-\JFC{Refaire le châpeau}
-\section{Généralisation au cadre asynchrone}
-Dans ce chapitre une stratégie $s=(s^{t})^{t \in \Nats}$ est une séquence
-\emph{des éléments} qui sont mis à jour au temps $t$. Pratiquement,
-on représente ceci comme un nombre décimal dont la représentation en
+
+Pour être exécuté,
+le mode des itérations généralisées nécessite que chaque élément
+connaisse la valeur de chaque autre élément dont il dépend.
+Pratiquement, cela se réalise en diffusant les valeurs des éléments de
+proche en proche à tous les composants avant chaque itération.
+Dans le mode généralisé
+\emph{asynchrone}, le composant n'attend pas: il met à jour sa
+valeur avec les dernières valeurs dont il dispose, même si celles-ci
+ne sont pas à jour.
+Cette section vise l'étude de ce mode.
+
+
+%\subsection{Généralisation au cadre asynchrone}
+Pratiquement, chaque stratégie du mode généralisé peut être
+mémorisée comme un nombre décimal dont la représentation en
binaire donne la liste des éléments modifiés. Par exemple, pour un système
à 5 éléments la stratégie définie par
\begin{equation}\label{eq:pseudo}
s^{t}=24 \textrm{ si $t$ est pair et } s^{t}=15 \textrm{ sinon }
\end{equation}
\noindent active successivement les deux premiers éléments (24 est 11000)
-et les quatre derniers élements (15 est 01111).
+et les quatre derniers éléments (15 est 01111).
On dit que la stratégie est
\emph{pseudo-periodique} si tous les éléments sont activés infiniment
souvent.
Dans le mode asynchrone, a chaque itération $t$, chaque composant peut
mettre à jour son état en
fonction des dernières valeurs qu'il connaît des autre composants.
-Obtenir où non les valeurs les plus à jours dépent du temps de calcul et
+Obtenir ou non les valeurs les plus à jours dépend du temps de calcul et
du temps d'acheminement de celles-ci. On parle de latence, de délai.
-Formalisons le mode les itérations asynchrones.
+Formalisons le mode les itérations asynchrone.
Soit $x^0 =(x_1^0, \ldots, x_n^0)$ une configuration initiale.
Soit $(D^{t})^{t \in \Nats}$ la suite de matrice de taille $n \times n$
-dont chaque élément $D_{ij}^{t}$ represente la date (inférieure ou égale à $t$)
+dont chaque élément $D_{ij}^{t}$ représente la date (inférieure ou égale à $t$)
à laquelle la valeur $x_j$ produite par le composant $j$ devient
disponible au composant $i$.
On considère que le délai entre l'émission par $j$ et la réception par $i$,
défini par $\delta_{ij}^t = t - D_{ij}^{t}$ est borné par une constante $\delta_0$ pour tous les $i$, $j$.
-Le \emph{mode des itérations asynchrones} est défini pour chaque $i
+Le \emph{mode des itérations généralisées asynchrone}
+est défini pour chaque $i
\in \{1,\ldots,n\}$ et chaque $t=0,1,2,...$ par:
\vspace{-.5em}
x^{t+1}_i= \left\{
\begin{array}{l}
f_i( x_1^{D_{i1}^t},\ldots, x_{n}^{D_{i{n}}^t})
- \textrm{ if } \textit{bin}(s^t)[i] = 1\\
+ \textrm{ si } \textit{bin}(s^t)[i] = 1\\
x^{t}_i \textrm{ sinon }
\end{array}
\right.
\noindent où $\textit{bin}$ convertit un entier en un nombre binaire.
Les itérations de $f$ sont \emph{convergentes} modulo une configuration
-initiale $x^0$, une stratégi $s$ et une matrice de dates $(D^{t})^{t \in
+initiale $x^0$, une stratégie $s$ et une matrice de dates $(D^{t})^{t \in
\Nats}$, si la fonction atteint un point fixe.
Cela revient à vérifier la propriété suivante:
\begin{equation}\label{eq:conv}
\emph{universellement convergentes}.
-\section{Exemple jouet}
-On considère cinq éléments prenant à valeurs dans $\Bool$.
+\begin{xpl}
+On considère cinq éléments à valeurs dans $\Bool$.
