-% \section{Introduction}
-% \label{S1}
Les réseaux de neurones chaotiques ont été étudiés à de maintes reprises
-par le passé en raison notamment de leurs applications potentielles:
+en raison de leurs applications potentielles:
%les mémoires associatives~\cite{Crook2007267}
-les composants utils à la sécurité comme les fonctions de
+les composants utiles à la sécurité comme les fonctions de
hachage~\cite{Xiao10},
le tatouage numérique~\cite{1309431,Zhang2005759}
ou les schémas de chiffrement~\cite{Lian20091296}.
Dans tous ces cas, l'emploi de fonctions chaotiques est motivé par
-leur comportement imprévisibile et proche de l'aléa.
+leur comportement imprévisible et proche de l'aléa.
Les réseaux de neurones chaotiques peuvent être conçus selon plusieurs
principes. Des neurones modifiant leur état en suivant une fonction non
linéaire son par exemple appelés neurones chaotiques~\cite{Crook2007267}.
L'architecture de réseaux de neurones de type Perceptron multi-couches
-(MLP) n'iterent quant à eux, pas nécesssairement de fonctions chaotiques.
+(MLP) n'itèrent quant à eux, pas nécessairement de fonctions chaotiques.
Il a cependant été démontré que ce sont des approximateurs
universels~\cite{Cybenko89,DBLP:journals/nn/HornikSW89}.
Ils permettent, dans certains cas, de simuler des comportements
physiques chaotiques comme le circuit de Chua~\cite{dalkiran10}.
Parfois~\cite{springerlink:10.1007/s00521-010-0432-2},
-la fonction de transfert de cette famille de réseau celle
+la fonction de transfert de cette famille de réseau et celle
d'initialisation sont toutes les deux définies à l'aide de
fonctions chaotiques.
-
-
Ces réseaux de neurones partagent le fait qu'ils sont qualifiés de
``chaotiques'' sous prétexte qu'ils embarquent une fonction de ce type
-et ce sans aucune preuve rigoureuse. Ce chapitre caractérise la
+et ce sans aucune preuve rigoureuse ne soit fournie.
+Ce chapitre caractérise la
classe des réseaux de neurones MLP chaotiques. Il
s'intéresse ensuite à l'étude de prévisibilité de systèmes dynamiques
discrets chaotiques par cette famille de MLP.
-\JFC{revoir plan}
-
-The remainder of this research work is organized as follows. The next
-section is devoted to the basics of Devaney's chaos. Section~\ref{S2}
-formally describes how to build a neural network that operates
-chaotically. Section~\ref{S3} is devoted to the dual case of checking
-whether an existing neural network is chaotic or not. Topological
-properties of chaotic neural networks are discussed in Sect.~\ref{S4}.
-The Section~\ref{section:translation} shows how to translate such
-iterations into an Artificial Neural Network (ANN), in order to
-evaluate the capability for this latter to learn chaotic behaviors.
-This ability is studied in Sect.~\ref{section:experiments}, where
-various ANNs try to learn two sets of data: the first one is obtained
-by chaotic iterations while the second one results from a non-chaotic
-system. Prediction success rates are given and discussed for the two
-sets. The paper ends with a conclusion section where our contribution
-is summed up and intended future work is exposed.
-
+La section~\ref{S2} définit la construction d'un réseau de neurones
+chaotique selon Devanay. La section~\ref{S3} présente l'approche duale
+de vérification si un réseau de neurones est chaotique ou non.
+La section~\ref{sec:ann:approx} s'intéresse à étudier pratiquement
+si un réseau de
+neurones peut approximer des itération unaires chaotiques. Ces itérations
+étant obtenues à partir de fonctions issues de la démarche détaillée dans
+le chapitre précédent.
+Ce travail a été publié dans~\cite{bcgs12:ij}.
\section{Un réseau de neurones chaotique au sens de Devaney}
\label{S2}
On considère une fonction
-$f:\Bool^n\to\Bool^n$ telle que $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
+$f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
Ainsi $G_{f_u}$ est chaotique d'après le théorème~\ref{Th:CaracIC}.
On considère ici le schéma unaire défini par l'équation (\ref{eq:asyn}).
-On construit un perceptron multi-couche associé à la fonction
+On construit un Perceptron multi-couches associé à la fonction
$F_{f_u}$.
Plus précisément, pour chaque entrée
- $(x,s) \in \mathds{B}^n \times [n]$,
+ $(x,s) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]$,
la couche de sortie doit générer $F_{f_u}(x,s)$.
On peut ainsi lier la couche de sortie avec celle d'entrée pour représenter
les dépendance entre deux itérations successives.
\begin{itemize}
\item Le réseau est initialisé avec le vecteur d'entrée
- $\left(x^0,S^0\right) \mathds{B}^n \times [n]$
+ $\left(x^0,S^0\right) \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]$
et calcule le vecteur de sortie
$x^1=F_{f_u}\left(x^0,S^0\right)$.
