-Dans cette partie, les définitions fondamentales liées au chaos
-dans les systèmes booléens sont rappelées.
+Dans cette partie, les définitions fondamentales liées au chaos dans les
+systèmes booléens sont rappelées et plusieurs résultats théoriques sont montrés.
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-Soit un espace topologique $(\mathcal{X},\tau)$ et une fonction continue $f :
-\mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}$.
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-\begin{Def}[Chaos selon Devaney~\cite{Devaney}]
-La fonction $f$ \emph{chaotique} sur $(\mathcal{X},\tau)$
-si elles est régulière et topologiquement transitive.
+\begin{Def}[Chaos (Devaney)]
+Une fonction $k$ continue sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ est \textbf{chaotique}
+si elle est transitive,
+régulière et fortement sensible aux conditions initiales.
\end{Def}
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-\begin{Def}[Transitivite topologique]
-La fonction $f$ est dite \emph{topologiquement transitive} si,
-pour chaque paire d'ensembles ouverts
-$U,V \subset \mathcal{X}$,
-il existe $k>0$ tel que $f^k(U) \cap V \neq
-\varnothing$.
+\begin{Def}[Transitivité]
+Une fonction $k$ est \textbf{transitive} sur $(\mathcal{X},d)$ si la propriété suivante est établie:
+\[
+\forall X, Y\in \mathcal{X},
+\forall \epsilon > 0,
+\exists Z \in \mathcal{X},
+\exists t \in \Nats,
+d(X,Z) < \epsilon \land k^t(Z) = Y
+\]
\end{Def}
\begin{Def}[Point périodique]
- Un point $P \in \mathcal{X}$ est dit \emph{périodique} de période $t$ pour
+ Un point $P \in \mathcal{X}$ est dit \textbf{périodique} de période $t$ pour
une fonction $k$ si $t$ est un entier naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et
pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$.
- Par la suite, $\emph{Per(k)}$ dénote l'ensemble des points périodiques de
+ Par la suite, $\textbf{Per(k)}$ dénote l'ensemble des points périodiques de
$k$ dans $\mathcal{X}$ de période quelconque.
\end{Def}
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\begin{Def}[Régularité]
-La fonction $f$ est dite \emph{régulière}
-sur $(\mathcal{X}, \tau)$ si l'ensemble des points périodiques
- de $f$ is dense in $\mathcal{X}$:
-pour chaque point $x \in \mathcal{X}$, chaque voisin
-de $x$ contient au moins un point périodique
-(sans que la période soit nécessairement constante).
+Une fonction $k$ est dite \textbf{régulière} dans $(\mathcal{X},d)$
+si l'ensemble des points périodiques de $k$ est dense dans $\mathcal{X}$,
+c'est-à-dire si la propriété suivante est établie:
+\[
+\forall X \in \mathcal{X}, \forall \epsilon > 0, \exists Y \in \textit{Per}(k)
+ \textrm{ tel que } d(X,Y) < \epsilon.
+\]
\end{Def}
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-La propriété de chaos est souvent associée à la notion de
-\og sensibilité aux conditions initiales\fg{}, notion définie elle
-sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ par:
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\begin{Def}[Forte sensibilité aux conditions initiales]
-Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},\tau)$
-est \emph{fortement sensible aux conditions initiales}
+Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},d)$
+est \textbf{fortement sensible aux conditions initiales}
s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que
pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout
$\delta > 0$, il existe $Y \in \mathcal{X}$ et
$t \in \Nats$ qui vérifient $d(X,Y) < \delta$ et
$d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$.
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-La constante $\delta$ est appelée \emph{constante de sensibilité} de $f$.
\end{Def}
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John Banks et ses collègues ont cependant
démontré que la sensibilité aux conditions initiales est une conséquence
de la régularité et de la transitivité topologique~\cite{Banks92}.
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+On ne se focalise donc dans la suite que sur ces deux dernières
+propriétés pour caractériser les fonctions booléennes $f$
+rendant chaotique la fonction engendrée $G_f$.
