+$D_S = \frac{\Delta^2}{12L}$ dans l'algorithme en satisfaisant
+les deux contraintes antagonistes
+de fournir une marque suffisamment robuste
+et suffisamment transparente.
+On cherche deux réels $a$ et $b$ tels que
+$a$ et $b$ correspondent respectivement
+au seuil maximum pour être transparent et
+au seuil minimum pour être robuste.
+Les études de perceptibilité doivent permettre de déterminer $a$ tandis
+que celles sur la robustesse devront fixer le seuil $b$.
+Finalement, les contraintes précédentes seront satisfaites si et seulement si
+$a > b$ et $D_s \in [b,a]$.
+
+Concernant la transparence,
+les expériences présentées dans l'article~\cite{BDCC16} ont consisté en
+choisir un texte d'un nombre fixe de caractères $n$
+dans lequel doit être embarqué une marque de taille fixe $k$.
+En faisant varier la valeur de $\Delta$, nous avons remarqué que la
+valeur $a= 0,01335$ est le seuil au delà duquel il est visuellement
+possible de remarquer une différence entre le document original
+et le document marqué.
+
+Il nous reste à détailler les expériences d'étude de robustesse de la démarche.
+Comme dans l'évaluation de la transparence, il s'est agi de faire
+varier le paramètre $\Delta$.
+Pour chacune de ces valeurs, le document a été altéré selon
+un flou gaussien (de paramètre 0,1 et 0,25)
+et une attaque de type poivre et sel (de paramètre 0,1 et 0,25 aussi).
+Le rapport entre le nombre de bits erronés par rapport au nombre total
+de bits (nommé BER ci-après) après l'extraction du message est alors calculé.
+Le facteur de quantification a été choisi entre 0.1 et 10.
+L'expérience a été répétée 500 fois et les moyennes sont représentées
+à la figure~\ref{fig:pdf:atq:ber}.
+Sur cette figure, on constate que pour peu que la quantification $\Delta$
+soit supérieure à 1, le taux d'erreur est inférieur à 12,5\%. Ce taux peut
+être corrigé par un code correcteur usuel.
+Avec les paramètres de l'expérimentation, cela revient à considérer un seuil
+$b=0,00214$.
+Ces expériences ont ainsi pu valider l'existence de seuils de distorsion
+permettant d'avoir une méthode à la fois robuste et transparente.
+
+
+
+\begin{figure}[ht]
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}
+
+ \begin{axis}[%
+ axis x line=bottom,
+ axis y line=left,
+ xlabel=$\Delta$,
+ ylabel=$BER~(\%)$,
+width=0.66\textwidth,
+ legend pos=north east]
+ \addplot[mark=none, dashed, red,thick] coordinates {(0.1, 13.8742) (0.5, 12.8721) (1, 8.4680) (1.1, 7.3940) (1.2, 6.5020) (1.3, 5.7960) (1.4, 4.9580) (1.5, 4.1180) (1.6, 3.8080) (1.7, 3.2580) (1.8, 2.8320) (1.9, 2.5000) (2, 2.2100) (2.1, 2.0420) (2.2, 1.8120) (2.3, 1.6080) (2.4, 1.4040) (2.5, 1.3860) (3, 1.1100) (5, 1) (10, 1)};
+
+ \addplot[mark=none, dotted, green,thick] coordinates {(0.1, 10.3501) (0.5, 7.1) (1, 4.7420) (1.1, 4.0580) (1.2, 3.3620) (1.3, 2.8260) (1.4, 2.3900) (1.5, 2.1220) (1.6, 1.9260) (1.7, 1.6540) (1.8, 1.4460) (1.9, 1.3680) (2, 1.3400) (2.1, 1.2460) (2.2, 1.1420) (2.3, 1.0920) (2.4, 1.0600) (2.5, 1.0460) (3, 1.0100) (5, 1) (10, 1)};
+
+ \addplot[mark=none, dashdotted, blue,thick] coordinates {(0.1, 15.3222) (0.5, 13) (1, 11.1560) (1.1, 10.2920) (1.2, 9.8520) (1.3, 8.7860) (1.4, 8.3960) (1.5, 7.3480) (1.6, 7.0880) (1.7, 6.0940) (1.8, 5.2100) (1.9, 4.8860) (2, 4.5940) (2.1, 4.0140) (2.2, 3.6060) (2.3, 3.3520) (2.4, 2.9300) (2.5, 2.6140) (3, 1.7000) (5, 1.0140) (10, 1)};
+
+ \addplot[mark=none, dash pattern=on 10pt off 2pt on 5pt off 6pt, black,thick] coordinates {(0.1, 13) (0.5, 10.7) (1, 9.3340) (1.1, 8.7580) (1.2, 7.7080) (1.3, 6.7580) (1.4, 5.9260) (1.5, 5.4320) (1.6, 4.7260) (1.7, 4.3020) (1.8, 3.6200) (1.9, 3.1380) (2, 2.9920) (2.1, 2.5780) (2.2, 2.4340) (2.3, 2.1240) (2.4, 1.8760) (2.5, 1.7386) (3, 1.2880) (5, 1) (10, 1)};
+
+ \legend{$Gaussian (0.1)$,$Salt\&pepper (0.1)$,$Gaussian (0.25)$,$Salt\&pepper (0.25)$};
+ \end{axis}
+ \end{tikzpicture}
+\\
+\end{center}
+\caption{Représentation du BER pour des attaques de type flou gaussien et
+poivre et sel}\label{fig:pdf:atq:ber}
+\end{figure}
+
+
+\section{Conclusion}\label{pdf:s:conclusion}
+Ce travail a présenté une démarche outillée
+basée sur la Spread Transform Dither Modulation
+permettant d'embarquer une marque dans un document PDF.
+Les éléments modifiés sont les abscisses des caractères présents
+dans le document.
+
+Deux des propriétés essentielles des algorithmes de marquage ont été étudiées:
+la transparence et la robustesse. La notion d'intervalle de distorsion
+acceptable a été définie et calculée sur un exemple jouet.
+
