+\section{Exposé des recherches réalisées au cours de la période postdoctorale}
+
+Entre avril 2006 et aujourdh'ui, les recherches réalisées ont concerné plusieursdomaines synthétisés ci-après. Le premier travail (Sec.~\ref{sub:verif})
+est une suite directe des travaux de thèse. Suivent six sections
+(de la Sec.~\ref{sub:sdd} à la Sec.~\ref{sub:ih}) sur les systèmes
+dynamiques discrets et leurs applications, thématique
+sur laquelle j'ai été recruté pour travailler dans l'équipe AND du département
+DISC. Enfin la section~\ref{sub:gen} présente comment j'ai réinvesti le nouveau
+domaine de la bio-info à l'aide de compétences connexes.
+
+
+\subsection{Vérification de programmes par
+ preuve automatique}\label{sub:verif}
+
+Lors de mon postdoc à l'INRIA, j'ai d'abord montré qu'il était possible
+d'instancier des contre-exemple~\cite{BCDG07} et de voir
+si ceux-ci sont atteignables~\cite{CouchotD07IFM} lorsque
+l'obligation de preuve à vérifier n'est pas établie.
+Ceci peut aider l'ingénieur à corriger ses modèles.
+Je me suis ensuite intéressé à la
+logique du premier ordre polymorphe.
+Dans ce but, j'ai présenté un réducteur de logique
+polymorphe vers de la logique sans sorte et de la logique multi-sorte
+du premier ordre, préservant la correction et la
+complétude~\cite{couchot07cade}.
+Toujours pendant mon post-doctorat, face au problème d'explosion
+combinatoire rencontré
+lors de déduction automatique, j'ai présenté une approche
+de réduction de
+formules~\cite{couchot07FTP, cgs09:ip} de type SMT-LIB
+basée sur la sélection des hypothèses les plus
+pertinentes.
+L'approche a été implantée et validée sur un exemple industriel réel
+de 5000 lignes de Code C annoté fourni par Dassault aviation.
+
+
+
+
+
+
+
+\subsection{Convergence de systèmes dynamiques discrets}\label{sub:sdd}
+
+Un système dynamique discret (SDD) est une fonction $f$
+du $n$-cube ($\{0,1\}^n$) dans lui même et un mode opératoire
+(parallèle, unaire, généralisé) qui peut être itéré
+en synchrone ou en asynchrone.
+%Ils ont été étudiés à de maintes reprises ~\cite{Rob95,Bah00,bcv02}.
+Pour chacun de ces modes, il existe des critères (suffisants) de convergence
+globale ou locale, souvent basés sur le fait que $f$ est
+est un opérateur contractant ans un espace.
+
+Les modes asynchrones ont une dynamique avec plus de liberté
+puisqu'ils autorisent chaque élément à modifier sa valeur avant
+de connaître les valeurs des autres éléments dont il dépend.
+Cependant, lorsque les calculs à effectuer sur certains n{\oe}uds
+sont coûteux en temps et/ou que les temps de communication sont élevés,
+ces modes peuvent présenter une convergence plus rapide que le cas synchrone.
+
+Dans~\cite{BCVC10:ir}, j'ai formalisé le mode des
+\emph{itérations mixes} (introduit par Pr. J. M. Bahi en2005 notamment)
+qui combine synchronisme et asynchronisme.
+Intuitivement, les n{\oe}uds qui pourraient engendrer des cycles dans
+les itérations asynchrones sont regroupés dans une même classe.
+Les noeuds à l'intérieur celle-ci groupe seront itérés de manière
+synchrone et les itérations asynchrones sont conservées entre les groupes.
+Pour gommer les différences entre les n{\oe}uds d'une même classe
+lorsqu'ils sont vus depuis des n{\oe}uds extérieurs, j'ai défini le
+mode des \emph{itérations mixes avec délais uniformes}.
+
+
+Grâce à cette formalisation, j'ai pu énoncer puis démontrer un théorème
+établissant que pour des conditions classiques de convergence des itérations
+synchrones d'une fonction $f$, les itérations mixes à délai uniforme
+convergent aussi vers le même point fixe.
+
+
+L'étude de convergence de SDD est simple à vérifier
+pratiquement pour le mode synchrone. Lorsqu'on introduit des stratégies
+pseudo périodiques pour les modes unaires et généralisées, le problème
+se complexifie. C'est pire encore lorsqu'on traite des itérations asynchrones
+et mixes prenant de plus en compte les délais.
+Des méthodes de simulation basées sur des stratégies et des délais générés aléatoirement avaient déjà été présentées.
+Cependant, comme ces implantations ne sont pas exhaustives, elles ne sont intéressantes que lorsqu'elles fournissent un contre-exemple.
+Lorsqu'elles exhibent une convergence,
+cela ne permet que donner une intuition de convergence, pas une preuve.
+Autant que je sache, aucune démarche de preuve formelle automatique
+de convergence n'avait jamais été établie.
+
+
+J'ai montré dans~\cite{Cou10:ir} comment simuler
+des SDDs selon tous les modes pour établir
+formellement leur convergence (ou pas).
+Cette simulation est basée sur l'outil SPIN de \emph{Model-Checking}
+qui est une classe d'outils adressant le problème de vérifier automatiquement
+qu'un modèle vérifie une propriété donnée. Pour traiter le problème d'explosion
+combinatoire, les outils de cette classe
+appliquent des méthodes d'ordre partiel, d'abstraction,
+de quotientage selon une relation d'équivalence.
+
+Pour cela, j'ai présenté pour cela une démarche de traduction d'un SDD
+dans PROMELA qui est le langage de SPIN.
+J'ai énoncé puis prouvé ensuite la correction et la complétude de la démarche
+Des données pratiques comme la complexité et des synthèses d'expérimentation
+ont aussi été fournies.
+
+
+
+\subsection{Construction de fonctions chaotiques}
+Pr. Christophe Guyeux de l'équipe AND a proposé dans sa thèse en 2010
+une caractérisation des fonctions $f$ de $\{0,1\}^n$ dans lui même
+dont les itérations sont chaotiques selon Devanney dans certains mode:
+il est nécessaire et suffisant que son graphe des itérations soit
+fortement connexe.
+J'ai proposé plusieurs méthodes de construction de
+fonctions ayant de tels graphes d'itérations~\cite{bcgr11:ip,chgw+14:onp}.
+
+Dans la première~\cite{bcgr11:ip},
+l'algorithme enlève des arcs et vérifie ensuite que
+la forte connexité est maintenue.
+Même si cet algorithme retourne toujours des fonctions dont le graphe
+des itérations est fortement connexe, il n'en est pas pour autant efficace
+car il nécessite une vérification à posteriori de la
+forte connexité sur le graphe entier composé de $2^n$ sommets.
+La seconde méthode propose une solution à ce problème en présentant
+des conditions suffisantes sur un graphe à $n$ sommets
+qui permettent d'obtenir des graphes d'itérations fortement connexes.
+Ce théorème a aussi été prouvé dans~\cite{bcgr11:ip}
+et des instanciations effectives
+ont été produites.
+Une troisième méthode~\cite{chgw+14:onp} s'appuie sur les codes
+de Gray, ou de manière équivalente sur les cycles hamiltoniens du graphe des
+itérations: un cycle qui visite chaque n{\oe}ud exactement une fois est un
+\emph{cycle hamiltonien}.
+La démarche consiste à enlever du graphe un de ses cycles hamiltoniens dont
+la démarche de génération est un problème connu.
+
+Ces méthodes ont permis d'étendre à l'infini la classe des fonctions
+dont les itérations sont chaotiques.
+
+
+\subsection{Apprentissage par réseaux neuronaux}
+Nous disposons grâce aux travaux présentés à la section précédente d'un grand
+nombre de fonctions dont les itérations sont chaotiques.
+Nous avons entrepris d'étudier ces itérations et plus particulièrement leur
+apprentissage par un réseau de neurones.
+J'ai notamment pu contribuer à montrer pratiquement qu'il
+est très difficile (voir impossible) de les prédire
+à l'aide de tels outils d'intelligence artificielle~\cite{bcgs12:ij}.
+
+
+Nous nous sommes attaqués à un problème physique d'optimisation de
+l'écoulement d'un flux d'air le long d'un véhicule.
+Ce flux peut être modifié si l'on active des injecteurs d'air placés
+par exemple sur le becquet du véhicule.
+Le flux d'air peut être modélisé à l'aide d'équations de Navier-Stokes
+dont on ne connaît pas de méthode analytique de résolution.
+De plus, le nombre de Reynolds calculé dans cette situation fait apparaître
+que le régime est extrêmement turbulent, donc difficile à prévoir.
+Nous avons souhaité
+continuer nos expériences d'apprentissage à l'aide
+de réseau de neurones dans ce contexte~\cite{cds12:ip,cds13:ij}.
+
+Il est apparu comme judicieux de mémoriser les configurations
+représentant l'état des actionneurs à l'aide de nombres binaires.
+De plus les codes de Gray, dont deux mots adjacents ne diffèrent que d'un
+bit se sont présentés comme une des manière de mémoriser les sorties du
+réseau de neuronnes comme un seul nombre binaire.
+Quand on sait que trouver un chemin hamiltonien (comme étudié dans la partie précédente) dans un
+$n$-cube revient à trouver un code
+de Gray dans un mot de $n$-bits. Les compétences acquises lors du travail
+sur les chemins hamiltoniens ont ainsi pu être réutilisées et approfondies.
+Les résultats pratiques quant à l'utilisation de ces codes ce sont cependant
+révélés comme moins pertinents que l'utilisation de $n$ sorties.
+
+\subsection{Génération de nombres pseudo-aléatoires}
+
+Au commencement de ce travail, notre équipe disposait d'un générateur de nombres
+pseudo-aléatoires (PRNG)
+basé sur une seule fonction dont nous avions prouvé la chaoticité
+des itérations, à savoir la négation booléenne vectorielle. Cependant pour
+réussir les tests statistiques dédiées aux PRNGs, il était nécessaire d'itérer
+un grand nombre (arbitraire) de fois cette fonction entre deux
+sorties.
+
+Avec la production d'une grande collection de fonctions à itérations chaotiques,
+j'ai proposé de répondre à la question suivante: comment engendrer des fonctions
+dont les itérations vont produire des nombres simulant correctement l'aléa.
+J'ai d'abord caractérisé les fonctions dont les itérations produisent des nombres
+selon une distribution uniforme~\cite{bcgr11:ip}. Pour cela il a fallu réécrire
+l'algorithme de génération comme une marche aléatoire dans une partie du $n$-cube,
+de se ramener à une chaîne de Markov puis d'utiliser la théorie élaborée sur ce sujet
+pour conclure. Par la même occasion, nous avons démontré que certaines fonctions
+chaotiques ne peuvent pas produire un aléa suivant une distribution uniforme.
+La sortie est biaisée.
+
+J'ai proposé ensuite des méthodes permettant de trouver de telles
+fonctions en commençant par filtrer celles qui ne disposent pas
+de cette caractéristique parmi toutes les fonctions chaotiques qui peuvent
+être engendrées~\cite{bcgr11:ip}. J'ai démontré ensuite que supprimer
+un cycle hamiltonien dans un $n$-cube permettait d'engendrer directement
+des fonctions avec une telle caractéristique~\cite{chgw+14:oip}.
+De plus, je me suis attaché à montrer l'importance
+de l'équilibrage du chemin hamiltonien à enlever.
+
+Les générateurs produits ont d'abord été évalués avec succès
+ont confirmé la qualité de
+ceux-ci~\cite{bcgw11:ip,chgw+14:onp,chgw+14:oip} en se confrontant à
+des batteries de tests telles que Die-Hard, NIST, TestU01.
+
+Plus récemment, nous avons entrepris de trouver des bornes du temps d'arrêt
+d'obtention d'une distribution uniforme d'un générateur construit en enlevant un chemin hamiltonien équilibré dans un $n$-cube. Le travail est en cours de soumission
+en journal international.
+
+Enfin j'ai été sollicité pour encadrer une thèse sur l'implantation
+de générateurs de nombre pseudo-aléatoires à bases d'itérations
+chaotiques sur des circuits logiques
+programmables. J'ai commencé ce travail en encadrant une étude exhaustive
+de toutes les instances d'implantations de cette classe.
