On reprend ici le même plan que dans la section précédente.
-Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel et $f$ une fonction de
-$\Bool^{{\mathsf{N}}}$ dans lui-même.
+
\subsection{Des itérations généralisées aux itérations parallèles}
Dans le schéma généralisé, à la $t^{\textrm{ème}}$ itération,
c'est l'ensemble
-des $s_{t}^{\textrm{ème}}$ éléments (inclus dans $[n]$) qui
-sont mis à jour (c.f. équation~(\ref{eq:schema:generalise})).
-On redéfinit la fonction la fonction
- $F_f: \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, \mathsf{N}\})
+des $s_{t}^{\textrm{ème}}$ éléments (inclus dans $[{\mathsf{N}}]$) qui
+sont mis à jour (cf. équation~(\ref{eq:schema:generalise})).
+On redéfinit la fonction
+ $F_{f_g}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, \mathsf{N}\})
\rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$ par
\[
- F_f(x,s)_i=\left\{
+ F_{f_g}(x,s)_i=\left\{
\begin{array}{l}
f_i(x) \textrm{ si $i \in s$;}\\
x_i \textrm{ sinon.}
\in \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$,
les
configurations $x^t$ sont définies par la récurrence
-\begin{equation}\label{eq:asyn}
- x^{t+1}=F_f(s_t,x^t).
+\begin{equation}\label{eq:asyn:g}
+ x^{t+1}=F_{f_g}(s_t,x^t).
\end{equation}
- Soit alors $G_f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$
+ Soit alors $G_{f_g}$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$
dans lui-même définie par
\[
- G_f(S,x)=(\sigma(S),F_f(s_0,x)),
+ G_{f_g}(x,S)=(F_{f_g}(x,s_0),\sigma(S)),
\]
- où la fonction $\sigma$ est définit comme à la section précédente.
+ où la fonction $\sigma$ est définie comme à la section précédente.
A nouveau, les itérations généralisées
- de $f$ induites par $x^0$ et la stratégie $S$.
+ de $f$ induites par $x^0$ et la stratégie $S$
décrivent la même orbite que les
- itérations parallèles de $G_f$ depuis un point initial
+ itérations parallèles de $G_{f_g}$ depuis un point initial
$X^0=(x^0,S)$
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-On peut alors construire l'espace
-$\mathcal{X} = \Bool^{\mathsf{N}} \times
+On construit cette fois ci l'espace
+$\mathcal{X}_g = \Bool^{\mathsf{N}} \times
\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}$
-\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}$}
+\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}_g$}
Cette nouvelle distance va comparer des ensembles.
-On rappelle pour quelques notions ensemblistes.
+On rappelle quelques notions ensemblistes.
Pour $A$ et $B$ deux ensembles de l'univers $\Omega$,
on rappelle la définition de l'opérateur
de \emph{différence ensembliste} symétrique :
\]
où $\overline{B}$ désigne le complémentaire de $B$ dans $\Omega$.
-On considère l'espace $\mathcal{X}=\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}\times
+On considère l'espace $\mathcal{X}_g=\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})^{\Nats}\times
\Bool^{\mathsf{N}}$ et
on définit la distance $d$ entre les points $X=(S,x)$ et
-$X'=(S',x')$ de $\mathcal{X}$ par
-\[
+$X'=(S',x')$ de $\mathcal{X}_g$ par
+
+\begin{equation}
d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(S,S'),~\textrm{où}~
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle{d_S(S,S')=\frac{9}{{\mathsf{N}}}\sum_{t\in\Nats}\frac{|S_t \Delta S'_t|}{10^{t+1}}}.
\end{array}
\right.\,.
-\]
+\label{eq:distance:Xg}
+\end{equation}
La fonction $d$ est une somme de deux fonctions.
La fonction $d_H$ est la distance de Hamming; il est aussi établi que la
somme de deux distances est une distance.
Ainsi, pour montrer que $d$ est aussi une distance, il suffit
-de montrer que $d_S$ en une aussi, ce qui est fait en annexe~\ref{anx:distance:generalise}.
+de montrer que $d_S$ en est une aussi, ce qui est fait en annexe~\ref{anx:distance:generalise}.
La section suivante caractérise les fonctions $f$ qui sont
-chaotiques pour le schéma généralisées.
-
+chaotiques pour le schéma généralisé.
-\subsection{Caractérisation des fonctions chaotiques
-pour le schéma généralisé}
+\subsection{Caractérisation des fonctions rendant
+chaotiques $G_{f_g}$ sur $\mathcal{X}_g$}
+On reprend les définitions des ensembles $\mathcal{T}$, $\mathcal{R}$ et $\mathcal{C}$
+en les adaptant à $G_{f_g}$.
On a les théorèmes suivants dont les preuves sont données en
annexe~\ref{anx:chaos:generalise}.
-\begin{theorem} $G_f$ est transitive si et seulement si
- $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
-\begin{theorem}
-\label{Prop: T est dans R} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
-\end{theorem}
+
+\begin{restatable}{theorem}{caractransitivegeneralise}
+\label{Theo:carac:transitive:gen}
+$G_{f_g}$ est transitive si et seulement si
+ $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
+\end{restatable}
+
+
+
+\begin{restatable}{theorem}{caracsubgeneralise}
+\label{Prop: T est dans R:g}
+ $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
+\end{restatable}
+
+On peut conclure que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
+= \mathcal{T}$. On a alors la caractérisation suivante:
\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
-\label{Th:CaracIC}
-Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_f$ est chaotique
-si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\label{Th:CaracIC:g}
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_g}$ est chaotique
+si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
\end{theorem}