Une configuration dans $\Bool^5$ est représentée par un entier entre
-0 et 31. La~\Fig{fig:mix:map} donne la fonction définissant la dynamique du
-système. La~\Fig{fig:mix:xplgraph} donne le graphe d'intéraction associé à cette fonction.
-On note que le graphe d'intéraction contient cinq cycles. Les résultats
-connus~\cite{Bah00} de conditions suffisantes établissant la convergencedu système pour les itérations synchrones et asynchrones sont basés sur l'absence de cycles. Ils ne peuvent donc pas être appliqués ici.
-
-\begin{figure}[ht]
-\begin{minipage}[b]{0.55\linewidth}
- \centering
- $ f(x)= \left \{
+0 et 31.
+La~\Fig{fig:mix:map} donne la fonction définissant la dynamique du
+système et son graphe d'interaction.
+On note que le graphe d'interaction contient cinq cycles. Les résultats
+connus~\cite{Bah00} de conditions suffisantes établissant la convergence
+du système pour les itérations généralisées sont
+basés sur l'absence de cycles. Ils ne peuvent donc pas être appliqués ici.
+
+\begin{figure}%[ht]
+ \begin{center}
+ $$ f(x)= \left \{
\begin{array}{lll}
f_1(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) & = & x_1.\overline{x_2} + \overline{x_1}.x_2 \\
f_2(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) & = & \overline{x_1 + x_2} \\
f_4(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) & = & x_5 \\
f_5(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) & = & \overline{x_3} + x_4
\end{array}
- \right. $
-\caption{Fonction $f$ de l'exemple jouet.}
-\label{fig:mix:map}
-\end{minipage}\hfill
-\begin{minipage}[b]{.40\linewidth}
- \begin{center}
- \includegraphics[scale=0.55]{images/xplgraphmix.eps}
+ \right.
+ $$
+
+ \includegraphics[scale=0.55]{xplgraphmix}
\end{center}
- \caption{Graphe d'interaction associé à $f$.}
- \label{fig:mix:xplgraph}
-\end{minipage}
+ \caption{Définition de $f:\Bool^5 \rightarrow \Bool^5$ et son graphe d'interaction}
+ \label{fig:mix:map}
\end{figure}
\begin{figure}
-\begin{minipage}{0.56\linewidth}
- \includegraphics[scale=0.55]{images/para_iterate_dec.eps}
- \caption{Itérations parallèlles de $f$.}\label{fig:mix:xplparaFig}
-\end{minipage}
-\hfill
-\begin{minipage}{0.39\linewidth}
- \includegraphics[scale=0.55]{images/chao_iterate_excerpt.eps}
- \caption{Extrait d'itérations chaotiques.}
- \label{fig:mix:xplchaoFig}
-\end{minipage}
+ \begin{center}
+ \subfigure[Itérations synchrones de $f$.]{
+ \includegraphics[scale=0.50]{para_iterate_dec}
+ \label{fig:mix:xplparaFig}
+ }
+ \subfigure[Extrait des itérations unaires.]{
+ \includegraphics[scale=0.49]{chao_iterate_excerpt}
+ \label{fig:mix:xplchaoFig}
+ }
+ \end{center}
+ \caption{Graphes des itérations de $f$ définie à la figure~\ref{fig:mix:map}}
\end{figure}
+\end{xpl}
+
-Dans ce qui suit, les configurations sont representées à l'aide d'entiers
-plutôt que nombres binaires. Le graphe des itérations parallèles est donné
+Dans ce qui suit, les configurations sont représentées à l'aide d'entiers
+plutôt que nombres binaires. Le graphe des itérations synchrones est donné
en~\Fig{fig:mix:xplparaFig}. Depuis n'importe quelle configuration, on constate
qu'il converge vers le point fixe correspondant à l'entier 19.
-Un extrait du graphe des itérations chaotiques est donné à
-la~\Fig{fig:mix:xplchaoFig}. Les libélés des arcs correspondent aux éléments
-activés. Les itérations chaotiques ne convergent pas pour la stratégie
+Un extrait du graphe des itérations unaires est donné à
+la~\Fig{fig:mix:xplchaoFig}. Les libellés des arcs correspondent aux éléments
+activés. Les itérations unaires ne convergent pas pour la stratégie
pseudo périodique donnée à l'équation~\Equ{eq:pseudo}:
le système peut infiniment boucler entre 11 et 3, entre 15 et 7.