- Ce vecteur est publié comme une sortie et est aussi retournée sur la couche d'entrée
+ Ce vecteur est publié comme une sortie et est aussi retourné sur la couche d'entrée
à travers les liens de retours.
\item Lorsque le réseau est activé à la $t^{th}$ itération, l'état du
- système $x^t \in \mathds{B}^n$ reçu depuis la couche de sortie ainsi que le
- premier terme de la sequence $(S^t)^{t \in \Nats}$
- (\textit{i.e.}, $S^0 \in [n]$) servent à construire le nouveau vecteur de sortie.
+ système $x^t \in \mathds{B}^{\mathsf{N}}$ reçu depuis la couche de sortie ainsi que le
+ premier terme de la séquence $(S^t)^{t \in \Nats}$
+ (\textit{i.e.}, $S^0 \in [{\mathsf{N}}]$) servent à construire le nouveau vecteur de sortie.
Ce nouveau vecteur, qui représente le nouvel état du système dynamique, satisfait:
\begin{equation}
- x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,S^0) \in \mathds{B}^n \enspace .
+ x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,S^0) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}} \enspace .
\end{equation}
\end{itemize}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.625]{images/perceptron}
- \caption{Un perceptron équivalent aux itérations unitaires}
+ \caption{Un Perceptron équivalent aux itérations unitaires}
\label{Fig:perceptron}
\end{figure}
Le comportement de ce réseau de neurones est tel que lorsque l'état
-initial est composé de $x^0~\in~\mathds{B}^n$ et d'une séquence
+initial est composé de $x^0~\in~\mathds{B}^{\mathsf{N}}$ et d'une séquence
$(S^t)^{t \in \Nats}$, alors la séquence contenant les vecteurs successifs
publiés $\left(x^t\right)^{t \in \mathds{N}^{\ast}}$ est exactement celle produite
par les itérations unaires décrites à la section~\ref{sec:TIPE12}.
\section{Vérifier si un réseau de neurones est chaotique}
\label{S3}
On s'intéresse maintenant au cas où l'on dispose d'un
-réseau de neurones de type perceptron multi-couches
+réseau de neurones de type Perceptron multi-couches
dont on cherche à savoir s'il est chaotique (parce qu'il a par exemple été
déclaré comme tel) au sens de Devaney.
On considère de plus que sa topologie est la suivante:
-l'entrée est constituée de $n$ bits et un entier, la sortie est constituée de $n$ bits
+l'entrée est constituée de ${\mathsf{N}}$ bits et un entier,
+la sortie est constituée de ${\mathsf{N}}$ bits
et chaque sortie est liée à une entrée par une boucle.
\begin{itemize}
-\item Le réseau est initialisé avec $n$~bits
- $\left(x^0_1,\dots,x^0_n\right)$ et une valeur entière $S^0 \in [n]$.
+\item Le réseau est initialisé avec ${\mathsf{N}}$~bits
+ $\left(x^0_1,\dots,x^0_{\mathsf{N}}\right)$ et une valeur entière $S^0 \in [{\mathsf{N}}]$.
\item A l'itération~$t$, le vecteur
- $\left(x^t_1,\dots,x^t_n\right)$ permet de construire les $n$~bits
- servant de sortie $\left(x^{t+1}_1,\dots,x^{t+1}_n\right)$.
+ $\left(x^t_1,\dots,x^t_{\mathsf{N}}\right)$ permet de construire les ${\mathsf{N}}$~bits
+ servant de sortie $\left(x^{t+1}_1,\dots,x^{t+1}_{\mathsf{N}}\right)$.
\end{itemize}
Le comportement de ce type de réseau de neurones peut être prouvé comme
-étant chaotique en suivant la démarche énoncée maintenant.
-On nomme tout d'abord $F: \mathds{B}^n \times [n] \rightarrow
-\mathds{B}^n$ la fonction qui associe
+étant chaotique en suivant la démarche suivante.
+On nomme tout d'abord $F: \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}] \rightarrow
+\mathds{B}^{\mathsf{N}}$ la fonction qui associe
au vecteur
-$\left(\left(x_1,\dots,x_n\right),s\right) \in \mathds{B}^n \times[n]$
+$\left(\left(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),s\right) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times[{\mathsf{N}}]$
le vecteur
-$\left(y_1,\dots,y_n\right) \in \mathds{B}^n$, où
-$\left(y_1,\dots,y_n\right)$ sont les sorties du réseau neuronal
-àaprès l'initialisation de la couche d'entrée avec
-$\left(s,\left(x_1,\dots, x_n\right)\right)$. Ensuite, on définie $f:
-\mathds{B}^n \rightarrow \mathds{B}^n$ telle que
-$f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)$ est égal à
+$\left(y_1,\dots,y_{\mathsf{N}}\right) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}}$, où
+$\left(y_1,\dots,y_{\mathsf{N}}\right)$ sont les sorties du réseau neuronal
+après l'initialisation de la couche d'entrée avec
+$\left(s,\left(x_1,\dots, x_{\mathsf{N}}\right)\right)$. Ensuite, on définie $f:
+\mathds{B}^{\mathsf{N}} \rightarrow \mathds{B}^{\mathsf{N}}$ telle que
+$f\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right)$ est égal à
\begin{equation}
-\left(F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right),1\right),\dots,
- F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right),n\right) \enspace .
