$ et $6$,
+tous les cycles hamiltoniens non isomorphes ont été générés. Pour les
+valeur de $n=7$ et $8$, seuls $10^{5}$ cycles ont été évalués. Parmi
toutes les fonctions obtenues en enlevant du $n$-cube ces cycles, n'ont été
retenues que celles qui minimisaient le temps de mélange relatif à une valeur de
-$\epsilon$ fixée à $10^{-8}$.
+$\epsilon$ fixée à $10^{-8}$ et pour un mode donné.
Ce nombre d'itérations (\textit{i.e.}, ce temps de mélange)
est stocké dans la troisième
colonne sous la variable $b$.
La variable $b'$ reprend le temps de mélange pour
-l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
-
-Un premier résultat est que ce nouvel algorithme réduit grandement le nombre
+l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
+On note que pour un nombre $n$ de bits fixé et un mode donné d'itérations,
+il peut y avoir plusieurs fonctions minimisant ce temps de mélange. De plus, comme ce temps
+de mélange est construit à partir de la matrice de Markov et que celle-ci dépend
+du mode, une fonction peut être optimale pour un mode et ne pas l'être pour l'autre
+(c.f. pour $n=5$).
+
+Un second résultat est que ce nouvel algorithme réduit grandement le nombre
d'itérations suffisant pour obtenir une faible déviation par rapport à une
-distribution uniforme. On constate de plus que ce nombre décroit avec
+distribution uniforme. On constate de plus que ce nombre décroît avec
le nombre d'éléments alors qu'il augmente dans l'approche initiale où
l'on marche.
Cela s'explique assez simplement. Depuis une configuration initiale, le nombre
-de configurations qu'on ne peut pas atteindre en une itération est de
+de configurations qu'on ne peut pas atteindre en une itération est de:
\begin{itemize}
-\item $2^n-n$ en marchant, ce qui représente $\dfrac{2^n-n}{2^n} = 1-\dfrac{n}{2^n}$
+\item $2^n-n$ en unaire. Ceci représente un rapport de
+ $\dfrac{2^n-n}{2^n} = 1-\dfrac{n}{2^n}$
de toutes les configurations; plus $n$ est grand,
plus ce nombre est proche de $1$, et plus grand devient le nombre
- d'itérations suffisantes pour atteinte une déviation faible;
-\item $2^n-2^{n-1}$ en sautant, soit la moitié de toutes les configurations
+ d'itérations nécessaires pour atteinte une déviation faible;
+\item $2^n-2^{n-1}$ dans le cas généralisé,
+ soit la moitié de toutes les configurations
quel que soit $n$; seul 1 bit reste constant tandis que tous les autres peuvent changer. Plus $n$ grandit, plus la proportion de bits constants diminue.
\end{itemize}
-Cependant, dans le cas où l'on saute, chaque itération a une complexité
-plus élevée puisqu'il est nécessaire d'invoquer un générateur
-de nombres pseudo-aléatoires entre 1 et $2^{n}$ tandis qu'il suffit
-d'avoir un générateur entre 1 et $n$ dans le premier cas.
-
-Pour comparer les deux approches, on considère que le générateur aléatoire embarqué est binaire, \textit{i.e.} ne génère qu'un bit (0 ou 1).
+Cependant, dans le cas généralisé, chaque itération a une complexité
+plus élevée puisqu'il est nécessaire d'invoquer un générateur
+produisant un nombre pseudo-aléatoire dans $[2^{n}]$ tandis qu'il suffit
+que celui-ci soit dans $[n]$ dans le cas unaire.
+Pour comparer les deux approches,
+on considère que le générateur aléatoire embarqué est binaire, \textit{i.e.} ne génère qu'un bit (0 ou 1).
-Lorsqu'on marche et qu'on effectue $i$ itérations,
-à chaque itération, la stratégie génère un nombre entre
-$1$ et $n$.
-Elle fait donc $\ln(n)/\ln(2)$ appels à ce générateur en moyenne.