+Ce travail complet théorique et pratique est terminé aujourd'hui et
+est en cours de soumission dans un journal international.
+
+
+
+
+
+
+\subsection{Masquage d'information}\label{sub:ih}
+
+La propriété de transitivité des fonctions chaotiques implique que l'on peut
+atteindre tout point depuis le voisinage de n'importe quel point.
+Lorsqu'on cherche à embarquer une marque dans un media,
+si l'on souhaite de plus que celle-ci soit robuste, \textit{i.e.},
+ne puisse pas être enlevée facilement, il paraît naturel d'embarquer
+cette marque sur une grande partie du media. L'utilisation de fonctions chaotique
+paraît alors judicieuse.
+
+J'ai participé à la formalisation de la méthode de
+marquage de médias~\cite{bcg11b:ip,bcg11:ij} et particularisé
+ceci à des images numériques fournissant un
+nouveau contexte pour l'étude théorique et mathématique d'algorithmes de marquage.
+La chaos-sécurité a été introduite comme une nouvelle propriété
+de tels algorithmes de marquage comme existe
+déjà la ($\epsilon$-)stego-securité.
+Nous avons de plus montré la robustesse d'un tel marquage dans les
+domaines fréquentiels usuel (DWT et DCT domains).
+
+Des instances de ces algorithmes ont été présentées en sélectionnant de manière
+pertinenente les fonctions à itérer soit pour garantir une robustesse
+élevée~\cite{bcfg12b:ip,bcfg+13:ip} soit pour masquer l'information dans le média
+et être le moins détectable possible~\cite{bcfg12a:ip}.
+
+D'autre méthodes de watermarking ont été investiguées
+particulièrement celles basées sur la Quantization Index Modulation (QIM), méthodes
+étant supposées comme les plus robustes. Mes principales contributions
+sur ce travail --en collaboration avec des membres de l'Université Antonine au Liban--,
+ont été
+d'intégrer ceci à du marquage de document PDF puis de
+présenter ce problème comme un problème d'optimisation.
+Grâce à une telle présentation nous avons pu trouver les paramètre optimaux
+des méthodes QIM assurant à la fois robustesse et indetectabilité.
+Le travail est en cours de soumission en journal international.
+
+Lorsque l'objectif visé est l'indétectabilité, on parle de \emph{stéganographie}.
+Ce domaine a été adressé en critiquant notament les scenarios usuels d'évaluation
+des algorithmes de steganographie. J'ai proposé un cadre complémentaire permettant
+d'apprécier ces schémas de masquage~\cite{fccg15:ip}.
+J'ai deplus participé à l'élaboration de l'algorithme STABYLO~\cite{ccg15:ij}
+qui est un schéma de
+stéganographie basé l'enfouissement de l'information dans les contours
+d'une image. Ma contribution a principalement été la formalisation de l'algorithme,
+son étude de complexité. Grâce a l'optimisation de cette dernière,
+nous avons pu montrer
+que cet algorihtme présente un excellent compromis entre la sécurité
+fournie et sa complexité.
+
+
+
+
+
+\subsection{Application à la génomique}\label{sub:gen}
+
+Ayant acquis des compétences sur certaines structures de mathématiques
+discrètes (particulièrement théorie des graphe,
+relation d'équivalence,\ldots), j'ai pu contribuer en bio-informatique
+en les réappliquant notamment.
+
+Une de mes première piste de travail a été de proposer une méthode automatique
+de construction d'un ensemble de gènes communs (nommés core-génôm)
+à une famille de génômes.
+La méthode s'appuie sur la construction du graphe de similarité
+entre les gènes quotienté selon une relation d'équivalence pour en
+réduire sa taille. Chaque gènes est assimilé à son représentant de
+classe dans chaque génôme. Le core-genome se déduit comme l'intersection
+de tous les génôme. Ceci a donné lieu aux
+publications~\cite{acgs13:onp,akgcs+14:oip,acgm+14:ij}.
+
+L'approche précédente souffrait de n'engendrer que des core-génômes de (trop)
+petits cardinaux. J'ai contribué notamment
+à l'amélioration de la méthode en proposant une étape d'optimization issue
+d'une adaptation discrète la méthode d'essaims particulaires~\cite{aagp+15:ip}.
+
+
