On reprend ici le même plan que dans la section précédente.
-Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel et $f$ une fonction de
-$\Bool^{{\mathsf{N}}}$ dans lui-même.
+
\subsection{Des itérations généralisées aux itérations parallèles}
des $s_{t}^{\textrm{ème}}$ éléments (inclus dans $[n]$) qui
sont mis à jour (c.f. équation~(\ref{eq:schema:generalise})).
On redéfinit la fonction la fonction
- $F_f: \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, \mathsf{N}\})
+ $F_{f_g}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, \mathsf{N}\})
\rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$ par
\[
- F_f(x,s)_i=\left\{
+ F_{f_g}(x,s)_i=\left\{
\begin{array}{l}
f_i(x) \textrm{ si $i \in s$;}\\
x_i \textrm{ sinon.}
\in \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$,
les
configurations $x^t$ sont définies par la récurrence
-\begin{equation}\label{eq:asyn}
- x^{t+1}=F_f(s_t,x^t).
+\begin{equation}\label{eq:asyn:g}
+ x^{t+1}=F_{f_g}(s_t,x^t).
\end{equation}
- Soit alors $G_f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$
+ Soit alors $G_{f_g}$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$
dans lui-même définie par
\[
- G_f(S,x)=(\sigma(S),F_f(s_0,x)),
+ G_{f_g}(S,x)=(\sigma(S),F_{f_g}(s_0,x)),
\]
- où la fonction $\sigma$ est définit comme à la section précédente.
+ où la fonction $\sigma$ est définie comme à la section précédente.
A nouveau, les itérations généralisées
de $f$ induites par $x^0$ et la stratégie $S$.
décrivent la même orbite que les
- itérations parallèles de $G_f$ depuis un point initial
+ itérations parallèles de $G_{f_g}$ depuis un point initial
$X^0=(x^0,S)$
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-On peut alors construire l'espace
-$\mathcal{X} = \Bool^{\mathsf{N}} \times
+On onstruit cette fois-ci l'espace
+$\mathcal{X}_g = \Bool^{\mathsf{N}} \times
\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$
-\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}$}
+\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}_g$}
Cette nouvelle distance va comparer des ensembles.
On rappelle pour quelques notions ensemblistes.
\]
où $\overline{B}$ désigne le complémentaire de $B$ dans $\Omega$.
-On considère l'espace $\mathcal{X}=\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}\times
+On considère l'espace $\mathcal{X}_g=\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}\times
\Bool^{\mathsf{N}}$ et
on définit la distance $d$ entre les points $X=(S,x)$ et
-$X'=(S',x')$ de $\mathcal{X}$ par
+$X'=(S',x')$ de $\mathcal{X}_g$ par
\[
d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(S,S'),~\textrm{où}~
\left\{
La section suivante caractérise les fonctions $f$ qui sont
chaotiques pour le schéma généralisées.
-
-\subsection{Caractérisation des fonctions chaotiques
-pour le schéma généralisé}
+\subsection{Caractérisation des fonctions rendant
+chaotiques $G_{f_g}$ sur $\mathcal{X}_g$}
+On reprend les définitions des ensembles $\mathcal{T}$, $\mathcal{R}$ et $\mathcal{C}$
+en les adaptant à $G_{f_g}$.
On a les théorèmes suivants dont les preuves sont données en
annexe~\ref{anx:chaos:generalise}.
-\begin{theorem} $G_f$ est transitive si et seulement si
- $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\begin{theorem} $G_{f_g}$ est transitive si et seulement si
+ $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
\end{theorem}
\begin{theorem}
-\label{Prop: T est dans R} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
+\label{Prop: T est dans R:g} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
\end{theorem}
\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
-\label{Th:CaracIC}
-Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_f$ est chaotique
-si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\label{Th:CaracIC:g}
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_g}$ est chaotique
+si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
\end{theorem}
