après remarques tof

[hdrcouchot.git] / 15RairoGen.tex

diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex
index 06f84b1889cafed48dad42d9b8049dbfd0981dfb..38920d84a268272246b2ab2c3ac81a4112f58e3d 100644 (file)
--- a/15RairoGen.tex
+++ b/15RairoGen.tex
@@ -6,26 +6,18 @@ le mot $x^b$ devrait  \og sembler ne plus dépendre\fg{} de $x^0$.
 On peut penser à exploiter une de ces fonctions $G_f$ 
 comme un générateur aléatoire. 
 
 On peut penser à exploiter une de ces fonctions $G_f$ 
 comme un générateur aléatoire. 
 

-Ce chapitre  présente une application directe
+Ce chapitre  présente donc une application directe

 de la théorie développée ci-avant
 de la théorie développée ci-avant

-à la génération de nombres pseudo aléatoires. 
+à la génération de nombres pseudo-aléatoires. 
+La section~\ref{sub:prng:algo} 
+présente tout d'abord l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
+distribution uniforme de la sortie est discutée dans cette section.
+La chaoticité du générateur est ensuite étudiée en 
+section~\ref{prng:unaire:chaos}.
+La section~\ref{sub:prng:algo}  a été publiée à ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}.

 
 
 
 

-La suite de ce document donnera
-une condition nécessaire est suffisante pour que
-cette propriété soit satisfaite.
-
-
-On présente tout d'abord le générateur
-basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}), 
-puis comment intégrer la contrainte de distribution uniforme
-de la sortie 
-dans le choix de la fonction à itérer (section~\ref{sub:prng:unif}). 
-L'approche est évaluée dans la dernière section.
-\JFC{plan à revoir}
- 
-
-\section{ Nombres pseudo aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
+\section{ Nombres pseudo-aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}

 
 
 
 
 
 


@@ -52,8 +44,8 @@ return $x$\;
 \end{algorithm}
 
 \subsection{Algorithme d'un générateur}
 \end{algorithm}
 
 \subsection{Algorithme d'un générateur}

-On peut penser à construire un générateur de nombres pseudo 
-aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous.
+On peut penser à construire un générateur de nombres 
+pseudo-aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous.

 
 
 Celui-ci prend en entrée: une fonction $f$;
 
 
 Celui-ci prend en entrée: une fonction $f$;


@@ -64,10 +56,10 @@ la fonction $F_{f_u}$ (équation~\ref{eq:iterations:unaires}
 vue au chapitre~\ref{chap:carachaos}) et correspondant 
 à des itérations unaires.
 En interne, il exploite un algorithme de génération
 vue au chapitre~\ref{chap:carachaos}) et correspondant 
 à des itérations unaires.
 En interne, il exploite un algorithme de génération

-de nombres pseudo aléatoires donné en paramètre.
+de nombres pseudo-aléatoires donné en paramètre.

 Cela peut être n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la 
 sortie est uniformément distribuée.
 Cela peut être n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la 
 sortie est uniformément distribuée.

-Notre approche vise a donner des propriétés de chaos a ce générateur embarqué.
+Notre approche vise a donner des propriétés de chaos à ce générateur embarqué.

 
 
 % \textit{Random}$(l)$. 
 
 
 % \textit{Random}$(l)$. 


@@ -105,11 +97,11 @@ Notre approche vise a donner des propriétés de chaos a ce générateur embarqu
 
 Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que 
 $G_{f_u}$ est chaotique dans l'espace $\mathcal{X}_u$ 
 
 Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que 
 $G_{f_u}$ est chaotique dans l'espace $\mathcal{X}_u$ 

-si et seulement le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ 
+si et seulement si le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ 

 est fortement connexe.
 Pour $b=1$, l'algorithme itère la fonction $F_{f_u}$.
 
 est fortement connexe.
 Pour $b=1$, l'algorithme itère la fonction $F_{f_u}$.
 

-Pour simuler au mieux l'aléa, un bon générateur de nombre pseudo-aléatoires
+Pour simuler au mieux l'aléa, un bon générateur de nombres pseudo-aléatoires

 se doit de fournir  des nombres selon une distribution uniforme.
 Regardons comment l'uniformité de la distribution 
 contraint la fonction $f$ à itérer.
 se doit de fournir  des nombres selon une distribution uniforme.
 Regardons comment l'uniformité de la distribution 
 contraint la fonction $f$ à itérer.


@@ -126,7 +118,7 @@ si  la propriété suivante est établie:
 $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
 
 On énonce le théorème classique suivant liant les 
 $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
 
 On énonce le théorème classique suivant liant les 

-vecteur de probabilités 
+vecteurs de probabilités 

 et les chaînes de Markov.
 
 
 et les chaînes de Markov.
 
 


@@ -147,8 +139,8 @@ et les chaînes de Markov.
 