+\left(
+ F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),1\right),\dots,
+ F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),{\mathsf{N}}\right)
+\right).
\end{equation}
-Ainsi pour chaque $j$, $1 \le j \le n$, on a
-$f_j\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) =
-F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right),j\right)$.
+Ainsi pour chaque $j$, $j \in [{\mathsf{N}}]$, on a
+$f_j\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right) =
+F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),j\right)$.
Si ce réseau de neurones est initialisé avec
-$\left(x_1^0,\dots,x_n^0\right)$ et $S \in [n]^{\mathds{N}}$,
+$\left(x_1^0,\dots,x_{\mathsf{N}}^0\right)$ et $S \in [{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$,
il produit exactement les même sorties que les itérations de $F_{f_u}$ avec une
-condition initiale $\left((x_1^0,\dots, x_n^0),S\right) \in \mathds{B}^n \times [n]^{\mathds{N}}$.
+condition initiale $\left((x_1^0,\dots, x_{\mathsf{N}}^0),S\right) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$.
Les itérations de $F_{f_u}$
sont donc un modèle formel de cette classe de réseau de neurones.
Pour vérifier si un de ces représentants est chaotique, il suffit ainsi
$\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
-\section{Un réseau de neurones peut-il approximer un
-des itération unaires chaotiques?}
+\section[Approximation des itérations unaires chaotiques par RN]{Un réseau de neurones peut-il approximer
+des itération unaires chaotiques?}\label{sec:ann:approx}
Cette section s'intéresse à étudier le comportement d'un réseau de neurones
face à des itérations unaires chaotiques, comme définies à
la section~\ref{sec:TIPE12}.
-Plus précésment, on considère dans cette partie une fonction dont le graphe
+Plus précisément, on considère dans cette partie une fonction dont le graphe
des itérations unaires est fortement connexe et une séquence dans
-$[n]^{\mathds{N}}$. On cherche à construire un réseau de neurones
+$[{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$. On cherche à construire un réseau de neurones
qui approximerait les itérations de la fonction $G_{f_u}$ comme définie
à l'équation~(\ref{eq:sch:unaire}).
\subsection{Construction du réseau}
\label{section:translation}
-On considère par exemple les deux fonctions $f$ and $g$ de0 $\Bool^4$
+On considère par exemple les deux fonctions $f$ and $g$ de $\Bool^4$
dans $\Bool^4$ définies par:
\begin{eqnarray*}
Dans le premier cas, on considère une entrée booléenne par élément
tandis que dans le second cas, les configurations sont mémorisées comme
des entiers naturels. Dans ce dernier cas, une approche naïve pourrait
-consister à attribuer à chaque configuration de $\Bool^n$
+consister à attribuer à chaque configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$
l'entier naturel naturel correspondant.
Cependant, une telle représentation rapproche
arbitrairement des configurations diamétralement
-opposées dans le $n$-cube comme une puissance de
+opposées dans le ${\mathsf{N}}$-cube comme une puissance de
deux et la configuration immédiatement précédente: 10000 serait modélisée
-par 16 et et 01111 par 15 alros que leur distance de Hamming est 15.
+par 16 et et 01111 par 15 alors que leur distance de Hamming est 15.
De manière similaire, ce codage éloigne des configurations qui sont
très proches: par exemple 10000 et 00000 ont une distance de Hamming
de 1 et sont respectivement représentées par 16 et 0.
Pour ces raisons, le codage retenu est celui des codes de Gray~\cite{Gray47}.
Concentrons nous sur la traduction de la stratégie.
-Il n'est naturellement pas possible de traduire une stragtégie
+Il n'est naturellement pas possible de traduire une stratégie
infinie quelconque à l'aide d'un nombre fini d'éléments.
On se restreint donc à des stratégies de taille
-$l \in \llbracket 2,k\rrbracket$, où $k$ est un parametre défini
+$l$, $2 \le l \le k$, où $k$ est un paramètre défini
initialement.
Chaque stratégie est mémorisée comme un entier naturel exprimé en base
-$n+1$: à chaque itération, soit aucun élément n'est modifié, soit un
+${\mathsf{N}}+1$: à chaque itération, soit aucun élément n'est modifié, soit un
élément l'est.
-Enfin, on donne une dernière entrée: $m \in \llbracket
-1,l-1\rrbracket$, qui est le nombre d'itérations successives que l'on applique
+Enfin, on donne une dernière entrée: $m \in [l-1]
+$, qui est le nombre d'itérations successives que l'on applique
en commençant à $x$.
Les sorties (stratégies et configurations) sont mémorisées
selon les mêmes règles.
-Concentrons nous sur la complexité du problèmew.
