s^{t}=24 \textrm{ si $t$ est pair et } s^{t}=15 \textrm{ sinon }
\end{equation}
\noindent active successivement les deux premiers éléments (24 est 11000)
-et les quatre derniers élements (15 est 01111).
+et les quatre derniers éléments (15 est 01111).
On dit que la stratégie est
\emph{pseudo-periodique} si tous les éléments sont activés infiniment
souvent.
Dans le mode asynchrone, a chaque itération $t$, chaque composant peut
mettre à jour son état en
fonction des dernières valeurs qu'il connaît des autre composants.
-Obtenir où non les valeurs les plus à jours dépent du temps de calcul et
+Obtenir où non les valeurs les plus à jours dépend du temps de calcul et
du temps d'acheminement de celles-ci. On parle de latence, de délai.
Formalisons le mode les itérations asynchrones.
Soit $x^0 =(x_1^0, \ldots, x_n^0)$ une configuration initiale.
Soit $(D^{t})^{t \in \Nats}$ la suite de matrice de taille $n \times n$
-dont chaque élément $D_{ij}^{t}$ represente la date (inférieure ou égale à $t$)
+dont chaque élément $D_{ij}^{t}$ représente la date (inférieure ou égale à $t$)
à laquelle la valeur $x_j$ produite par le composant $j$ devient
disponible au composant $i$.
On considère que le délai entre l'émission par $j$ et la réception par $i$,
\noindent où $\textit{bin}$ convertit un entier en un nombre binaire.
Les itérations de $f$ sont \emph{convergentes} modulo une configuration
-initiale $x^0$, une stratégi $s$ et une matrice de dates $(D^{t})^{t \in
+initiale $x^0$, une stratégie $s$ et une matrice de dates $(D^{t})^{t \in
\Nats}$, si la fonction atteint un point fixe.
Cela revient à vérifier la propriété suivante:
\begin{equation}\label{eq:conv}
On considère cinq éléments prenant à valeurs dans $\Bool$.
Une configuration dans $\Bool^5$ est représentée par un entier entre
0 et 31. La~\Fig{fig:mix:map} donne la fonction définissant la dynamique du
-système. La~\Fig{fig:mix:xplgraph} donne le graphe d'intéraction associé à cette fonction.
-On note que le graphe d'intéraction contient cinq cycles. Les résultats
-connus~\cite{Bah00} de conditions suffisantes établissant la convergencedu système pour les itérations synchrones et asynchrones sont basés sur l'absence de cycles. Ils ne peuvent donc pas être appliqués ici.
+système. La~\Fig{fig:mix:xplgraph} donne le graphe d'interaction associé à cette fonction.
+On note que le graphe d'interaction contient cinq cycles. Les résultats
+connus~\cite{Bah00} de conditions suffisantes établissant la convergence du système pour les itérations synchrones et asynchrones sont basés sur l'absence de cycles. Ils ne peuvent donc pas être appliqués ici.
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[b]{0.55\linewidth}
\begin{figure}
\begin{minipage}{0.56\linewidth}
\includegraphics[scale=0.55]{images/para_iterate_dec.eps}
- \caption{Itérations parallèlles de $f$.}\label{fig:mix:xplparaFig}
+ \caption{Itérations parallèles de $f$.}\label{fig:mix:xplparaFig}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.39\linewidth}
\end{minipage}
\end{figure}
-Dans ce qui suit, les configurations sont representées à l'aide d'entiers
+Dans ce qui suit, les configurations sont représentées à l'aide d'entiers
plutôt que nombres binaires. Le graphe des itérations parallèles est donné
en~\Fig{fig:mix:xplparaFig}. Depuis n'importe quelle configuration, on constate
qu'il converge vers le point fixe correspondant à l'entier 19.
Un extrait du graphe des itérations chaotiques est donné à
-la~\Fig{fig:mix:xplchaoFig}. Les libélés des arcs correspondent aux éléments
+la~\Fig{fig:mix:xplchaoFig}. Les libellés des arcs correspondent aux éléments
activés. Les itérations chaotiques ne convergent pas pour la stratégie
pseudo périodique donnée à l'équation~\Equ{eq:pseudo}:
le système peut infiniment boucler entre 11 et 3, entre 15 et 7.
\right).
$$
\noindent sinon.
-En démarant de $x^0=00011$, le système atteint $x^1 = 01011$ et boucle entre
+En démarrant de $x^0=00011$, le système atteint $x^1 = 01011$ et boucle entre
ces deux configurations. Pour une même stratégies, les itérations
asynchrones divergent alors que les synchrones convergent.
Les sections suivantes de ce chapitre montrent comment résoudre ce problème.
\section{Itérations Mixes}
Introduit dans~\cite{abcvs05}
-le mode d'\emph{itérations mixes} combine syncrhonisme et asynchronisme.
+le mode d'\emph{itérations mixes} combine synchronisme et asynchronisme.
Intuitivement, les n{\oe}uds qui pourraient introduire des cycles dans
les itérations asynchrones sont regroupés.