 Montrons sur un exemple jouet à deux éléments 
 que ce théorème permet de vérifier si la sortie d'un générateur de 
 
 Montrons sur un exemple jouet à deux éléments 
 que ce théorème permet de vérifier si la sortie d'un générateur de 

-nombres pseudo aléatoires est uniformément distribuée ou non.
-Soit alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$
+nombres pseudo-aléatoires est uniformément distribuée ou non.
+Soient alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$

 définies par $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1.\overline{x_2}) $
 et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$.
 Leurs graphes d'interactions donnés en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter}
 définies par $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1.\overline{x_2}) $
 et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$.
 Leurs graphes d'interactions donnés en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter}


@@ -157,7 +149,7 @@ Leurs graphes d'itérations
 sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures~\ref{fig:g:iter} 
 et~\ref{fig:h:iter}.
 \textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient être intégrées
 sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures~\ref{fig:g:iter} 
 et~\ref{fig:h:iter}.
 \textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient être intégrées

-dans un générateur de nombres pseudo aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 
+dans un générateur de nombres pseudo-aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et 

 que cela l'est pour $h$.
 
 
 que cela l'est pour $h$.
 
 


@@ -291,10 +283,10 @@ Alors d'après le théorème~\ref{th},
 pour n'importe quel vecteur initial de probabilités $\pi^0$, on a 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_g = \pi_g$ et 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_h = \pi_h$. 
 pour n'importe quel vecteur initial de probabilités $\pi^0$, on a 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_g = \pi_g$ et 
 $\lim_{k \to \infty} \pi^0 M^k_h = \pi_h$. 

-Ainsi la chaîne de Markov associé à $h$ tend vers une 
+Ainsi la chaîne de Markov associée à $h$ tend vers une 

 distribution uniforme, contrairement à celle associée à $g$.
 On en déduit que $g$ ne devrait pas être itérée dans 
 distribution uniforme, contrairement à celle associée à $g$.
 On en déduit que $g$ ne devrait pas être itérée dans 

-un générateur de nombres pseudo aléatoires.
+un générateur de nombres pseudo-aléatoires.

 Au contraire, 
 $h$ devrait pouvoir être embarquée dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, 
 pour peu que le nombre $b$ d'itérations entre deux mesures successives 
 Au contraire, 
 $h$ devrait pouvoir être embarquée dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, 
 pour peu que le nombre $b$ d'itérations entre deux mesures successives 


@@ -302,20 +294,20 @@ de valeurs  soit suffisamment grand de sorte que
 le vecteur d’état de la chaîne de Markov
 ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
 
 le vecteur d’état de la chaîne de Markov
 ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
 

-On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}.
+On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexe~\ref{anx:generateur}.

 
 

-\begin{theorem}\label{thm:prng:u}
+\begin{restatable}[Uniformité de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u}

   Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
   graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
   et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  
   définie par 
   $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
   Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors 
   Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
   graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
   et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  
   définie par 
   $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
   Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors 

-  la sortie du générateur de nombres pseudo aléatoires détaillé par 
+  la sortie du générateur de nombres pseudo-aléatoires détaillé par 

   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
   tend vers la distribution uniforme si 
   et seulement si  $M$ est une matrice doublement stochastique.
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
   tend vers la distribution uniforme si 
   et seulement si  $M$ est une matrice doublement stochastique.

-\end{theorem}
+\end{restatable}

 
 
 \subsection{Quelques exemples}
 
 
 \subsection{Quelques exemples}


@@ -333,7 +325,7 @@ Expliquons enfin comment a été calculé le nombre de la troisième
 colonne utilisé comme le paramètre $b$ 
 dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
 
 colonne utilisé comme le paramètre $b$ 
 dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
 

-Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 
+Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{n}}$. 

 Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$, 
 du vecteur $e_i M_f^t$ représente la probabilité 
 d'être dans la configuration $j$ après $t$ étapes du processus de Markov 
 Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$, 
 du vecteur $e_i M_f^t$ représente la probabilité 
 d'être dans la configuration $j$ après $t$ étapes du processus de Markov 


@@ -439,7 +431,7 @@ $\mathcal{F}_{16}$ &14, 15, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
 
 La qualité des séquences aléatoires a été évaluée à travers la suite 
 de tests statistiques développée pour les générateurs de nombres 
 
 La qualité des séquences aléatoires a été évaluée à travers la suite 
 de tests statistiques développée pour les générateurs de nombres 

-pseudo aléatoires par le 
+pseudo-aléatoires par le 

 \emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST).
 L'expérience a montré notamment que toutes ces fonctions
 passent avec succès cette batterie de tests.
 \emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST).
 L'expérience a montré notamment que toutes ces fonctions
 passent avec succès cette batterie de tests.


@@ -454,7 +446,7 @@ Montrer que les sous-séquences de suites chaotiques ainsi générées  demeuren
 est l'objectif de la section suivante.
 
 
 est l'objectif de la section suivante.
 
