fin relecture sylvaine

[hdrcouchot.git] / 15RairoGen.tex

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index 06f84b1889cafed48dad42d9b8049dbfd0981dfb..a57e19f8e3d4028e850c0db6abf1133b9d43c9d3 100644 (file)
--- a/15RairoGen.tex
+++ b/15RairoGen.tex
@@ -6,25 +6,17 @@ le mot $x^b$ devrait  \og sembler ne plus dépendre\fg{} de $x^0$.
 On peut penser à exploiter une de ces fonctions $G_f$ 
 comme un générateur aléatoire. 
 
 On peut penser à exploiter une de ces fonctions $G_f$ 
 comme un générateur aléatoire. 
 

-Ce chapitre  présente une application directe
+Ce chapitre  présente donc une application directe

 de la théorie développée ci-avant
 à la génération de nombres pseudo aléatoires. 
 de la théorie développée ci-avant
 à la génération de nombres pseudo aléatoires. 

+La section~\ref{sub:prng:algo} 
+présente tout d'abord l'algorithme de PRNG. La contrainte de  
+distribution uniforme de la sortie est discutée dans cette section.
+La chaoticité du générateur est ensuite étudiée en 
+section~\ref{prng:unaire:chaos}.
+La section~\ref{sub:prng:algo}  a été publiée à ~\cite{bcgw11:ip,bcgr11:ip}.

 
 
 
 

-La suite de ce document donnera
-une condition nécessaire est suffisante pour que
-cette propriété soit satisfaite.
-
-
-On présente tout d'abord le générateur
-basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}), 
-puis comment intégrer la contrainte de distribution uniforme
-de la sortie 
-dans le choix de la fonction à itérer (section~\ref{sub:prng:unif}). 
-L'approche est évaluée dans la dernière section.
-\JFC{plan à revoir}
- 
-

 \section{ Nombres pseudo aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
 
 
 \section{ Nombres pseudo aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
 
 


@@ -67,7 +59,7 @@ En interne, il exploite un algorithme de génération
 de nombres pseudo aléatoires donné en paramètre.
 Cela peut être n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la 
 sortie est uniformément distribuée.
 de nombres pseudo aléatoires donné en paramètre.
 Cela peut être n'importe quel PRNG (XORshift, Mersenne-Twister) dont la 
 sortie est uniformément distribuée.

-Notre approche vise a donner des propriétés de chaos a ce générateur embarqué.
+Notre approche vise a donner des propriétés de chaos à ce générateur embarqué.

 
 
 % \textit{Random}$(l)$. 
 
 
 % \textit{Random}$(l)$. 


@@ -105,11 +97,11 @@ Notre approche vise a donner des propriétés de chaos a ce générateur embarqu
 
 Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que 
 $G_{f_u}$ est chaotique dans l'espace $\mathcal{X}_u$ 
 
 Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que 
 $G_{f_u}$ est chaotique dans l'espace $\mathcal{X}_u$ 

-si et seulement le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ 
+si et seulement si le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ 

 est fortement connexe.
 Pour $b=1$, l'algorithme itère la fonction $F_{f_u}$.
 
 est fortement connexe.
 Pour $b=1$, l'algorithme itère la fonction $F_{f_u}$.
 

-Pour simuler au mieux l'aléa, un bon générateur de nombre pseudo-aléatoires
+Pour simuler au mieux l'aléa, un bon générateur de nombres pseudo-aléatoires

 se doit de fournir  des nombres selon une distribution uniforme.
 Regardons comment l'uniformité de la distribution 
 contraint la fonction $f$ à itérer.
 se doit de fournir  des nombres selon une distribution uniforme.
 Regardons comment l'uniformité de la distribution 
 contraint la fonction $f$ à itérer.


@@ -126,7 +118,7 @@ si  la propriété suivante est établie:
 $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
 
 On énonce le théorème classique suivant liant les 
 $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
 
 On énonce le théorème classique suivant liant les 

-vecteur de probabilités 
+vecteurs de probabilités 

 et les chaînes de Markov.
 
 
 et les chaînes de Markov.
 
 


@@ -148,7 +140,7 @@ et les chaînes de Markov.
 Montrons sur un exemple jouet à deux éléments 
 que ce théorème permet de vérifier si la sortie d'un générateur de 
 nombres pseudo aléatoires est uniformément distribuée ou non.
 Montrons sur un exemple jouet à deux éléments 
 que ce théorème permet de vérifier si la sortie d'un générateur de 
 nombres pseudo aléatoires est uniformément distribuée ou non.

-Soit alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$
+Soient alors $g$ et $h$ deux fonctions  de $\Bool^2$

 définies par $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1.\overline{x_2}) $
 et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$.
 Leurs graphes d'interactions donnés en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter}
 définies par $g(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1.\overline{x_2}) $
 et $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$.
 Leurs graphes d'interactions donnés en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter}


@@ -302,9 +294,9 @@ de valeurs  soit suffisamment grand de sorte que
 le vecteur d’état de la chaîne de Markov
 ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
 
 le vecteur d’état de la chaîne de Markov
 ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
 

-On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}.
+On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexe~\ref{anx:generateur}.

 
 

-\begin{theorem}\label{thm:prng:u}
+\begin{restatable}[Uniformité de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u}

   Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
   graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
   et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  
   Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son 
   graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
   et $M$ une matrice  $2^n\times 2^n$  


@@ -315,7 +307,7 @@ On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annex
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
   tend vers la distribution uniforme si 
   et seulement si  $M$ est une matrice doublement stochastique.
   l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui 
   tend vers la distribution uniforme si 
   et seulement si  $M$ est une matrice doublement stochastique.

