+Introduisons tout d'abord $\mathcal{P} \subset \mathds{N}$ un ensemble fini non vide de cardinalité
+$\mathsf{p} \in \mathds{N}^\ast$.
+Intuitivement, c'est le nombre d'itérations qu'il est autorisé de faire.
+On ordonne les $\mathsf{p}$ éléments de $\mathcal{P}$ comme suit:
+$\mathcal{P} = \{ p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$
+et $p_1< p_2< \hdots < p_\mathsf{p}$.
+
+Dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm},
+$\mathsf{p}$ vaut 1 et $p_1=b$.
+Cet algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la fonction $F_{f_u}$.
+Ceci peut cependant se généraliser à $p_i$, $p_i \in \mathcal{P}$,
+compositions fonctionnelles de $F_{f_u}$.
+Ainsi, pour chaque $p_i \in \mathcal{P}$, on construit la fonction
+$F_{{f_u},p_i} : \mathds{B}^\mathsf{N} \times [\mathsf{N}]^{p_i}
+\rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ définie par
+
+$$
+F_{f_u,p_i} (x,(u^0, u^1, \hdots, u^{p_i-1})) \mapsto
+F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(F_{f_u}(x,u^0), u^1), \hdots), u^{p_i-1}).
+$$
+
+
+On construit l'espace
+ $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}= \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$, où
+$\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}=
+[\mathsf{N}]^{\Nats}\times
+\mathcal{P}^{\Nats}$.
+Chaque élément de l'espace est une paire où le premier élément est
+un $\mathsf{N}$-uplet de $\Bool^{\mathsf{N}}$ (comme dans $\mathcal{X}_u$).
+Le second élément est une paire $((u^k)_{k \in \Nats},(v^k)_{k \in \Nats})$ de suites infinies.
+La suite $(v^k)_{k \in \Nats}$ définit combien d'itérations sont exécutées au temps $k$ entre deux sorties.
+La séquence $(u^k)_{k \in \Nats}$ définit quel élément est modifié (toujours au temps $k$).
+
+Définissons la fonction de décalage $\Sigma$ pour chaque élément de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+$$\begin{array}{cccc}
+\Sigma:&\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} &\longrightarrow
+&\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} \\
+& \left((u^k)_{k \in \mathds{N}},(v^k)_{k \in \mathds{N}}\right) & \longmapsto & \left(\sigma^{v^0}\left((u^k)_{k \in \mathds{N}}\right),\sigma\left((v^k)_{k \in \mathds{N}}\right)\right).
+\end{array}
+$$
+En d'autres termes, $\Sigma$ reçoit deux suites $u$ et $v$ et
+effectue $v^0$ décalage vers la droite sur la première et un décalage vers la droite
+sur la seconde.
+
+
+Ainsi, les sorties $(y^0, y^1, \hdots )$ produites par le générateur détaillé dans
+l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+sont les premiers composants des itérations $X^0 = (x^0, (u,v))$ et $\forall n \in \mathds{N},
+X^{n+1} = G_{f_u,\mathcal{P}}(X^n)$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ où
+$G_{f_u,\mathcal{P}}$ est définie par:
+
+
+
+
+\begin{equation}
+\begin{array}{cccc}
+G_{f_u,\mathcal{P}} :& \mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} & \longrightarrow & \mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}\\
+ & (e,(u,v)) & \longmapsto & \left( F_{f,v^0}\left( e, (u^0, \hdots, u^{v^0-1}\right), \Sigma (u,v) \right) .
+\end{array}
+\end{equation}
+
+
+
+\subsection{Une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
+
+On définit la fonction $d$ sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ comme suit:
+Soit $x=(e,s)$ et $\check{x}=(\check{e},\check{s})$ dans
+$\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} = \mathds{B}^\mathsf{N} \times \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} $,
+où $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} =
+\mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$.
+\begin{enumerate}
+\item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$.
+La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ entre les
+décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le
+le nombre de bits qu'elles ont de différent) constitue
+la partie entière de $d(X,\check{X})$.
+\item la partie décimale est construite à partir des différences entre
+$v^0$ et $\check{v}^0$, suivie des différences entre les séquences finies
+$u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ et $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$, suivie par les différences entre $v^1$ et $\check{v}^1$,
+suivie par les différences entre $u^{v^0}, u^{v^0+1}, \hdots, u^{v^1-1}$ et
+$\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v}^1-1}$, etc.
+
+Plus précisément, soit
+$p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ et
+$n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
+\begin{enumerate}
+\item Les $p$ premiers éléments de $d(x,\check{x})$ sont $|v^0-\check{v}^0|$
+ écrits en base 10 et sur $p$ indices;
+\item les $n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments suivants servent
+ à évaluer de combien $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ diffère de
+ $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$.
+ Les $n$ premiers éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$. Il sont suivis de
+$|u^1-\check{u}^1|$ écrits à l'aide de $n$ éléments, etc.
+\begin{enumerate}
+\item Si
+$v^0=\check{v}^0$,
+alors le processus se continue jusqu'à $|u^{v^0-1}-\check{u}^{\check{v}^0-1}|$ et la
+partie décimale de $d(X,\check{X})$ est complétée par des 0
+jusqu'à atteindre
+$p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments.
+\item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$ blocs de $n$
+éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
+$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivis par des 0, si besoin.