+Concentrons nous sur la complexité du problème.
Chaque entrée, de l'entrée-sortie de l'outil est un triplet
composé d'une configuration $x$, d'un extrait $S$ de la stratégie à
-itérer de taille $l \in \llbracket 2, k\rrbracket$ et d'un nombre $m \in \llbracket 1, l-1\rrbracket$ d'itérations à exécuter.
-Il y a $2^n$ configurations $x$ et $n^l$ stratégies de
+itérer de taille $l$, $2 \le l \le k$ et d'un nombre $m \in [l-1]$ d'itérations à exécuter.
+Il y a $2^{\mathsf{N}}$ configurations $x$ et ${\mathsf{N}}^l$ stratégies de
taille $l$.
De plus, pour une configuration donnée, il y a
-$\omega = 1 \times n^2 + 2 \times n^3 + \ldots+ (k-1) \times n^k$
+$\omega = 1 \times {\mathsf{N}}^2 + 2 \times {\mathsf{N}}^3 + \ldots+ (k-1) \times {\mathsf{N}}^k$
manières d'écrire le couple $(m,S)$. Il n'est pas difficile d'établir que
\begin{equation}
-\displaystyle{(n-1) \times \omega = (k-1)\times n^{k+1} - \sum_{i=2}^k n^i} \nonumber
+\displaystyle{({\mathsf{N}}-1) \times \omega = (k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1} - \sum_{i=2}^k {\mathsf{N}}^i} \nonumber
\end{equation}
donc
\begin{equation}
\omega =
-\dfrac{(k-1)\times n^{k+1}}{n-1} - \dfrac{n^{k+1}-n^2}{(n-1)^2} \enspace . \nonumber
+\dfrac{(k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1}}{{\mathsf{N}}-1} - \dfrac{{\mathsf{N}}^{k+1}-{\mathsf{N}}^2}{({\mathsf{N}}-1)^2} \enspace . \nonumber
\end{equation}
\noindent
Ainsi le nombre de paire d'entrée-sortie pour les réseaux de neurones considérés
est
$$
-2^n \times \left(\dfrac{(k-1)\times n^{k+1}}{n-1} - \dfrac{n^{k+1}-n^2}{(n-1)^2}\right) \enspace .
+2^{\mathsf{N}} \times \left(\dfrac{(k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1}}{{\mathsf{N}}-1} - \dfrac{{\mathsf{N}}^{k+1}-{\mathsf{N}}^2}{({\mathsf{N}}-1)^2}\right) \enspace .
$$
Par exemple, pour $4$ éléments binaires et une stratégie d'au plus
-$3$~termes on obtient 2304 couples d'entrée-sorties.
+$3$~termes on obtient 2304 couples d'entrée-sortie.
\subsection{Expérimentations}
-\label{section:experiments}
-On se focalise dans cette section sur l'entraînement d'un perceptron
-multi-couche pour apprendre des itérations chaotiques. Ce type de réseau
+\label{section:ann:experiments}
+On se focalise dans cette section sur l'entraînement d'un MLP
+pour apprendre des itérations chaotiques. Ce type de réseau
ayant déjà été évalué avec succès dans la prédiction de
séries chaotiques temporelles. En effet, les auteurs de~\cite{dalkiran10}
ont montré qu'un MLP pouvait apprendre la dynamique du circuit de Chua.
Ce réseau avec rétropropagation est composé de deux couches
-et entrainé à l'aide d'une propagation arrière Bayesienne.
-
-In these experiments we consider MLPs having one hidden layer of
-sigmoidal neurons and output neurons with a linear activation
-function. They are trained using the Limited-memory
-Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno quasi-newton algorithm in combination
-with the Wolfe linear search. The training process is performed until
-a maximum number of epochs is reached. To prevent overfitting and to
-estimate the generalization performance we use holdout validation by
-splitting the data set into learning, validation, and test subsets.
-These subsets are obtained through random selection such that their
-respective size represents 65\%, 10\%, and 25\% of the whole data set.
-
-Several neural networks are trained for both iterations coding
-schemes. In both cases iterations have the following layout:
-configurations of four components and strategies with at most three
-terms. Thus, for the first coding scheme a data set pair is composed
-of 6~inputs and 5~outputs, while for the second one it is respectively
-3~inputs and 2~outputs. As noticed at the end of the previous section,
-this leads to data sets that consist of 2304~pairs. The networks
-differ in the size of the hidden layer and the maximum number of
-training epochs. We remember that to evaluate the ability of neural
-networks to predict a chaotic behavior for each coding scheme, the
-trainings of two data sets, one of them describing chaotic iterations,
-are compared.
-
-Thereafter we give, for the different learning setups and data sets,
-the mean prediction success rate obtained for each output. Such a rate
-represents the percentage of input-output pairs belonging to the test
-subset for which the corresponding output value was correctly
-predicted. These values are computed considering 10~trainings with
-random subsets construction, weights and biases initialization.