-\end{theorem}
+\end{restatable}

 
 
 \subsection{Quelques exemples}
 
 
 \subsection{Quelques exemples}


@@ -454,7 +446,7 @@ Montrer que les sous-séquences de suites chaotiques ainsi générées  demeuren
 est l'objectif de la section suivante.
 
 
 est l'objectif de la section suivante.
 
 

-\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }
+\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }\label{prng:unaire:chaos}

 
 Cette section présente un espace métrique adapté au générateur de nombres pseudo-aléatoires 
 présenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente 
 
 Cette section présente un espace métrique adapté au générateur de nombres pseudo-aléatoires 
 présenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente 


@@ -486,7 +478,7 @@ F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(F_{f_u}(x,u^0), u^1), \hdots), u^{p_i-1}).
 $$
 
 
 $$
 
 

-on construit l'espace 
+On construit l'espace 

  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, où
 $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=
 [\mathsf{N}]^{\Nats}\times 
  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, où
 $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=
 [\mathsf{N}]^{\Nats}\times 


@@ -536,7 +528,7 @@ où $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\math
 \mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$. 
 \begin{enumerate}
 \item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. 
 \mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$. 
 \begin{enumerate}
 \item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. 

-La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ sur entre les 
+La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ entre les 

 décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le 
 le nombre de bits qu'elles ont de différent) constitue 
 la partie entière de $d(X,\check{X})$.
 décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le 
 le nombre de bits qu'elles ont de différent) constitue 
 la partie entière de $d(X,\check{X})$.


@@ -566,7 +558,7 @@ jusqu'à atteindre
 $p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments.
 \item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$  blocs de $n$
 éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
 $p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments.
 \item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$  blocs de $n$
 éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,

-$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivi par des 0, si besoin.
+$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivis par des 0, si besoin.

 \item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis
 \end{enumerate}
 \item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
 \item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis
 \end{enumerate}
 \item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.


@@ -623,7 +615,7 @@ On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$,
 chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06.
 Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois, 
 on complète cette valeur par des 0 de sorte que 
 chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06.
 Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois, 
 on complète cette valeur par des 0 de sorte que 

-la chaîne obtenue a $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit:
+la chaîne obtenue ait $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit:

 0600000000000000000000. 
 De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
 termes de $\check{u}$ sont représentés par 
 0600000000000000000000. 
 De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
 termes de $\check{u}$ sont représentés par 


@@ -660,10 +652,12 @@ la séquence.
 
 
 
 
 
 

-On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexes~\ref{anx:generateur}.
-\begin{lemma}
+On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexe~\ref{anx:generateur}.
+
+
+\begin{restatable}[Une distance dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$]{theorem}{distancedsxnp}

 $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
 $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.

-\end{lemma}
+\end{restatable}

 
 
 \subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant  $\textsc{giu}(f)$}
 
 
 \subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant  $\textsc{giu}(f)$}


@@ -677,7 +671,7 @@ définit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suiva
 \item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de 
 $\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), et pour chaque 
 $k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a 
 \item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de 
 $\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), et pour chaque 
 $k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a 

- $u_k$ qui apaprtient à  $[\mathsf{N}]$ et 
+ $u_k$ qui appartient à  $[\mathsf{N}]$ et 

 $y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
 \end{itemize}
 Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.
 $y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
 \end{itemize}
 Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.


@@ -728,12 +722,12 @@ $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ déjà détail
 
 Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}.
 Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$  et
 
 Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}.
 Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$  et

-$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figure~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. 
+$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figures~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}. 

 Le premier (respectivement le second) 
 illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement 
 2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat.
 Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait 
 Le premier (respectivement le second) 
 illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement 
 2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat.
 Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait 

-à itérer en interne systématiquement 2 ou trois fois avant de retourner un résultat.
+à itérer en interne systématiquement 2 ou 3 fois avant de retourner un résultat.

 
 \end{xpl}
 
 
 \end{xpl}
 


@@ -741,26 +735,35 @@ Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait
 \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
 
 Le théorème suivant, similaire à ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
 \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
 
 Le théorème suivant, similaire à ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$

-est prouvé en annexes~\ref{anx:generateur}.
+est prouvé en annexe~\ref{anx:generateur}.

 
 

-\begin{theorem}
+\begin{restatable}[Conditions pour la chaoticité de $G_{f_u,\mathcal{P}}$]{theorem}{thmchoticitgfp}

 La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur 
  $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si 
 La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur 
  $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si 

-graphe d'itération $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
+le graphe d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 

 est fortement connexe.
 est fortement connexe.

-\end{theorem}
-On alors corollaire suivant 
-
-\begin{corollary}
-  Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé 
-  à l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
-  n'est pas chaotique 
-  sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation.
-\end{corollary}
-\begin{proof}
-  Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
-  Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$
-  n'est pas fortement connexe.
-\end{proof}
-
+\end{restatable}
+% On alors corollaire suivant 
+
+% \begin{corollary}
+%   Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé 
+%   à l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+%   n'est pas chaotique 
+%   sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation.
+% \end{corollary}
+% \begin{proof}
+%   Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
+%   Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$
+%   n'est pas fortement connexe.
+% \end{proof}
+
+
+\section{Conclusion}
+Ce chapitre a proposé un algorithme permettant de construire un 
+PRNG chaotique à partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nécessaire 
+et suffisant que la fonction $f$ qui est itérée un nombre $b$ de fois 
+possède un $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ fortement connexe et que sa matrice de Markov associée soit doublement stochastique.
+Le chapitre suivant montre comment construire une telle fonction.

 
 

+ 
+