Formellement, \class{p}
$\preceq$ \class{q}
s'il existe un chemin de longueur $\alpha$
-($0<\alpha<|\mathcal{K}|$) entre un élément le la classe
+($0\le\alpha<|\mathcal{K}|$) entre un élément le la classe
\class{p} vers un élément de
-\class{q}.
-On remarque que si la \class{p}$\preceq$\class{q},
-il n'est alors pas possible que \class{q}$\preceq$\class{p}.
+\class{q}.
\begin{lemma}
Il existe un processus de renommage qui effecte un nouvel identifiant aux
élément $i\in$ \class{p} et $j \in$ \class{q} tel que
$i \le j$ si et seulement si
\class{p} $\preceq$ \class{q}.
- \begin{Proof}
+ \begin{proof}
Tout d'abord, soit \class{p_1}, \ldots, \class{p_l} des classes
- contenant respectivement $n_1$,\ldots, $n_l$ éléments respectively
+ contenant respectivement les éléments $n_1$,\ldots, $n_l$
qui ne dépendent d'aucune autre classe.
Les éléments de \class{p_1} sont renommés par $1$, \ldots, $n_1$,
les elements de \class{p_i}, $2 \le i \le l$ sont renommés par
\class{p} $\preceq$ \class{q'} et pour chaque $i$, $k$ tels que $i \in$
\class{p} et $k \in$ \class{q'}, $i \le k$
et le résultat est établi.
- \end{Proof}
+ \end{proof}
\end{lemma}
On peut remarquer que ce processus de renommage est inspiré des \emph{graphes
% Processes numbers are already compliant with the order $\preceq$.
% \end{xpl}
-\begin{Proof}[of Theorem~\ref{th:cvg}]
+\begin{proof}[du théorème~\ref{th:cvg}]
Le reste de la preuve est fait par induction sur le numéro de classe.
Considérons la première classe \class{b_1} de $n_1$ éléments
pour chaque
$p_{k+1} \in$ \class{b_{k+1}} et $p_j \in$ \class{b_j}, $1 \le j \le k$.
- Il nous reste donc des itérations synchronous entre les
+ Il ne reste donc que des itérations synchrones entre les
elements of \class{b_{k+1}} en démarant dans des configurations
où tous les éléments de \class{b_j}, $1 \le j
- \le k$, on des valeurs constantes.
+ \le k$, ont des valeurs constantes.
D'après les hypothèses du théorème, cela converge.
-\end{Proof}
+\end{proof}
