Formellement, \class{p}
$\preceq$ \class{q}
s'il existe un chemin de longueur $\alpha$
-($0<\alpha<|\mathcal{K}|$) entre un élément le la classe
+($0\le\alpha<|\mathcal{K}|$) entre un élément le la classe
\class{p} vers un élément de
-\class{q}.
-On remarque que si la \class{p}$\preceq$\class{q},
-il n'est alors pas possible que \class{q}$\preceq$\class{p}.
+\class{q}.
\begin{lemma}
- Il existe un processus de renommage qui effecte un nouvel identifiant aux
- élément $i\in$ \class{p} et $j \in$ \class{q} tel que
+ Il existe un processus de renommage qui affecte un nouvel identifiant aux
+ éléments $i\in$ \class{p} et $j \in$ \class{q} tel que
$i \le j$ si et seulement si
\class{p} $\preceq$ \class{q}.
- \begin{Proof}
+ \begin{proof}
- Tout d'abord, soit \class{p_1}, \ldots, \class{p_l} des classes
- contenant respectivement $n_1$,\ldots, $n_l$ éléments respectively
+ Tout d'abord, soient \class{p_1}, \ldots, \class{p_l} des classes
+ contenant respectivement les éléments $n_1$,\ldots, $n_l$
qui ne dépendent d'aucune autre classe.
Les éléments de \class{p_1} sont renommés par $1$, \ldots, $n_1$,
- les elements de \class{p_i}, $2 \le i \le l$ sont renommés par
+ les éléments de \class{p_i}, $2 \le i \le l$ sont renommés par
$1+
\Sigma_{k=1}^{i-1} n_k$, \ldots, $\Sigma_{k=1}^{i} n_k$.
On considère maintenant les classes \class{p_1}, \ldots, \class{p_{l'}}
dont les éléments ont été renommés et soit
- $m$ le plus grand indice des elements de \class{p_1}, \ldots,
+ $m$ le plus grand indice des éléments de \class{p_1}, \ldots,
\class{p_{l'}}.
Soit une autre classe \class{p} qui dépend exclusivement d'une classe
- \class{p_i}, $1 \le i \le l'$ et qui contient $k$ elements.
+ \class{p_i}, $1 \le i \le l'$ et qui contient $k$ éléments.
Les éléments de \class{p} sont renommés par $m+1$, \ldots, $m+k$.
Ce processus a été appliqué sur $l'+1$ classes. Il se termine
- puisqu'il diminue le nombre d'elements auquel il reste
+ puisqu'il diminue le nombre d'éléments auquel il reste
à affecter un numéro.
Il reste à montrer que cette méthode de renommage vérifie la propriété
dépend immédiatement de
\class{p}, \textit{i.e.}
le chemin le plus long entre les éléments de \class{p} et les
- elements de \class{q} est de longueur 1.
+ éléments de \class{q} est de longueur 1.
En raison de la méthode renommage, chaque numéro d'élément
\class{q} est plus grand que tous ceux de \class{p} et la preuve est
établie.
\class{p} $\preceq$ \class{q'} et pour chaque $i$, $k$ tels que $i \in$
\class{p} et $k \in$ \class{q'}, $i \le k$
et le résultat est établi.
- \end{Proof}
+ \end{proof}
\end{lemma}
On peut remarquer que ce processus de renommage est inspiré des \emph{graphes
% Processes numbers are already compliant with the order $\preceq$.
% \end{xpl}
-\begin{Proof}[of Theorem~\ref{th:cvg}]
+\begin{proof}[du théorème~\ref{th:cvg}]
Le reste de la preuve est fait par induction sur le numéro de classe.
Considérons la première classe \class{b_1} de $n_1$ éléments
fini d'itérations. %pseudo periods. % [[JFC : borner m1/n1]].
Ainsi toutes les \emph{classes sources}
(indépendantes de toutes les autres classes) vont aussi converger
- dans le mode mixe.
- On peut ainsi supposer que le mode d'itération mixe avec délais
+ dans le mode mixte.
+ On peut ainsi supposer que le mode d'itération mixte avec délais
uniformes fait converger les classes \class{b_1}, \ldots, \class{b_k}
en un temps $t_k$.
Par construction, la classe \class{b_{k+1}} dépend uniquement
de certaines classes de \class{b_1}, \ldots,
\class{b_k} et éventuellement d'elle-même.
- Il existe un nombre d'iteration suffisamment grand
- $t_0$ tel que $D^{t_0}_{p_{k+1}p_j}$ est suppérieur ou égal à $t_k$
+ Il existe un nombre d'itérations suffisamment grand
+ $t_0$ tel que $D^{t_0}_{p_{k+1}p_j}$ est supérieur ou égal à $t_k$
pour chaque
$p_{k+1} \in$ \class{b_{k+1}} et $p_j \in$ \class{b_j}, $1 \le j \le k$.
- Il nous reste donc des itérations synchronous entre les
- elements of \class{b_{k+1}} en démarant dans des configurations
+ Il ne reste donc que des itérations synchrones entre les
+ éléments de \class{b_{k+1}} en démarrant dans des configurations
où tous les éléments de \class{b_j}, $1 \le j
- \le k$, on des valeurs constantes.
+ \le k$, ont des valeurs constantes.
D'après les hypothèses du théorème, cela converge.
-\end{Proof}
+\end{proof}