+\item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis
+\end{enumerate}
+\item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+
+
+La fonction $d$ peut se formaliser comme suit:
+$$d(x,\check{x})=d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})+d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}(e,\check{e}),$$
+où: % $p=\max \mathcal{P}$ and:
+\begin{itemize}
+\item $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ est la distance de Hamming,
+\item $\forall s=(u,v), \check{s}=(\check{u},\check{v}) \in \mathcal{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$,\newline
+$$\begin{array}{rcl}
+ d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) &= &
+ \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{10^{(k+1)p+kn\max{(\mathcal{P})}}}
+ \bigg(|v^k - \check{v}^k| \\
+ & & + \left| \sum_{l=0}^{v^k-1}
+ \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} -
+ \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1}
+ \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} \right| \bigg)
+\end{array}
+$$ %\left| \sum_{l=0}^{v^k-1} \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{l}} - \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1} \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{l}}\right|\right)}.$$
+\end{itemize}
+
+
+
+\begin{xpl}
+On considère par exemple
+$\mathsf{N}=13$, $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$ ($\mathsf{p}$ vaut ainsi $3$),
+et
+$s=\left\{
+\begin{array}{l}
+u=\underline{6,} ~ \underline{11,5}, ...\\
+v=1,2,...
+\end{array}
+\right.$
+avec
+$\check{s}=\left\{
+\begin{array}{l}
+\check{u}=\underline{6,4} ~ \underline{1}, ...\\
+\check{v}=2,1,...
+\end{array}
+\right.$.
+Ainsi
+\[
+d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) =
+0.01~0004000000000000000000~01~1005 \dots\]
+En effet, les $p=2$ premiers éléments sont 01, c'est-à-dire
+$|v^0-\check{v}^0|=1$,
+et on utilise $p$ éléments pour représenter cette différence
+(Comme $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$, cette différence peut valoir 10).
+On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$,
+chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06.
+Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois,
+on complète cette valeur par des 0 de sorte que
+la chaîne obtenue ait $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit:
+0600000000000000000000.
+De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
+termes de $\check{u}$ sont représentés par
+0604000000000000000000.
+La valeur absolue de leur différence est égale à
+0004000000000000000000.
+Ces éléments sont concaténés avec 01. On peut construire alors le reste de
+la séquence.
+\end{xpl}
+
+
+% \begin{xpl}
+% On considère à présent que $\mathsf{N}=9$, que $\mathcal{P}=\{2,7\}$ et que
+% $$s=\left\{
+% \begin{array}{l}
+% u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\
+% v=2,2,...
+% \end{array}
+% \right.$$
+% avec
+% $$\check{s}=\left\{
+% \begin{array}{l}
+% \check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\
+% \check{v}=7,2,...
+% \end{array}
+% \right.
+% $$
+
+% Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$,
+% puisque
+% $|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$,
+% et $|9800000-4200000| = 5600000$.
+% \end{xpl}
+
+
+
+On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexe~\ref{anx:generateur}.
+
+
+\begin{restatable}[Une distance dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$]{theorem}{distancedsxnp}
+$d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+\end{restatable}
+
+
+\subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant $\textsc{giu}(f)$}
+
+A partir de $\mathcal{P}=\{p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$, on
+définit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suivante:
+\begin{itemize}
+\item les n{\oe}uds sont les $2^\mathsf{N}$ configurations de $\mathds{B}^\mathsf{N}$,
+%\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples
+% having their elements in $\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket $.
+\item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de
+$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois), et pour chaque
+$k$, $0 \le k \le p_i-1$, on a
+ $u_k$ qui appartient à $[\mathsf{N}]$ et
+$y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
+\end{itemize}
+Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.
+
+
+
+
+
+\begin{figure}%[t]
+ \begin{center}
+ \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$]{
+ \begin{minipage}{0.30\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.5]{images/h2prng}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:h2prng}
+ }
+ \subfigure[$\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$]{
+ \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.5]{images/h3prng}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:h3prng}
+ }
+ \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$]{
+ \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.5]{images/h23prng}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:h23prng}
+ }
+
+ \end{center}
+ \caption{Graphes d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}
+ %\label{fig:xplgraphIter}
+ \end{figure}
+
+
+
+
+\begin{xpl}
+On reprend l'exemple où $\mathsf{N}=2$ et
+$h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ déjà détaillé
+à la section~\ref{sub:prng:unif}.
+
+Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}.
+Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$ et
+$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figures~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}.
+Le premier (respectivement le second)
+illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement
+2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat.
+Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait
+à itérer en interne systématiquement 2 ou 3 fois avant de retourner un résultat.
+
+\end{xpl}
+
+
+\subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
+
+Le théorème suivant, similaire à ceux dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
+est prouvé en annexe~\ref{anx:generateur}.
+
+\begin{restatable}[Conditions pour la chaoticité de $G_{f_u,\mathcal{P}}$]{theorem}{thmchoticitgfp}
+La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur
+ $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si
+le graphe d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$
+est fortement connexe.
+\end{restatable}
+% On alors corollaire suivant
+
+% \begin{corollary}
+% Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé
+% à l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+% n'est pas chaotique
+% sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation.
+% \end{corollary}
+% \begin{proof}
+% Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
+% Que $b$ soit pair ou impair, $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$
+% n'est pas fortement connexe.
+% \end{proof}
+
+
+\section{Conclusion}
+Ce chapitre a proposé un algorithme permettant de construire un
+PRNG chaotique à partir d'un PRNG existant. Pour ce faire, il est nécessaire
+et suffisant que la fonction $f$ qui est itérée un nombre $b$ de fois
+possède un $\textsc{giu}_{\{b\}}(f)$ fortement connexe et que sa matrice de Markov associée soit doublement stochastique.
+Le chapitre suivant montre comment construire une telle fonction.
+
+
+