-Comme les itérations chaotiques ne convergent pas pour certaines stratégies,
+Comme les itérations unaires ne convergent pas pour certaines stratégies,
les itérations asynchrones basées sur les même stratégies peuvent ne pas
converger aussi. Cependant, même si l'on considère que tous les composants
sont activés à chaque itération, c'est à dire si $s^t$ est
-constamment égal à $2^n-1$, le délais peut introduire de la divergence.
+constamment égal à $2^n-1$, le délai peut introduire de la divergence.
On considère par exemple la matrice $D^t$ dont chaque élément vaut $t$
sauf $D^t_{12}$ qui vaut $t-1$ si $t$ est impair.
On a ainsi $x^{t+1}= f(x^{t})$ si $t$ est pair et
\right).
$$
\noindent sinon.
-En démarant de $x^0=00011$, le système atteint $x^1 = 01011$ et boucle entre
+En démarrant de $x^0=00011$, le système atteint $x^1 = 01011$ et boucle entre
ces deux configurations. Pour une même stratégies, les itérations
-asynchrones divergent alors que les synchrones convergent.
+asynhrones divergent alors que les synchrones convergent.
Les sections suivantes de ce chapitre montrent comment résoudre ce problème.
-\section{Itérations Mixes}
+\subsection{Itérations Mixes}
Introduit dans~\cite{abcvs05}
-le mode d'\emph{itérations mixes} combine syncrhonisme et asynchronisme.
+le mode d'\emph{itérations mixes} combine synchronisme et asynchronisme.
Intuitivement, les n{\oe}uds qui pourraient introduire des cycles dans
les itérations asynchrones sont regroupés.
Les noeuds à l'intérieur de chaque groupe seront itérés de manière
synchrone.
-L'asynchronisme est conservé entre les groupes.
+Les itérations asynchrones sont conservées entre les groupes.
\begin{Def}[Relation de Synchronisation]\label{def:eqrel}
Soit une fonction $f$ et $\Gamma(f)$ son graphe d'interaction.
de plus $bin(s^t)[i]=bin(s^t)[j]$ et $D_{ij}^t=D_{ji}^t=t$ si $i \eqNode j$.
\end{Def}
-Dans ce contexte, il n'y a plus de délais entre deux noeuds de la même CFC
+Dans ce contexte, il n'y a plus de délai entre deux noeuds de la même CFC
et leurs mises à jour sont synchronisées.
Cependant, pour $p_0$ et $p_1$ dans la même classe \class{p},
et $q$ dans une autre classe \class{q}, ce mode opératoire autorise
\bigwedge_{p_k \in \class{p}, q_k \in \class{q} }
D_{p_{k}q_{k}}^{t} = d_{pq}^t
\end{equation*}
- % Je me demande si cette formalisation n'a pas un souci par rapport à une
- % formalisation avec un seul q ?! (car deux éléments supposent qu'ils sont distincts)
- % car si on a deux éléments dans chaque classe, on peut alors avoir deux
- % groupes de délais : supposons (a,b) dans p et (c,d) dans q
- % a,c et b,d sont égaux et a,d et b,c sont égaux mais rien n'implique que a,c et
- % a,d soient égaux !!!
\end{Def}
On a alors le théorème suivant.
-\section{Durées de convergence}
+\subsection{Durées de convergence}
Cette section donne des bornes supérieures et inférieures des durées
globales de convergence pour les modes synchrones, mixes et asynchrones.
-Pour symplifier le discours, on considère que les itérations
-convergent en in $I$ étapes dans le mode synchrone et que le graphe
-d'intéraction ne contient qu'une seule composante connexe.
+Pour simplifier le discours, on considère que les itérations
+convergent en $I$ étapes dans le mode synchrone et que le graphe
+d'interaction ne contient qu'une seule composante connexe.
Les durées de convergence prennent en compte les temps de calcul et les temps
de communication, ce depuis l'initialisation et jusqu'à la stabilisation.
Pour simplifier l'évaluation, nous considérons que le temps de calcul d'une
itération sur un composant ainsi que celui de communication entre deux
composants est constant. Ceci implique en particulier que, dans
-le mode asynchrone, les délais sont bornés. En d'autres mots, il existe
+le mode asynchrone, ces derniers sont bornés. En d'autres mots, il existe
un entier $\delta_0$ tel que $0 \le t-D_{ij}^t \le \delta_0$ est établi
pour tout couple de n{\oe}uds $(i,j)$.