-La démarche fait donc au total $i*\ln(n)/\ln(2)$ appels pour $n$ bits et
-donc $i*\ln(n)/(n*\ln(2))$ appels pour 1 bit généré en moyenne.
-Lorsqu'on saute et qu'on effectue $i'$ itérations,
-à chaque itération, la stratégie génère un nombre entre
+Dans le cas généralisé, si l'on effectue $b$ itérations,
+à chacune d'elles, la stratégie génère un nombre entre
$1$ et $2^n$. Elle fait donc $n$ appels à ce générateur.
-On fait donc au total $i'*n$ appels pour $n$ bits et
-donc $i'$ appels pour 1 bit généré en moyenne.
+On fait donc au total $b*n$ appels pour $n$ bits et
+donc $b$ appels pour 1 bit généré en moyenne.
+Dans le cas unaire, si l'on effectue $b'$ itérations,
+à chacune d'elle, la stratégie génère un nombre entre
+$1$ et $n$.
+Elle fait donc $\ln(n)/\ln(2)$ appels à ce générateur binaire en moyenne.
+La démarche fait donc au total $b'*\ln(n)/\ln(2)$ appels pour $n$ bits et
+donc $b'*\ln(n)/(n*\ln(2))$ appels pour 1 bit généré en moyenne.
Le tableau~\ref{table:marchevssaute} donne des instances de
ces valeurs pour $n \in\{4,5,6,7,8\}$ et les fonctions
-données au tableau~\ref{table:fonctions}.
-On constate que le nombre d'appels par bit généré décroit avec $n$ dans la
-seconde démarche et est toujours plus faible que celui de la première.
+données au tableau~\ref{table:functions}.
+On constate que le nombre d'appels par bit généré décroît avec $n$ dans le
+cas des itérations généralisées et est toujours plus faible
+que celui des itérations unaires.
-\begin{table}
+\begin{table}[ht]
$$
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
-\textrm{Algorithme} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
+\textrm{Itérations} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\hline
-\textrm{marchant} & 19.0 & 22.2905097109 & 23.6954895899 & 25.2661942985 & 27.0\\
+\textrm{Unaires} & 19.0 & 22.3 & 23.7 & 25.3 & 27.0\\
\hline
-\textrm{sautant} & 17 & 13 & 11 & 10 & 9\\
+\textrm{Généralisées} & 17 & 13 & 11 & 10 & 9\\
\hline
\end{array}
$$
\caption{Nombre moyen
- d'appels à un générateurs binaire par bit généré}\label{table:marchevssaute}
+ d'appels à un générateur binaire par bit généré}\label{table:marchevssaute}
\end{table}
-La qualité des séquences aléatoires a été évaluée à travers la suite
-de tests statistiques développée pour les générateurs de nombres
-pseudo-aléatoires par le
+\section{Tests statistiques}\label{sec:prng;gray:tests}
+
+La qualité des séquences aléatoires produites par
+le générateur des itérations unaires ainsi que
+celles issues des itérations généralisées a été évaluée à travers la suite
+de tests statistiques développée par le
\emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST).
+En interne, c'est l'implantation de l'algorithme de Mersenne Twister qui
+permet de générer la stratégie aléatoire.
+
+
+
+
Pour les 15 tests, le seuil $\alpha$ est fixé à $1\%$:
une valeur
qui est plus grande que $1\%$ signifie
que la chaîne est considérée comme aléatoire avec une confiance de $99\%$.
- Le tableau~\ref{fig:TEST} donne une vision synthétique de toutes
- les expérimentations.
-L'expérience a montré notamment que toutes ces fonctions
-passent avec succès cette batterie de tests.
+
+
+Les tableaux~\ref{fig:TEST:generalise} donnent
+une vision synthétique de ces expérimentations.
+Nous avons évalué les fonctions préfixées par
+$f$ (respectivement $g$) avec les générateurs issus des itérations
+généralisées (resp. unaires).
+Quelle que soit la méthode utilisée, on constate que chacun des
+générateurs passe
+avec succès le test de NIST.
+
+Interpréter ces résultats en concluant que ces générateurs sont
+tous équivalents serait erroné: la meilleure des
+méthodes basées sur le mode des itérations
+généralisées (pour $n=8$ par exemple)
+est au moins deux fois plus rapide que la meilleure de celles qui
+sont basées sur les itérations unaires.
+
+
+
%%%%%%%%% Relancer pour n=6, n=7, n=8
%%%%%%%%% Recalculer le MT
%%%%%%%%% Regenerer les 10^6 bits
%%%%%%%%% Evaluer sur NIST
-\begin{table}[fig:TEST]{Test de NIST réalisé sur les fonctions $f^*$ détaillées au tableau~\label{table:functions}.}
+\begin{table}[ht]
+ \centering
+ \begin{scriptsize}
+
+
+\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|}
+ \hline
+Test & $f^{*5}$ &$f^{*6}$ &$f^{*7}$ &$f^{*8}$ \\ \hline
+Fréquence (Monobit)& 0.401 (0.97)& 0.924 (1.0)& 0.779 (0.98)& 0.883 (0.99)\\ \hline
+Fréquence ds un bloc& 0.574 (0.98)& 0.062 (1.0)& 0.978 (0.98)& 0.964 (0.98)\\ \hline
+Somme Cumulé*& 0.598 (0.975)& 0.812 (1.0)& 0.576 (0.99)& 0.637 (0.99)\\ \hline
+Exécution& 0.998 (0.99)& 0.213 (0.98)& 0.816 (0.98)& 0.494 (1.0)\\ \hline
+Longue exécution dans un bloc& 0.085 (0.99)& 0.971 (0.99)& 0.474 (1.0)& 0.574 (0.99)\\ \hline
+Rang& 0.994 (0.96)& 0.779 (1.0)& 0.191 (0.99)& 0.883 (0.99)\\ \hline
+Fourier rapide& 0.798 (1.0)& 0.595 (0.99)& 0.739 (0.99)& 0.595 (1.0)\\ \hline
+Patron sans superposition*& 0.521 (0.987)& 0.494 (0.989)& 0.530 (0.990)& 0.520 (0.989)\\ \hline
+Patron avec superposition& 0.066 (0.99)& 0.040 (0.99)& 0.304 (1.0)& 0.249 (0.98)\\ \hline
+Statistiques universelles& 0.851 (0.99)& 0.911 (0.99)& 0.924 (0.96)& 0.066 (1.0)\\ \hline
+Entropie approchée (m=10)& 0.637 (0.99)& 0.102 (0.99)& 0.115 (0.99)& 0.350 (0.98)\\ \hline
+Suite aléatoire *& 0.573 (0.981)& 0.144 (0.989)& 0.422 (1.0)& 0.314 (0.984)\\ \hline
+Suite aléatoire variante *& 0.359 (0.968)& 0.401 (0.982)& 0.378 (0.989)& 0.329 (0.985)\\ \hline
+Série* (m=10)& 0.469 (0.98)& 0.475 (0.995)& 0.473 (0.985)& 0.651 (0.995)\\ \hline
+Complexité linaire& 0.129 (1.0)& 0.494 (1.0)& 0.062 (1.0)& 0.739 (1.0)\\ \hline
+
+\end{tabular}
+ \end{scriptsize}
+
+
+\caption{Test de NIST pour les fonctions
+ du tableau~\ref{table:functions} selon les itérations généralisées}\label{fig:TEST:generalise}
+\end{table}
+
+
+\begin{table}[ht]
+ \centering
+ \begin{scriptsize}
+\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|}
+\hline
+Test & $g^{*5}$& $g^{*6}$& $f^{*7}$& $f^{*8}$\\ \hline
+Fréquence (Monobit)& 0.236 (1.0)& 0.867 (0.99)& 0.437 (0.99)& 0.911 (1.0)\\ \hline
+Fréquence ds un bloc& 0.129 (0.98)& 0.350 (0.99)& 0.366 (0.96)& 0.657 (1.0)\\ \hline
+Somme Cumulé*& 0.903 (0.995)& 0.931 (0.985)& 0.863 (0.995)& 0.851 (0.995)\\ \hline
+Exécution& 0.699 (0.98)& 0.595 (0.99)& 0.181 (1.0)& 0.437 (0.99)\\ \hline
+Longue exécution dans un bloc& 0.009 (0.99)& 0.474 (0.97)& 0.816 (1.0)& 0.051 (1.0)\\ \hline
+Rang& 0.946 (0.96)& 0.637 (0.98)& 0.494 (1.0)& 0.946 (1.0)\\ \hline
+Fourier rapide& 0.383 (0.99)& 0.437 (1.0)& 0.616 (0.98)& 0.924 (0.99)\\ \hline
+Patron sans superposition*& 0.466 (0.990)& 0.540 (0.989)& 0.505 (0.990)& 0.529 (0.991)\\ \hline
+Patron avec superposition& 0.202 (0.96)& 0.129 (0.98)& 0.851 (0.99)& 0.319 (0.98)\\ \hline
+Statistiques universelles& 0.319 (0.97)& 0.534 (0.99)& 0.759 (1.0)& 0.657 (0.99)\\ \hline
+Entropie approchée (m=10)& 0.075 (0.97)& 0.181 (0.99)& 0.213 (0.98)& 0.366 (0.98)\\ \hline
+Suite aléatoire *& 0.357 (0.986)& 0.569 (0.991)& 0.539 (0.987)& 0.435 (0.992)\\ \hline
+Suite aléatoire variante *& 0.398 (0.989)& 0.507 (0.986)& 0.668 (0.991)& 0.514 (0.994)\\ \hline
+Série* (m=10)& 0.859 (0.995)& 0.768 (0.99)& 0.427 (0.995)& 0.637 (0.98)\\ \hline
+Complexité linaire& 0.897 (0.99)& 0.366 (0.98)& 0.153 (1.0)& 0.437 (1.0)\\ \hline
+
+\end{tabular}
+\end{scriptsize}
+
+
+\caption{Test de NIST pour les fonctions
+ du tableau~\ref{table:functions} selon les itérations unaires}\label{fig:TEST:unaire}
+\end{table}
+
+
+\begin{table}[ht]
\centering
\begin{scriptsize}
- \begin{tabular}{|*{5}{c|}}
- \hline
-Test & $f^{*4}$ & $f^{*5}$ & $f^{*6}$ & $f^{*7}$ \\ \hline
-Fréquence (Monobit) & 0.025 (0.99) & 0.066 (1.0) & 0.319 (0.99) & 0.001 (1.0) \\ \hline
-Fréquence / bloc & 0.401 (0.99) & 0.867 (1.0) & 0.045 (0.99) & 0.085 (0.99) \\ \hline
-Somme Cumulé* & 0.219 (0.995) & 0.633 (1.0) & 0.635 (1.0) & 0.386 (0.99) \\ \hline
-Exécution & 0.964 (0.98) & 0.699 (0.99) & 0.181 (0.99) & 0.911 (0.98) \\ \hline
-Longue exécution dans un bloc & 0.137 (0.99) & 0.964 (1.0) & 0.145 (0.99) & 0.162 (0.98) \\ \hline
-Rang & 0.616 (0.99) & 0.678 (1.0) & 0.004 (1.0) & 0.816 (1.0) \\ \hline
-Fourier rapide & 0.048 (0.99) & 0.637 (0.97) & 0.366 (0.99) & 0.162 (0.99) \\ \hline
-Patron sans superposition* & 0.479 (0.988) & 0.465 (0.989) & 0.535 (0.989) & 0.499 (0.989) \\ \hline
-Patron avec superposition & 0.897 (1.0) & 0.657 (0.97) & 0.897 (0.98) & 0.236 (0.99) \\ \hline
-Statistiques universelles & 0.991 (0.98) & 0.657 (0.98) & 0.102 (0.98) & 0.719 (0.98) \\ \hline
-Entropie approchée (m=10) & 0.455 (1.0) & 0.964 (1.0) & 0.162 (1.0) & 0.897 (0.98) \\ \hline
-Suite aléatoire * & 0.372 (0.993) & 0.494 (0.986) & 0.243 (0.992) & 0.258 (0.993) \\ \hline
-Suite aléatoire variante * & 0.496 (0.989) & 0.498 (0.992) & 0.308 (0.983) & 0.310 (0.999) \\ \hline
-Série* (m=10) & 0.595 (0.995) & 0.289 (0.975) & 0.660 (0.995) & 0.544 (0.99) \\ \hline
-Complexité linaire & 0.816 (1.0) & 0.897 (0.98) & 0.080 (0.98) & 0.798 (1.0) \\ \hline
- \end{tabular}
+
+\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|}
+ \hline
+Test & 5 bits& 6 bits & 7 bits & 8bits \\ \hline
+Fréquence (Monobit)& 0.289 (1.0)& 0.437 (1.0)& 0.678 (1.0)& 0.153 (0.99)\\ \hline
+Fréquence ds un bloc& 0.419 (1.0)& 0.971 (0.98)& 0.419 (0.99)& 0.275 (1.0)\\ \hline
+Somme Cumulé*& 0.607 (0.99)& 0.224 (0.995)& 0.645 (0.995)& 0.901 (0.99)\\ \hline
+Exécution& 0.129 (0.99)& 0.005 (0.99)& 0.935 (0.98)& 0.699 (0.98)\\ \hline
+Longue exécution dans un bloc& 0.514 (1.0)& 0.739 (0.99)& 0.994 (1.0)& 0.834 (0.99)\\ \hline
+Rang& 0.455 (0.97)& 0.851 (0.99)& 0.554 (1.0)& 0.964 (0.99)\\ \hline
+Fourier rapide& 0.096 (0.98)& 0.955 (0.99)& 0.851 (0.97)& 0.037 (1.0)\\ \hline
+Patron sans superposition*& 0.534 (0.990)& 0.524 (0.990)& 0.508 (0.987)& 0.515 (0.99)\\ \hline
+Patron avec superposition& 0.699 (0.99)& 0.616 (0.95)& 0.071 (1.0)& 0.058 (1.0)\\ \hline
+Statistiques universelles& 0.062 (0.99)& 0.071 (1.0)& 0.637 (1.0)& 0.494 (0.98)\\ \hline
+Entropie approchée (m=10)& 0.897 (0.99)& 0.383 (0.99)& 0.366 (1.0)& 0.911 (0.99)\\ \hline
+Suite aléatoire *& 0.365 (0.983)& 0.442 (0.994)& 0.579 (0.992)& 0.296 (0.993)\\ \hline
+Suite aléatoire variante *& 0.471 (0.978)& 0.559 (0.992)& 0.519 (0.987)& 0.340 (0.995)\\ \hline
+Série* (m=10)& 0.447 (0.985)& 0.298 (0.995)& 0.648 (1.0)& 0.352 (0.995)\\ \hline
+Complexité linaire& 0.005 (0.98)& 0.534 (0.99)& 0.085 (0.97)& 0.996 (1.0)\\ \hline
+
+\end{tabular}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
\end{scriptsize}
+
+
+\caption{Test de NIST pour l'algorithme de Mersenne Twister}\label{fig:TEST:Mersenne}
\end{table}
-%
+
+\section{Conclusion}
+Ce chapitre a montré comment construire un PRNG chaotique, notamment à partir
+de codes de Gray équilibrés. Une méthode complètement automatique de
+construction de ce type de codes a été présentée étendant les méthodes
+existantes.
+Dans le cas des itérations unaires,
+l'algorithme qui en découle a un temps de mélange qui a
+un majorant quadratique de convergence vers la distribution uniforme.
+Pratiquement, ce temps de mélange se rapproche de $N\ln N$.
+Les expérimentations au travers de la batterie de test de NIST ont montré
+que toutes les propriétés statistiques sont obtenues pour
+ $\mathsf{N} = 4, 5, 6, 7, 8$.
+
