- Cette section présente une application directe de la théorie développée ci-avant
-à la génération de nombres pseudo aléatoires. On présente tout d'abord le générateur
+Au bout d'un nombre $b$ d'itérations,
+si la fonction, notée $G_{f_u}$ (ou bien $G_{f_g}$)
+présentée au chapitre~\ref{chap:carachaos},
+a de \og bonnes\fg{} propriétés chaotiques,
+le mot $x^b$ devrait \og sembler ne plus dépendre\fg{} de $x^0$.
+On peut penser à exploiter une de ces fonctions $G_f$
+comme un générateur aléatoire.
+Enfin, un bon générateur aléatoire se doit de
+fournir des nombres selon une {distributionuniforme}
+La suite de ce document donnera,
+dans le cas où le graphe d'itérations est fortement connexe,
+une condition nécessaire est suffisante pour que
+cette propriété soit satisfaite.
+
+
+Cette section présente une application directe de la théorie développée ci-avant
+à la génération de nombres pseudo aléatoires.
+On présente tout d'abord le générateur
basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}),
-puis comment intégrer la contrainte de \gls{distributionuniforme}
-(cf. glossaire) de la sortie
+puis comment intégrer la contrainte de distributionuniforme
+de la sortie
dans le choix de la fonction à itérer (section~\ref{sub:prng:unif}).
L'approche est évaluée dans la dernière section.
+\JFC{plan à revoir}
\subsection{ Générateur de nombres pseudo aléatoires basé sur le chaos}\label{sub:prng:algo}
Cet algorithme est utilisée dans notre générateur pour construire la longueur
de la stratégie ainsi que les éléments qui la composent.
Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$
-selon une \gls{distributionuniforme} (cf. glossaire) et utilise
+selon une distributionuniforme et utilise
\textit{XORshift} qui est une classe de générateurs de
nombres pseudo aléatoires
très rapides conçus par George Marsaglia.
% L'algorithme \textit{XORshift} exploite itérativement
-% la fonction \og \gls{xor}\fg{} $\oplus$ (cf. glossaire)
-% sur des nombres obtenus grâce à des \glspl{decalageDeBits} (cf. glossaire).
+% la fonction \og {xor}\fg{} $\oplus$ (cf. glossaire)
+% sur des nombres obtenus grâce à des pl{decalageDeBits} (cf. glossaire).
L'algorithme \textit{XORshift}
exploite itérativement l'opérateur $\oplus$
-sur des nombres obtenus grâce à des \glspl{decalageDeBits} (cf. glossaire).
+sur des nombres obtenus grâce à des decalages de bits.
Cet opérateur, défini dans $\Bool^{n}$,
-applique la fonction \og \gls{xor} \fg{} (cf. glossaire)
+applique la fonction \og xor \fg{}
aux bits de même rang de ses deux opérandes (\og opération bit à bit \fg{}).
Une instance de cette classe est donnée dans l'algorithme~\ref{XORshift} donné
ci-dessous.
$$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
On énonce enfin le théorème suivant liant les
-\glspl{vecteurDeProbabilite} (cf. glossaire)
-et les \glspl{chaineDeMarkov} (cf. glossaire):
+vecteurDeProbabilite
+et les chaineDeMarkov:
Si $M$ est une matrice stochastique régulière, alors $M$
possède un unique vecteur stationnaire de probabilités $\pi$
($\pi.M = \pi$).
- De plus, si $\pi^0$ est un \gls{vecteurDeProbabilite}
+ De plus, si $\pi^0$ est un {vecteurDeProbabilite}
et si on définit
la suite $(\pi^{k})^{k \in \Nats}$ par
$\pi^{k+1} = \pi^k.M $ pour $k = 0, 1,\dots$
- alors la \gls{chaineDeMarkov} $\pi^k$
+ alors la {chaineDeMarkov} $\pi^k$
converge vers $\pi$ lorsque $k$ tend vers l'infini.
\end{Theo}
chaque arc sortant de ce sommet a, parmi l'ensemble des arcs sortant
de ce sommet, une probabilité $1/2$ d’être celui qui sera traversé.
En d'autres mots, $\Gamma(g)$ est le graphe orienté d'une chaîne de Markov.
-Il est facile de vérifier que la \gls{matriceDeTransitions} (cf. glossaire)
+Il est facile de vérifier que la {matriceDeTransitions}
d'un tel processus
est $M_g = \frac{1}{2} \check{M}_g$,
-où $\check{M}_g$ est la \gls{matriceDAdjacence} (cf. glossaire) donnée en
+où $\check{M}_g$ est la {matriceDAdjacence} donnée en
figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et similairement pour $M_h$.
\begin{figure}[h]