 

-\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }
+\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }\label{prng:unaire:chaos}

 
 Cette section présente un espace métrique adapté au générateur de nombres pseudo-aléatoires 
 présenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente 
 
 Cette section présente un espace métrique adapté au générateur de nombres pseudo-aléatoires 
 présenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente 


@@ -486,7 +478,7 @@ F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(F_{f_u}(x,u^0), u^1), \hdots), u^{p_i-1}).
 $$
 
 
 $$
 
 

-on construit l'espace 
+On construit l'espace 

  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, où
 $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=
 [\mathsf{N}]^{\Nats}\times 
  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, où
 $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=
 [\mathsf{N}]^{\Nats}\times 


@@ -536,7 +528,7 @@ où $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\math
 \mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$. 
 \begin{enumerate}
 \item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. 
 \mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$. 
 \begin{enumerate}
 \item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. 

-La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ sur entre les 
+La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ entre les 

 décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le 
 le nombre de bits qu'elles ont de différent) constitue 
 la partie entière de $d(X,\check{X})$.
 décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le 
 le nombre de bits qu'elles ont de différent) constitue 
 la partie entière de $d(X,\check{X})$.


@@ -566,7 +558,7 @@ jusqu'à atteindre
 $p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments.
 \item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$  blocs de $n$
 éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
 $p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments.
 \item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$  blocs de $n$
 éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,

-$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivi par des 0, si besoin.
+$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivis par des 0, si besoin.

 \item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis
 \end{enumerate}
 \item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
 \item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis
 \end{enumerate}
 \item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.


@@ -623,7 +615,7 @@ On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$,
 chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06.
 Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois, 
 on complète cette valeur par des 0 de sorte que 
 chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06.
 Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois, 
 on complète cette valeur par des 0 de sorte que 

-la chaîne obtenue a $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit:
+la chaîne obtenue ait $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit:

 0600000000000000000000. 
 De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
 termes de $\check{u}$ sont représentés par 
 0600000000000000000000. 
 De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
 termes de $\check{u}$ sont représentés par 


@@ -660,10 +652,12 @@ la séquence.
 
 
 
 
 
 

-On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexes~\ref{anx:generateur}.
-\begin{lemma}
+On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexe~\ref{anx:generateur}.
+
+
+\begin{restatable}[Une distance dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$]{theorem}{distancedsxnp}

 $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
 $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.

-\end{lemma}
+\end{restatable}

 
 
 \subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant  $\textsc{giu}(f)$}
 
 
 \subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant  $\textsc{giu}(f)$}


@@ -677,7 +671,7 @@ définit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suiva
 \item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de 
 $\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), et pour chaque 
 $k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a 
 \item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de 
 $\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), et pour chaque 
 $k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a 

- $u_k$ qui apaprtient à  $[\mathsf{N}]$ et 
+ $u_k$ qui appartient à  $[\mathsf{N}]$ et 

 $y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
 \end{itemize}
 Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.
 $y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
 \end{itemize}
 Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.


@@ -728,12 +722,12 @@ $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ déjà détail
 
 Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}.
 Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$  et
 
 Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}.
 Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$  et

-$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figure~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. 
+$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figures~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. 

 Le premier (respectivement le second) 
 illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement 
 2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat.
 Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait 
 Le premier (respectivement le second) 
 illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement 
 2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat.
 Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait 

-à itérer en interne systématiquement 2 ou trois fois avant de retourner un résultat.
+à itérer en interne systématiquement 2 ou 3 fois avant de retourner un résultat.

 
 \end{xpl}
 
 
 \end{xpl}
 


@@ -741,26 +735,35 @@ Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait
 \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
 
 Le théorème suivant, similaire à ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
 \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
 
 Le théorème suivant, similaire à ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$

-est prouvé en annexes~\ref{anx:generateur}.
+est prouvé en annexe~\ref{anx:generateur}.

 
 

-\begin{theorem}
+\begin{restatable}[Conditions pour la chaoticité de $G_{f_u,\mathcal{P}}$]{theorem}{thmchoticitgfp}

 La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur 
  $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si 
 La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur 
  $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si 

-graphe d'itération $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
+le graphe d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 

 est fortement connexe.
 est fortement connexe.

-\end{theorem}
-On alors corollaire suivant 
-
-\begin{corollary}
-  Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé 
-  à l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
-  n'est pas chaotique 
-  sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation.
-\end{corollary}
-\begin{proof}
-  Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
-  Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$
-  n'est pas fortement connexe.
-\end{proof}
-
+\end{restatable}
+% On alors corollaire suivant 
+
+% \begin{corollary}
+%   Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé 
+%   à l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+%   n'est pas chaotique 
+%   sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation.
+% \end{corollary}
+% \begin{proof}
+%   Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
+%   Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$
+%   n'est pas fortement connexe.
+% \end{proof}
+
+
+\section{Conclusion}
+Ce chapitre a proposé un algorithme permettant de construire un 
+PRNG chaotique à partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nécessaire 
+et suffisant que la fonction $f$ qui est itérée un nombre $b$ de fois 
+possède un $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ fortement connexe et que sa matrice de Markov associée soit doublement stochastique.
+Le chapitre suivant montre comment construire une telle fonction.

 
 

+ 
+