Les notations utilisées sont les suivantes:
\begin{description}
-\item [Taille pour coder l'information:] elle represente le nombre de nécessaire de bits
+\item [Taille pour coder l'information] elle représente le nombre
+ de bits
+ nécessaires
pour représenter l'état courant du composant $i$ et est notée $\textit{cs}_i$;
-\item [Temps de calcul:] le composant $i$ a besoins de $\textit{cp}_i$ unités de temps
+\item [Temps de calcul] le composant $i$ a besoins de $\textit{cp}_i$ unités de temps
pour faire une mise à jour locale de son état;
-\item [Temps de communication:] On utilise le modèle classique de communication
+\item [Temps de communication] on utilise le modèle classique de communication
$\beta+L\tau$ où $L$ est le nombre de bits transférés.
On définit $\beta_{ij}$ et $\tau_{ij}$ comme la latence et la bande passante du lien
entre $i$ et $j$.
\label{sec:evalsync}
Dans le cas synchrone, la convergence la plus rapide est obtenue lorsque
-le point fixe $x^*$ est accesible en un seul pas depuis toute configuration.
+le point fixe $x^*$ est accessible en un seul pas depuis toute configuration.
Le temps global de convergence est donc minoré par $T_{min}(Sync)=\max_i\textit{cp}_i$
Dans le cas général, si $B$ est la matrice d'adjacence représentant le
graphe d'interaction, le temps global de convergence est
\begin{xpl}
Intuitivement la convergence se propage selon les dépendances internes au système:
- un n{\oe}ud se stabilise lorsque ceux dont il dépend sont eux aussi stables.
- Cette stabilisation progresive est illustrée à la \Fig{fig:evalsync} qui
- représente des exécutions parallèles dans le cas d'une initialisation avec la
+ un n{\oe}uds se stabilise lorsque ceux dont il dépend sont eux aussi stables.
+ Cette stabilisation progressive est illustrée à la \Fig{fig:evalsync} qui
+ représente des exécutions synchrones dans le cas d'une initialisation avec la
valeur (00100).
Dans cette figure et les suivantes, les blocs doublement hachurés
- induquent la stabilisation du composant.
+ indiquent la stabilisation du composant.
\begin{figure}
\centering
\begin{minipage}{1\linewidth}
- \includegraphics[scale=0.4]{images/eval_sync.eps}
- \caption{Itérations parallèles}
+ \includegraphics[scale=0.4]{eval_sync}
+ \caption{Itérations synchrones}
\label{fig:evalsync}
\end{minipage}
\begin{minipage}{1\textwidth}
- \includegraphics[scale=0.4]{images/eval_mixte.pdf}
- \caption{Iterations mixes avec
+ \includegraphics[scale=0.4]{eval_mixte}
+ \caption{Itérations mixes avec
\class{1} $=\{1,2\}$, \class{3} $=\{3\}$,
\class{4} $=\{4,5\}$.}
\label{fig:evalmixte}
\end{minipage}
\begin{minipage}{1\textwidth}
- \includegraphics[scale=0.4]{images/eval_async.pdf}
- \caption{Iterations asynchrones}
+ \includegraphics[scale=0.4]{eval_async}
+ \caption{Itérations asynchrones}
\label{fig:evalasync}
\end{minipage}
\end{figure}
- On peut constater que la premiière classe \class{1} se stabilise en deux itérations,
- la seconde classe \class{3} atteint sa valeur finale l'itérations suivante
- tandis que la dernière classe, \class{4}, converge en deux iterations.
+ On peut constater que la première classe \class{1} se stabilise en deux itérations,
+ la seconde classe \class{3} atteint sa valeur finale l'itération suivante
+ tandis que la dernière classe, \class{4}, converge en deux itérations.
\begin{equation}
\label{eq:I}
I=I_{\class{1}}+I_{\class{3}}+I_{\class{4}}=2+1+2=5
% \begin{figure}%[h]
% \centering
% % \includegraphics[width=\textwidth]{eval_siac.eps}
-% \includegraphics[width=\textwidth]{images/eval_siac.eps}
+% \includegraphics[width=\textwidth]{eval_siac.eps}
% \caption{Execution of the \textit{SIAC} iterations starting from state 4
% (00100).}
% \label{fig:evalsiac}
\subsection{le mode mixe}
\label{sec:evalmixed}
-% As detailed in Sect.~\ref{sec:mdn}, the mixed case asynchronously combines
-% subsets of synchronized components (the different classes). The double interest
-% of that approach is to ensure the convergence of the system while using
-% asynchronism.