-Firstly, neural networks having 10 and 25~hidden neurons are trained,
-with a maximum number of epochs that takes its value in
-$\{125,250,500\}$ (see Tables~\ref{tab1} and \ref{tab2}). Secondly,
-we refine the second coding scheme by splitting the output vector such
-that each output is learned by a specific neural network
-(Table~\ref{tab3}). In this last case, we increase the size of the
-hidden layer up to 40~neurons and we consider larger number of epochs.
+et entraîné à l'aide d'une propagation arrière Bayesienne.
+
+Le choix de l'architecture du réseau ainsi que de la méthode d'apprentissage
+ont été détaillé dans~\cite{bcgs12:ij}.
+En pratique, nous avons considéré des configurations de
+quatre éléments booléens
+et une stratégie fixe de longueur 3.
+Pour le premier codage, nous avons ainsi 6~entrées et 5~sorties
+tandis que pour le second, uniquement 3 entrées et 2 sorties.
+Cela engendre ainsi 2304~combinaisons possibles comme détaillé à la
+section précédente.
+
+
\begin{table}[htbp!]
-\caption{Prediction success rates for configurations expressed as boolean vectors.}
-\label{tab1}
\centering {\small
\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}
\hline
-\multicolumn{5}{|c|}{Networks topology: 6~inputs, 5~outputs, and one hidden layer} \\
+\multicolumn{5}{|c|}{Topologie du réseau: 6~entrées, 5~sorties, 1~couche cachée} \\
+\hline
\hline
+\multicolumn{2}{|c||}{Neurones cachés} & \multicolumn{3}{c|}{10 neurones} \\
\hline
-\multicolumn{2}{|c||}{Hidden neurons} & \multicolumn{3}{c|}{10 neurons} \\
-\cline{3-5}
\multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\
\hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotic}}&Output~(1) & 90.92\% & 91.75\% & 91.82\% \\
-& Output~(2) & 69.32\% & 78.46\% & 82.15\% \\
-& Output~(3) & 68.47\% & 78.49\% & 82.22\% \\
-& Output~(4) & 91.53\% & 92.37\% & 93.4\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$ }}&Sortie~(1) & 90.92\% & 91.75\% & 91.82\% \\
+& Sortie~(2) & 69.32\% & 78.46\% & 82.15\% \\
+& Sortie~(3) & 68.47\% & 78.49\% & 82.22\% \\
+& Sortie~(4) & 91.53\% & 92.37\% & 93.4\% \\
& Config. & 36.10\% & 51.35\% & 56.85\% \\
-& Strategy~(5) & 1.91\% & 3.38\% & 2.43\% \\
+& Stratégie~(5) & 1.91\% & 3.38\% & 2.43\% \\
\hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic}}&Output~(1) & 97.64\% & 98.10\% & 98.20\% \\
-& Output~(2) & 95.15\% & 95.39\% & 95.46\% \\
-& Output~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\
-& Output~(4) & 97.47\% & 97.90\% & 97.99\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic $f$}}&Sortie~(1) & 97.64\% & 98.10\% & 98.20\% \\
+& Sortie~(2) & 95.15\% & 95.39\% & 95.46\% \\
+& Sortie~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\
+& Sortie~(4) & 97.47\% & 97.90\% & 97.99\% \\
& Config. & 90.52\% & 91.59\% & 91.73\% \\
-& Strategy~(5) & 3.41\% & 3.40\% & 3.47\% \\
+& Stratégie~(5) & 3.41\% & 3.40\% & 3.47\% \\
+\hline
\hline
+\multicolumn{2}{|c||}{Neurones cachés} & \multicolumn{3}{c|}{25 neurones} \\
+%\cline{3-5} \\%& \multicolumn{3}{|c|}{40 neurons} \\
\hline
-\multicolumn{2}{|c||}{Hidden neurons} & \multicolumn{3}{c|}{25 neurons} \\ %& \multicolumn{3}{|c|}{40 neurons} \\
-\cline{3-5}
\multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\ %& 125 & 250 & 500 \\
\hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotic}}&Output~(1) & 91.65\% & 92.69\% & 93.93\% \\ %& 91.94\% & 92.89\% & 94.00\% \\
-& Output~(2) & 72.06\% & 88.46\% & 90.5\% \\ %& 74.97\% & 89.83\% & 91.14\% \\
-& Output~(3) & 79.19\% & 89.83\% & 91.59\% \\ %& 76.69\% & 89.58\% & 91.84\% \\
-& Output~(4) & 91.61\% & 92.34\% & 93.47\% \\% & 82.77\% & 92.93\% & 93.48\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$}}&Sortie~(1) & 91.65\% & 92.69\% & 93.93\% \\ %& 91.94\% & 92.89\% & 94.00\% \\
+& Sortie~(2) & 72.06\% & 88.46\% & 90.5\% \\ %& 74.97\% & 89.83\% & 91.14\% \\
+& Sortie~(3) & 79.19\% & 89.83\% & 91.59\% \\ %& 76.69\% & 89.58\% & 91.84\% \\
+& Sortie~(4) & 91.61\% & 92.34\% & 93.47\% \\% & 82.77\% & 92.93\% & 93.48\% \\
& Config. & 48.82\% & 67.80\% & 70.97\% \\%& 49.46\% & 68.94\% & 71.11\% \\
-& Strategy~(5) & 2.62\% & 3.43\% & 3.78\% \\% & 3.10\% & 3.10\% & 3.03\% \\
+& Stratégie~(5) & 2.62\% & 3.43\% & 3.78\% \\% & 3.10\% & 3.10\% & 3.03\% \\
\hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic}}&Output~(1) & 97.87\% & 97.99\% & 98.03\% \\ %& 98.16\% \\
-& Output~(2) & 95.46\% & 95.84\% & 96.75\% \\ % & 97.4\% \\
-& Output~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\%& 100\% \\
-& Output~(4) & 97.77\% & 97.82\% & 98.06\% \\%& 98.31\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotique $f$}}&Sortie~(1) & 97.87\% & 97.99\% & 98.03\% \\ %& 98.16\% \\
+& Sortie~(2) & 95.46\% & 95.84\% & 96.75\% \\ % & 97.4\% \\
+& Sortie~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\%& 100\% \\
+& Sortie~(4) & 97.77\% & 97.82\% & 98.06\% \\%& 98.31\% \\
& Config. & 91.36\% & 91.99\% & 93.03\% \\%& 93.98\% \\
-& Strategy~(5) & 3.37\% & 3.44\% & 3.29\% \\%& 3.23\% \\
+& Stratégie~(5) & 3.37\% & 3.44\% & 3.29\% \\%& 3.23\% \\
\hline
\end{tabular}
}
+\caption{Taux de prédiction lorsque les configurations sont exprimées comme un vecteur booléen.}
+\label{tab1}
\end{table}
+Le tableau~\ref{tab1} synthétise les résultats obtenus avec le premier
+codage. Sans surprise, la précision de la prédiction croit
+avec l'Epoch et le nombre de neurones sur la couche cachée.
+Dans tous les cas, les résultats sont plus précis dans le cas non
+chaotique que dans l'autre. Enfin, le réseau ne parvient jamais à
+apprendre le comportement de la stratégie.
-Table~\ref{tab1} presents the rates obtained for the first coding
-scheme. For the chaotic data, it can be seen that as expected
-configuration prediction becomes better when the number of hidden
-neurons and maximum epochs increases: an improvement by a factor two
-is observed (from 36.10\% for 10~neurons and 125~epochs to 70.97\% for
-25~neurons and 500~epochs). We also notice that the learning of
-outputs~(2) and~(3) is more difficult. Conversely, for the
-non-chaotic case the simplest training setup is enough to predict
-configurations. For all these feedforward network topologies and all
-outputs the obtained results for the non-chaotic case outperform the
-chaotic ones. Finally, the rates for the strategies show that the
-different feedforward networks are unable to learn them.
-
-For the second coding scheme (\textit{i.e.}, with Gray Codes)
-Table~\ref{tab2} shows that any network learns about five times more
-non-chaotic configurations than chaotic ones. As in the previous
-scheme, the strategies cannot be predicted.
-Figures~\ref{Fig:chaotic_predictions} and
-\ref{Fig:non-chaotic_predictions} present the predictions given by two
-feedforward multilayer perceptrons that were respectively trained to
-learn chaotic and non-chaotic data, using the second coding scheme.
-Each figure shows for each sample of the test subset (577~samples,
-representing 25\% of the 2304~samples) the configuration that should
-have been predicted and the one given by the multilayer perceptron. It
-can be seen that for the chaotic data the predictions are far away
-from the expected configurations. Obviously, the better predictions
-for the non-chaotic data reflect their regularity.
-
-Let us now compare the two coding schemes. Firstly, the second scheme
-disturbs the learning process. In fact in this scheme the
-configuration is always expressed as a natural number, whereas in the
-first one the number of inputs follows the increase of the Boolean
-vectors coding configurations. In this latter case, the coding gives a
-finer information on configuration evolution.
\begin{table}[b]
-\caption{Prediction success rates for configurations expressed with Gray code}
-\label{tab2}
\centering
\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}
\hline
-\multicolumn{5}{|c|}{Networks topology: 3~inputs, 2~outputs, and one hidden layer} \\
+\multicolumn{5}{|c|}{Topologie du réseau: 3~entrées, 2~sorties, 1~couche cachée} \\
\hline
\hline
-& Hidden neurons & \multicolumn{3}{c|}{10 neurons} \\
+& Neurones cachés & \multicolumn{3}{c|}{10 neurones} \\
\cline{2-5}
& Epochs & 125 & 250 & 500 \\ %& 1000
\hline
-\multirow{2}{*}{Chaotic}& Config.~(1) & 13.29\% & 13.55\% & 13.08\% \\ %& 12.5\%
-& Strategy~(2) & 0.50\% & 0.52\% & 1.32\% \\ %& 1.42\%
+\multirow{2}{*}{Chaotique $g$}& Config.~(1) & 13.29\% & 13.55\% & 13.08\% \\ %& 12.5\%
+& Stratégie~(2) & 0.50\% & 0.52\% & 1.32\% \\ %& 1.42\%
\hline
-\multirow{2}{*}{Non-Chaotic}&Config.~(1) & 77.12\% & 74.00\% & 72.60\% \\ %& 75.81\%
-& Strategy~(2) & 0.42\% & 0.80\% & 1.16\% \\ %& 1.42\%
+\multirow{2}{*}{Non-Chaotique $f$}&Config.~(1) & 77.12\% & 74.00\% & 72.60\% \\ %& 75.81\%
+& Stratégie~(2) & 0.42\% & 0.80\% & 1.16\% \\ %& 1.42\%
\hline
\hline
-& Hidden neurons & \multicolumn{3}{c|}{25 neurons} \\
+& Neurones cachés& \multicolumn{3}{c|}{25 neurones} \\
\cline{2-5}
& Epochs & 125 & 250 & 500 \\ %& 1000
\hline
-\multirow{2}{*}{Chaotic}& Config.~(1) & 12.27\% & 13.15\% & 13.05\% \\ %& 15.44\%
-& Strategy~(2) & 0.71\% & 0.66\% & 0.88\% \\ %& 1.73\%
+\multirow{2}{*}{Chaotique $g$ }& Config.~(1) & 12.27\% & 13.15\% & 13.05\% \\ %& 15.44\%
+& Stratégie~(2) & 0.71\% & 0.66\% & 0.88\% \\ %& 1.73\%
\hline
-\multirow{2}{*}{Non-Chaotic}&Config.~(1) & 73.60\% & 74.70\% & 75.89\% \\ %& 68.32\%
-& Strategy~(2) & 0.64\% & 0.97\% & 1.23\% \\ %& 1.80\%
+\multirow{2}{*}{Non-Chaotique $f$}&Config.~(1) & 73.60\% & 74.70\% & 75.89\% \\ %& 68.32\%
+& Stratégie~(2) & 0.64\% & 0.97\% & 1.23\% \\ %& 1.80\%
\hline
\end{tabular}
+\caption{Taux de prédiction lorsque les configurations sont exprimées
+à l'aide de codes de Gray.}
+\label{tab2}
\end{table}
-\begin{figure}
- \centering
- \includegraphics[scale=0.5]{images/chaotic_trace2}
- \caption {Second coding scheme - Predictions obtained for a chaotic test subset.}
- \label{Fig:chaotic_predictions}
-\end{figure}
-\begin{figure}
- \centering
- \includegraphics[scale=0.5]{images/non-chaotic_trace2}
- \caption{Second coding scheme - Predictions obtained for a non-chaotic test subset.}
- \label{Fig:non-chaotic_predictions}
+
+Les résultats concernant le second codage (\textit{i.e.}, avec les codes
+de Gray) sont synthétisés dans le tableau~\ref{tab2}. On constate
+que le réseau apprend cinq fois mieux les comportement non chaotiques
+que ceux qui le sont. Ceci est est illustré au travers des
+figures~\ref{Fig:chaotic_predictions} et~\ref{Fig:non-chaotic_predictions}.
+De plus, comme dans le codage précédent, les stratégies ne peuvent pas être
+prédites.
+On constate que ce second codage réduit certes le nombre de sorties, mais est
+largement moins performant que le premier.
+On peut expliquer ceci par le fait
+que ce second codage garantit que deux entiers successifs correspondent
+à deux configurations voisines, \textit{i.e.}, qui ne diffèrent que d'un
+élément.
+La réciproque n'est cependant pas établie et deux configurations voisines
+peuvent être traduites par des entiers très éloignés et ainsi difficiles
+ à apprendre.
+
+
+\begin{figure}[ht]
+ \begin{center}
+ \subfigure[Fonction chaotique $g$]{
+ \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.37]{images/chaotic_trace2}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{Fig:chaotic_predictions}
+ }
+ \subfigure[Fonction non-chaotique $f$]{
+ \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.37]{images/non-chaotic_trace2}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{Fig:non-chaotic_predictions}
+ }
+ \end{center}
+ \caption {Prédiction lorsque les configurations sont exprimées
+à l'aide de codes de Gray.}
\end{figure}
-Unfortunately, in practical applications the number of components is
-usually unknown. Hence, the first coding scheme cannot be used
-systematically. Therefore, we provide a refinement of the second
-scheme: each output is learned by a different ANN. Table~\ref{tab3}
-presents the results for this approach. In any case, whatever the
-considered feedforward network topologies, the maximum epoch number,
-and the kind of iterations, the configuration success rate is slightly
-improved. Moreover, the strategies predictions rates reach almost
-12\%, whereas in Table~\ref{tab2} they never exceed 1.5\%. Despite of
-this improvement, a long term prediction of chaotic iterations still
-appear to be an open issue.
-
-\begin{table}
-\caption{Prediction success rates for split outputs.}
-\label{tab3}
-\centering
-\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
-\hline
-\multicolumn{4}{|c|}{Networks topology: 3~inputs, 1~output, and one hidden layer} \\
-\hline
-\hline
-Epochs & 125 & 250 & 500 \\
-\hline
-\hline
-Chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Configuration} \\
-\hline
-10~neurons & 12.39\% & 14.06\% & 14.32\% \\
-25~neurons & 13.00\% & 14.28\% & 14.58\% \\
-40~neurons & 11.58\% & 13.47\% & 14.23\% \\
-\hline
-\hline
-Non chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Configuration} \\
-\cline{2-4}
-%Epochs & 125 & 250 & 500 \\
-\hline
-10~neurons & 76.01\% & 74.04\% & 78.16\% \\
-25~neurons & 76.60\% & 72.13\% & 75.96\% \\
-40~neurons & 76.34\% & 75.63\% & 77.50\% \\
-\hline
-\hline
-Chaotic/non chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Strategy} \\
-\cline{2-4}
-%Epochs & 125 & 250 & 500 \\
-\hline
-10~neurons & 0.76\% & 0.97\% & 1.21\% \\
-25~neurons & 1.09\% & 0.73\% & 1.79\% \\
-40~neurons & 0.90\% & 1.02\% & 2.15\% \\
-\hline
-\multicolumn{4}{c}{} \\
-\hline
-Epochs & 1000 & 2500 & 5000 \\
-\hline
-\hline
-Chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Configuration} \\
-\hline
-10~neurons & 14.51\% & 15.22\% & 15.22\% \\
-25~neurons & 16.95\% & 17.57\% & 18.46\% \\
-40~neurons & 17.73\% & 20.75\% & 22.62\% \\
-\hline
-\hline
-Non chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Configuration} \\
-\cline{2-4}
-%Epochs & 1000 & 2500 & 5000 \\
-\hline
-10~neurons & 78.98\% & 80.02\% & 79.97\% \\
-25~neurons & 79.19\% & 81.59\% & 81.53\% \\
-40~neurons & 79.64\% & 81.37\% & 81.37\% \\
-\hline
-\hline
-Chaotic/non chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Strategy} \\
-\cline{2-4}
-%Epochs & 1000 & 2500 & 5000 \\
-\hline
-10~neurons & 3.47\% & 9.98\% & 11.66\% \\
-25~neurons & 3.92\% & 8.63\% & 10.09\% \\
-40~neurons & 3.29\% & 7.19\% & 7.18\% \\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{table}
\section{Conclusion}
+Dans ce chapitre, nous avons établi une similitude entre les itérations
+chaotiques et une famille de Perceptrons multi-couches.
+Nous avons d'abord montré comment construire un réseau de neurones
+ayant un comportement chaotique.
+Nous avons présenté ensuite comment vérifier si un réseau de neurones
+établi était chaotique.
+Nous avons enfin montré en pratique qu'il est difficile pour un
+réseau de neurones d'apprendre le comportement global d'itérations
+chaotiques.
+Comme il est difficile (voir impossible) d'apprendre le comportement
+de telles fonction, il paraît naturelle de savoir si celles ci peuvent être
+utilisées pour générer des nombres pseudo aléatoires, ce que propose la partie
+suivante.
-In this paper, we have established an equivalence between chaotic
-iterations, according to the Devaney's definition of chaos, and a
-class of multilayer perceptron neural networks. Firstly, we have
-described how to build a neural network that can be trained to learn a
-given chaotic map function. Secondly, we found a condition that allow
-to check whether the iterations induced by a function are chaotic or
-not, and thus if a chaotic map is obtained. Thanks to this condition
-our approach is not limited to a particular function. In the dual
-case, we show that checking if a neural network is chaotic consists in
-verifying a property on an associated graph, called the graph of
-iterations. These results are valid for recurrent neural networks
-with a particular architecture. However, we believe that a similar
-work can be done for other neural network architectures. Finally, we
-have discovered at least one family of problems with a reasonable
-size, such that artificial neural networks should not be applied in
-the presence of chaos, due to their inability to learn chaotic
-behaviors in this context. Such a consideration is not reduced to a
-theoretical detail: this family of discrete iterations is concretely
-implemented in a new steganographic method \cite{guyeux10ter}. As
-steganographic detectors embed tools like neural networks to
-distinguish between original and stego contents, our studies tend to
-prove that such detectors might be unable to tackle with chaos-based
-information hiding schemes.
-
-In future work we intend to enlarge the comparison between the
-learning of truly chaotic and non-chaotic behaviors. Other
-computational intelligence tools such as support vector machines will
-be investigated too, to discover which tools are the most relevant
-when facing a truly chaotic phenomenon. A comparison between learning
-rate success and prediction quality will be realized. Concrete
-consequences in biology, physics, and computer science security fields
-will then be stated.
% \appendix{}