Les noeuds à l'intérieur de chaque groupe seront itérés de manière
\section{Durées de convergence}
Cette section donne des bornes supérieures et inférieures des durées
globales de convergence pour les modes synchrones, mixes et asynchrones.
-Pour symplifier le discours, on considère que les itérations
+Pour simplifier le discours, on considère que les itérations
convergent en in $I$ étapes dans le mode synchrone et que le graphe
-d'intéraction ne contient qu'une seule composante connexe.
+d'interaction ne contient qu'une seule composante connexe.
Les durées de convergence prennent en compte les temps de calcul et les temps
de communication, ce depuis l'initialisation et jusqu'à la stabilisation.
pour tout couple de n{\oe}uds $(i,j)$.
Les notations utilisées sont les suivantes:
\begin{description}
-\item [Taille pour coder l'information:] elle represente le nombre de nécessaire de bits
+\item [Taille pour coder l'information:] elle représente le nombre de nécessaire de bits
pour représenter l'état courant du composant $i$ et est notée $\textit{cs}_i$;
\item [Temps de calcul:] le composant $i$ a besoins de $\textit{cp}_i$ unités de temps
pour faire une mise à jour locale de son état;
\label{sec:evalsync}
Dans le cas synchrone, la convergence la plus rapide est obtenue lorsque
-le point fixe $x^*$ est accesible en un seul pas depuis toute configuration.
+le point fixe $x^*$ est accessible en un seul pas depuis toute configuration.
Le temps global de convergence est donc minoré par $T_{min}(Sync)=\max_i\textit{cp}_i$
Dans le cas général, si $B$ est la matrice d'adjacence représentant le
graphe d'interaction, le temps global de convergence est
\begin{xpl}
Intuitivement la convergence se propage selon les dépendances internes au système:
- un n{\oe}ud se stabilise lorsque ceux dont il dépend sont eux aussi stables.
- Cette stabilisation progresive est illustrée à la \Fig{fig:evalsync} qui
+ un n{\oe}uds se stabilise lorsque ceux dont il dépend sont eux aussi stables.
+ Cette stabilisation progressive est illustrée à la \Fig{fig:evalsync} qui
représente des exécutions parallèles dans le cas d'une initialisation avec la
valeur (00100).
Dans cette figure et les suivantes, les blocs doublement hachurés
- induquent la stabilisation du composant.
+ indiquent la stabilisation du composant.
\begin{figure}
\begin{minipage}{1\textwidth}
\includegraphics[scale=0.4]{images/eval_mixte.pdf}
- \caption{Iterations mixes avec
+ \caption{Itérations mixes avec
\class{1} $=\{1,2\}$, \class{3} $=\{3\}$,
\class{4} $=\{4,5\}$.}
\label{fig:evalmixte}
\begin{minipage}{1\textwidth}
\includegraphics[scale=0.4]{images/eval_async.pdf}
- \caption{Iterations asynchrones}
+ \caption{Itérations asynchrones}
\label{fig:evalasync}
\end{minipage}
\end{figure}
- On peut constater que la premiière classe \class{1} se stabilise en deux itérations,
- la seconde classe \class{3} atteint sa valeur finale l'itérations suivante
- tandis que la dernière classe, \class{4}, converge en deux iterations.
+ On peut constater que la première classe \class{1} se stabilise en deux itérations,
+ la seconde classe \class{3} atteint sa valeur finale l'itération suivante
+ tandis que la dernière classe, \class{4}, converge en deux itérations.
\begin{equation}
\label{eq:I}
I=I_{\class{1}}+I_{\class{3}}+I_{\class{4}}=2+1+2=5
Une exécution du mode mixe est donnée à la~\Fig{fig:evalmixte}.
On peut constater que le temps d'exécution peut être
plus petit que pour le
- mode paralèle.
+ mode parallèle.
\end{xpl}
\subsection{Le mode asynchrone}
ne recouvrent nullement les communications.
\begin{xpl}
- La \Fig{fig:evalasync} présente un exemple d'execution du mode asynchrone.
+ La \Fig{fig:evalasync} présente un exemple d'exécution du mode asynchrone.
Certaines communications issues de l'élément $4$ n'ont pas été représentées
- pour des raisons de clareté.
+ pour des raisons de clarté.
On constate que le temps global de convergence est plus petit que celui des
deux autres modes.
\end{xpl}
+\section{Conclusion}
+Introduire de l'asynchronisme peut permettre de réduire le temps
+d'exécution global, mais peut aussi introduire de la divergence.
+Dans ce chapitre, nous avons exposé comment construire un mode combinant les
+avantage du synchronisme en terme de convergence avec les avantages
+de l'asynchronisme en terme de vitesse de convergence.
+
-
-
-
-\section{Conclusion}
-The part of asynchronism often reduces the global execution time as the
-communications between subgroups are implicitly overlapped by computations.
-However, the iterative scheme is no more the same as the synchronous one and its
-number of iterations to reach the convergence will be greater or equal.
+% The part of asynchronism often reduces the global execution time as the
+% communications between subgroups are implicitly overlapped by computations.
+% However, the iterative scheme is no more the same as the synchronous one and its
+% number of iterations to reach the convergence will be greater or equal.
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