-
-% The part of asynchronism often reduces the global execution time as the
-% communications between subgroups are implicitly overlapped by computations.
-% However, the iterative scheme is no more the same as the synchronous one and its
-% number of iterations to reach the convergence will be greater or equal.
-
-% Le nombre d'itérations requises pour obtenir la convergence en mode mixe
-% dépend des arangements entre les délais de communication et les durées de
-% calcul.
-
-% number directly depends on the arrangement of delays during the execution and
-% then on the communication times. But it also depends on the evolution functions
-% which influence the way each part of the system stabilizes itself.
-% In fact, according to its evolution function, a component may reach its fixed
-% point state even with a part of its input data not recently updated. In
-% addition, as mentioned earlier, the set of components in any system does not
-% stabilize at the same time and there is often a propagation of the stabilization
-% through the system.
-% Also, the previously mentioned phenomenon of stabilization propagation through
-% the system is still present in mixed mode.
On considère $|\mathcal{K}|$ classes de composants synchronisés.
-(comme donné en équation~(\ref{eq:I}).
+(comme donné en équation~(\ref{eq:I})).
Soit $I_k$ le nombre d'itérations suffisants pour que la classe
-$k \in \mathcal{K}$ se stabilise
+$\class{k} \in \mathcal{K}$ se stabilise
sachant toutes ses dépendances ont déjà convergé.
-Ainsi $I$ vaut $\sum_{k \in \mathcal{K}} I_k$.
-La borne inférieur pour la durée de convergence des itérations asynchrones est
+Ainsi $I$ vaut $\sum_{\class{k} \in \mathcal{K}} I_k$.
+La borne inférieure pour la durée de convergence des itérations asynchrones est
\begin{equation}
\label{eq:mixtelow}
T(\textit{Mixed})\ge \sum_{k\in \mathcal{K}} I_k(\max_{l\in k}\textit{cp}_{l})
Une exécution du mode mixe est donnée à la~\Fig{fig:evalmixte}.
On peut constater que le temps d'exécution peut être
plus petit que pour le
- mode paralèle.
+ mode synchrone.
\end{xpl}
-\subsection{Le mode asynchrone}
+\subsection{Le mode généralisé asynchrone}
\label{sec:evalasync}
En terme de durée de convergence, ce mode peut être vu comme un
cas particulier du mode mixe où toutes les classes sont des singletons.
\label{eq:asyncup}
T(\textit{Async})\le\sum_{i=1}^{n}\left(I_i\times \textit{cp}_{i}+\max_{1\le k \le n}B_{ki}(\beta_{ik}+\textit{cs}_{i}\tau_{ik})\right)
\end{equation}
-et apparaît lorsque chaque élément dépend des autres et que les calcules
+et apparaît lorsque chaque élément dépend des autres et que les calculs
ne recouvrent nullement les communications.
\begin{xpl}
- La \Fig{fig:evalasync} présente un exemple d'execution du mode asynchrone.
+ La \Fig{fig:evalasync} présente un exemple d'exécution du mode généralisé
+ asynchrone.
Certaines communications issues de l'élément $4$ n'ont pas été représentées
- pour des raisons de clareté.
+ pour des raisons de clarté.
On constate que le temps global de convergence est plus petit que celui des
deux autres modes.
\end{xpl}
+
-
-
-
-\section{Conclusion}
-The part of asynchronism often reduces the global execution time as the
-communications between subgroups are implicitly overlapped by computations.
-However, the iterative scheme is no more the same as the synchronous one and its
-number of iterations to reach the convergence will be greater or equal.
+% The part of asynchronism often reduces the global execution time as the
+% communications between subgroups are implicitly overlapped by computations.
+% However, the iterative scheme is no more the same as the synchronous one and its
+% number of iterations to reach the convergence will be greater or equal.
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
-%%% ispell-dictionary: "american"
+%%% ispell-dictionary: "french"
%%% mode: flyspell
%%% End:
