correction prng chaos chap 5

[hdrcouchot.git] / 15RairoGen.tex

diff --git a/15RairoGen.tex b/15RairoGen.tex
index a950d85db07541011f26e064bd0ff2ab8756ac66..06f84b1889cafed48dad42d9b8049dbfd0981dfb 100644 (file)
--- a/15RairoGen.tex
+++ b/15RairoGen.tex
@@ -5,15 +5,17 @@ a de \og bonnes\fg{} propriétés chaotiques,
 le mot $x^b$ devrait  \og sembler ne plus dépendre\fg{} de $x^0$.
 On peut penser à exploiter une de ces fonctions $G_f$ 
 comme un générateur aléatoire. 
 le mot $x^b$ devrait  \og sembler ne plus dépendre\fg{} de $x^0$.
 On peut penser à exploiter une de ces fonctions $G_f$ 
 comme un générateur aléatoire. 

-Enfin, un bon générateur aléatoire se doit de 
-fournir  des nombres selon une distribution uniforme 
+
+Ce chapitre  présente une application directe
+de la théorie développée ci-avant
+à la génération de nombres pseudo aléatoires. 
+
+

 La suite de ce document donnera
 une condition nécessaire est suffisante pour que
 cette propriété soit satisfaite.
 
 
 La suite de ce document donnera
 une condition nécessaire est suffisante pour que
 cette propriété soit satisfaite.
 
 

-Cette section présente une application directe de la théorie développée ci-avant
-à la génération de nombres pseudo aléatoires. 

 On présente tout d'abord le générateur
 basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}), 
 puis comment intégrer la contrainte de distribution uniforme
 On présente tout d'abord le générateur
 basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}), 
 puis comment intégrer la contrainte de distribution uniforme


@@ -33,16 +35,15 @@ L'approche est évaluée dans la dernière section.
 \begin{algorithm}[h]
 %\begin{scriptsize}
 \KwIn{une fonction $f$, un nombre d'itérations $b$, 
 \begin{algorithm}[h]
 %\begin{scriptsize}
 \KwIn{une fonction $f$, un nombre d'itérations $b$, 

-une configuration initiale $x^0$ ($n$ bits)}
-\KwOut{une configuration $x$ ($n$ bits)}
+une configuration initiale $x^0$ (${\mathsf{N}}$ bits)}
+\KwOut{une configuration $x$ (${\mathsf{N}}$ bits)}

 $x\leftarrow x^0$\;
 $x\leftarrow x^0$\;

-$k\leftarrow b $\;

 %$k\leftarrow b + \textit{XORshift}(b+1)$\;
 %$k\leftarrow b + \textit{XORshift}(b+1)$\;

-\For{$i=1,\dots,k$}
+\For{$i=1,\dots,b$}

 {
 {

-$s\leftarrow{\textit{Random}(n)}$\;
+$s\leftarrow{\textit{Random}({\mathsf{N}})}$\;

 %$s\leftarrow{\textit{XORshift}(n)}$\;
 %$s\leftarrow{\textit{XORshift}(n)}$\;

-$x\leftarrow{F_{f_u}(s,x)}$\;
+$x\leftarrow{F_{f_u}(x,s)}$\;

 }
 return $x$\;
 %\end{scriptsize}
 }
 return $x$\;
 %\end{scriptsize}


@@ -56,11 +57,11 @@ aléatoires comme dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm} donné ci-dessous.
 
 
 Celui-ci prend en entrée: une fonction $f$;
 
 
 Celui-ci prend en entrée: une fonction $f$;

-un entier $b$, qui assure que le nombre d'itérations
-est compris entre $b+1 $ et  $2b+1$ (et donc supérieur à $b$) 
+un entier $b$, qui est le nombre d'itérations à effectuer entre deux sorties 

 et une configuration initiale $x^0$.
 Il retourne une nouvelle configuration $x$ en appliquant 
 et une configuration initiale $x^0$.
 Il retourne une nouvelle configuration $x$ en appliquant 

-la fonction $F_{f_u}$ vue au chapitre~\ref{chap:carachaos} et correspondant 
+la fonction $F_{f_u}$ (équation~\ref{eq:iterations:unaires}
+vue au chapitre~\ref{chap:carachaos}) et correspondant 

 à des itérations unaires.
 En interne, il exploite un algorithme de génération
 de nombres pseudo aléatoires donné en paramètre.
 à des itérations unaires.
 En interne, il exploite un algorithme de génération
 de nombres pseudo aléatoires donné en paramètre.


@@ -105,10 +106,13 @@ Notre approche vise a donner des propriétés de chaos a ce générateur embarqu
 Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que 
 $G_{f_u}$ est chaotique dans l'espace $\mathcal{X}_u$ 
 si et seulement le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ 
 Nous avons vu au chapitre~\ref{chap:carachaos} que 
 $G_{f_u}$ est chaotique dans l'espace $\mathcal{X}_u$ 
 si et seulement le graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ 

-doit être fortement connexe.
+est fortement connexe.

 Pour $b=1$, l'algorithme itère la fonction $F_{f_u}$.
 Pour $b=1$, l'algorithme itère la fonction $F_{f_u}$.

-Regardons comment l'uniformité de la distribution a
-contraint la fonction.
+
+Pour simuler au mieux l'aléa, un bon générateur de nombre pseudo-aléatoires
+se doit de fournir  des nombres selon une distribution uniforme.
+Regardons comment l'uniformité de la distribution 
+contraint la fonction $f$ à itérer.

 
 \subsection{Un générateur à sortie uniformément distribuée}\label{sub:prng:unif}
 
 
 \subsection{Un générateur à sortie uniformément distribuée}\label{sub:prng:unif}
 


@@ -121,7 +125,7 @@ Enfin, une matrice stochastique de taille $n \times n$ est régulière
 si  la propriété suivante est établie:
 $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
 
 si  la propriété suivante est établie:
 $$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
 

-On énonce enfin le théorème suivant liant les 
+On énonce le théorème classique suivant liant les 

 vecteur de probabilités 
 et les chaînes de Markov.
 
 vecteur de probabilités 
 et les chaînes de Markov.
 


@@ -316,10 +320,12 @@ On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annex
 
 \subsection{Quelques exemples}
 
 
 \subsection{Quelques exemples}
 

-On reprend le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donné en figure~\ref{fig:G} à la section~\ref{sec:11FCT}.
-On a vu qu'il y avait  520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions  $\Gamma(f)$, 
-dont seulement 16 d'entre elles possèdent une matrice doublement stochastique.
+On considère le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donné
+en figure~\ref{fig:G}. C'est le même qui a été présenté
+à la section~\ref{sec:11FCT}.
+On a vu qu'il y avait  520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions  $\Gamma(f)$. 

 
 

+Seulement 16 d'entre elles possèdent une matrice doublement stochastique.

 La figure~\ref{fig:listfonction} explicite ces 16 fonctions en 
 définissant les images des éléments de la liste
 0, 1, 2,\ldots, 14, 15 en respectant  l'ordre.
 La figure~\ref{fig:listfonction} explicite ces 16 fonctions en 
 définissant les images des éléments de la liste
 0, 1, 2,\ldots, 14, 15 en respectant  l'ordre.


@@ -343,11 +349,11 @@ ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^n},\ldots,\frac{1}{2^n})$
 Ainsi, on a 
 \begin{equation}
 b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket} 
 Ainsi, on a 
 \begin{equation}
 b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket} 

-\{
-\min \{
+\left\{
+\min \left\{

  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
  t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}

-\}
-\}. 
+\right\}
+\right\}. 

 \label{eq:mt:ex}
 \end{equation}
 
 \label{eq:mt:ex}
 \end{equation}
 


@@ -444,7 +450,7 @@ Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformém
 se rapprocher de cette distribution nécessite en effet un nombre plus élevé
 d'itérations $b$ entre chaque sortie. Par exemple, dans l'exemple précédent, il est nécessaire 
 d'itérer au moins 42 fois entre chaque sortie pour suivre une loi uniforme à $10^{-4}$ près.
 se rapprocher de cette distribution nécessite en effet un nombre plus élevé
 d'itérations $b$ entre chaque sortie. Par exemple, dans l'exemple précédent, il est nécessaire 
 d'itérer au moins 42 fois entre chaque sortie pour suivre une loi uniforme à $10^{-4}$ près.

-Montrer les sous-séquences de suites chaotiques ainsi générées  demeurent chaotiques
+Montrer que les sous-séquences de suites chaotiques ainsi générées  demeurent chaotiques

 est l'objectif de la section suivante.
 
 
 est l'objectif de la section suivante.
 
 


@@ -464,15 +470,14 @@ Intuitivement, c'est le nombre d'itérations qu'il est autorisé de faire.
 On ordonne les $\mathsf{p}$ éléments de $\mathcal{P}$ comme suit: 
 $\mathcal{P} = \{ p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$
 et $p_1< p_2< \hdots < p_\mathsf{p}$.
 On ordonne les $\mathsf{p}$ éléments de $\mathcal{P}$ comme suit: 
 $\mathcal{P} = \{ p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$
 et $p_1< p_2< \hdots < p_\mathsf{p}$.

+

 Dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, 
 $\mathsf{p}$ vaut 1 et  $p_1=b$. 
 Dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}, 
 $\mathsf{p}$ vaut 1 et  $p_1=b$. 

-
-

 Cet  algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la fonction $F_{f_u}$.
 Ceci peut cependant se généraliser à $p_i$, $p_i \in \mathcal{P}$,
 compositions fonctionnelles de $F_{f_u}$.
 Ainsi, pour chaque $p_i \in \mathcal{P}$, on construit la fonction
 Cet  algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la fonction $F_{f_u}$.
 Ceci peut cependant se généraliser à $p_i$, $p_i \in \mathcal{P}$,
 compositions fonctionnelles de $F_{f_u}$.
 Ainsi, pour chaque $p_i \in \mathcal{P}$, on construit la fonction

-$F_{{f_u},p_i} :  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket^{p_i}
+$F_{{f_u},p_i} :  \mathds{B}^\mathsf{N} \times [\mathsf{N}]^{p_i}

 \rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ définie par
 
 $$
 \rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ définie par
 
 $$


@@ -484,11 +489,11 @@ $$
 on construit l'espace 
  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, où
 $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=
 on construit l'espace 
  $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=  \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, où
 $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=

-\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket^{\Nats}\times 
+[\mathsf{N}]^{\Nats}\times 

 \mathcal{P}^{\Nats}$. 
 Chaque élément de l'espace est une paire où le premier élément est 
 un $\mathsf{N}$-uplet de  $\Bool^{\mathsf{N}}$ (comme dans $\mathcal{X}_u$).
 \mathcal{P}^{\Nats}$. 
 Chaque élément de l'espace est une paire où le premier élément est 
 un $\mathsf{N}$-uplet de  $\Bool^{\mathsf{N}}$ (comme dans $\mathcal{X}_u$).

-Le second élément est aussi une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats})$ de suites infinies.
+Le second élément est une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats})$ de suites infinies.

 La suite $(v^k)_{k \in \Nats}$ définit combien d'itérations sont exécutées au temps $k$ entre deux sorties.
 La séquence $(u^k)_{k \in \Nats}$ définit quel élément est modifié (toujours au temps $k$).
 
 La suite $(v^k)_{k \in \Nats}$ définit combien d'itérations sont exécutées au temps $k$ entre deux sorties.
 La séquence $(u^k)_{k \in \Nats}$ définit quel élément est modifié (toujours au temps $k$).
 


@@ -529,7 +534,7 @@ Soit  $x=(e,s)$ et $\check{x}=(\check{e},\check{s})$ dans
 $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} $,
 où $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = 
 \mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$. 
 $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} $,
 où $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = 
 \mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$. 

-\begin{itemize}
+\begin{enumerate}

 \item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. 
 La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ sur entre les 
 décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le 
 \item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. 
 La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ sur entre les 
 décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le 


@@ -544,7 +549,7 @@ $\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v
 Plus précisément, soit 
 $p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ et 
 $n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
 Plus précisément, soit 
 $p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ et 
 $n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.

-\begin{itemize}
+\begin{enumerate}

 \item Les $p$ premiers éléments de $d(x,\check{x})$ sont $|v^0-\check{v}^0|$ 
   écrits en base 10 et sur $p$ indices;
 \item les $n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments suivants servent 
 \item Les $p$ premiers éléments de $d(x,\check{x})$ sont $|v^0-\check{v}^0|$ 
   écrits en base 10 et sur $p$ indices;
 \item les $n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments suivants servent 


@@ -552,7 +557,7 @@ $n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
   $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$. 
   Les $n$ premiers éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$. Il sont suivis de 
 $|u^1-\check{u}^1|$ écrits à l'aide de $n$ éléments, etc.
   $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$. 
   Les $n$ premiers éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$. Il sont suivis de 
 $|u^1-\check{u}^1|$ écrits à l'aide de $n$ éléments, etc.

-\begin{itemize}
+\begin{enumerate}

 \item Si
 $v^0=\check{v}^0$,
 alors le processus se continue jusqu'à $|u^{v^0-1}-\check{u}^{\check{v}^0-1}|$ et la 
 \item Si
 $v^0=\check{v}^0$,
 alors le processus se continue jusqu'à $|u^{v^0-1}-\check{u}^{\check{v}^0-1}|$ et la 


@@ -563,10 +568,10 @@ $p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments.
 éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
 $\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivi par des 0, si besoin.
 \item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis
 éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
 $\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivi par des 0, si besoin.
 \item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis

-\end{itemize}
+\end{enumerate}

 \item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
 \item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.

-\end{itemize}
-\end{itemize}
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}

 
 
 La fonction $d$ peut se formaliser comme suit:
 
 
 La fonction $d$ peut se formaliser comme suit:


@@ -606,8 +611,10 @@ $\check{s}=\left\{
 \check{v}=2,1,...
 \end{array}
 \right.$.
 \check{v}=2,1,...
 \end{array}
 \right.$.

-
-Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.010004000000000000000000011005 ...$
+Ainsi 
+\[
+d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 
+0.01~0004000000000000000000~01~1005 \dots\]

 En effet, les $p=2$ premiers éléments sont  01, c'est-à-dire 
 $|v^0-\check{v}^0|=1$, 
 et on utilise $p$ éléments pour représenter cette différence
 En effet, les $p=2$ premiers éléments sont  01, c'est-à-dire 
 $|v^0-\check{v}^0|=1$, 
 et on utilise $p$ éléments pour représenter cette différence


@@ -621,35 +628,35 @@ la chaîne obtenue a $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit:
 De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
 termes de $\check{u}$ sont représentés par 
 0604000000000000000000.
 De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
 termes de $\check{u}$ sont représentés par 
 0604000000000000000000.

-LA valeur absolue de leur différence est égale à 
+La valeur absolue de leur différence est égale à 

 0004000000000000000000.
 Ces éléments sont concaténés avec 01. On peut construire alors le reste de 
 la séquence.
 \end{xpl}
 
 
 0004000000000000000000.
 Ces éléments sont concaténés avec 01. On peut construire alors le reste de 
 la séquence.
 \end{xpl}
 
 

-\begin{xpl}
-On considère à présent que  $\mathsf{N}=9$, que $\mathcal{P}=\{2,7\}$ et que
-$$s=\left\{
-\begin{array}{l}
-u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\
-v=2,2,...
-\end{array}
-\right.$$
-avec
-$$\check{s}=\left\{
-\begin{array}{l}
-\check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\
-\check{v}=7,2,...
-\end{array}
-\right.
-$$
+% \begin{xpl}
+% On considère à présent que  $\mathsf{N}=9$, que $\mathcal{P}=\{2,7\}$ et que
+% $$s=\left\{
+% \begin{array}{l}
+% u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\
+% v=2,2,...
+% \end{array}
+% \right.$$
+% avec
+% $$\check{s}=\left\{
+% \begin{array}{l}
+% \check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\
+% \check{v}=7,2,...
+% \end{array}
+% \right.
+% $$

 
 

-Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$, 
-puisque 
-$|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$,
-et $|9800000-4200000| = 5600000$.
-\end{xpl}
+% Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$, 
+% puisque 
+% $|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$,
+% et $|9800000-4200000| = 5600000$.
+% \end{xpl}

 
 
 
 
 
 


@@ -668,8 +675,9 @@ définit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suiva
 %\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples 
 %  having their elements in $\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket $.
 \item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de 
 %\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples 
 %  having their elements in $\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket $.
 \item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de 

-$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), 
-chaque $u_k$ de la suite appartient à $[\mathsf{N}]$ et 
+$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), et pour chaque 
+$k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a 
+ $u_k$ qui apaprtient à  $[\mathsf{N}]$ et 

 $y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
 \end{itemize}
 Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.
 $y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
 \end{itemize}
 Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.


@@ -683,7 +691,7 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g
     \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$]{
       \begin{minipage}{0.30\textwidth}
         \begin{center}
     \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$]{
       \begin{minipage}{0.30\textwidth}
         \begin{center}

-          \includegraphics[height=4cm]{images/h2prng}
+          \includegraphics[scale=0.5]{images/h2prng}

         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:h2prng}
         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:h2prng}


@@ -691,7 +699,7 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g
     \subfigure[$\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$]{
       \begin{minipage}{0.40\textwidth}
         \begin{center}
     \subfigure[$\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$]{
       \begin{minipage}{0.40\textwidth}
         \begin{center}

-          \includegraphics[height=4cm]{images/h3prng}
+          \includegraphics[scale=0.5]{images/h3prng}

         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:h3prng}
         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:h3prng}


@@ -699,7 +707,7 @@ Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{g
     \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$]{
       \begin{minipage}{0.40\textwidth}
         \begin{center}
     \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$]{
       \begin{minipage}{0.40\textwidth}
         \begin{center}

-          \includegraphics[height=4cm]{images/h23prng}
+          \includegraphics[scale=0.5]{images/h23prng}

         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:h23prng}
         \end{center}
       \end{minipage}
       \label{fig:h23prng}


@@ -732,7 +740,7 @@ Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait
 
 \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
 
 
 \subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
 

-Le théorème suivant, similaire à celui dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
+Le théorème suivant, similaire à ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$

 est prouvé en annexes~\ref{anx:generateur}.
 
 \begin{theorem}
 est prouvé en annexes~\ref{anx:generateur}.
 
 \begin{theorem}


@@ -751,7 +759,7 @@ On alors corollaire suivant
 \end{corollary}
 \begin{proof}
   Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
 \end{corollary}
 \begin{proof}
   Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.

-  Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\mathcal{b}}(f)$
+  Que $b$ soit pair ou impair,  $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$

   n'est pas fortement connexe.
 \end{proof}
 
   n'est pas fortement connexe.
 \end{proof}