la veille

[hdrcouchot.git] / chaosANN.tex

diff --git a/chaosANN.tex b/chaosANN.tex
index 22d5258134aa457f6a65b4edd2cc0e38a53d6ba8..143ce2347b09cfd7548748577435f5a48db67a23 100644 (file)
--- a/chaosANN.tex
+++ b/chaosANN.tex
@@ -1,109 +1,100 @@
-% \section{Introduction}
-% \label{S1}

 
 Les réseaux de neurones chaotiques ont été étudiés à de maintes reprises 
 
 Les réseaux de neurones chaotiques ont été étudiés à de maintes reprises 

-par le passé en raison notamment de leurs applications potentielles:
+en raison de leurs applications potentielles:

 %les mémoires associatives~\cite{Crook2007267}  
 %les mémoires associatives~\cite{Crook2007267}  

-les  composants utils à la  sécurité comme les fonctions de 
+les  composants utiles à la  sécurité comme les fonctions de 

 hachage~\cite{Xiao10},
 le tatouage numérique~\cite{1309431,Zhang2005759}
 ou les schémas de chiffrement~\cite{Lian20091296}.  
 Dans tous ces cas, l'emploi de fonctions chaotiques est motivé par 
 hachage~\cite{Xiao10},
 le tatouage numérique~\cite{1309431,Zhang2005759}
 ou les schémas de chiffrement~\cite{Lian20091296}.  
 Dans tous ces cas, l'emploi de fonctions chaotiques est motivé par 

-leur comportement imprévisibile et proche de l'aléa. 
+leur comportement imprévisible et proche de l'aléa. 

 
 
 Les réseaux de neurones chaotiques peuvent être conçus selon plusieurs 
 principes. Des neurones modifiant leur état en suivant une fonction non 
 
 
 Les réseaux de neurones chaotiques peuvent être conçus selon plusieurs 
 principes. Des neurones modifiant leur état en suivant une fonction non 

-linéaire son par exemple appelés neurones chaotiques~\cite{Crook2007267}.
+linéaire sont par exemple appelés neurones chaotiques~\cite{Crook2007267}.

 L'architecture de réseaux de neurones de type Perceptron multi-couches
 L'architecture de réseaux de neurones de type Perceptron multi-couches

-(MLP) n'iterent quant à eux, pas nécesssairement de fonctions chaotiques.
+(MLP) n'itèrent quant à eux classiquement pas de fonction chaotique:
+leurs fonctions d'activation sont usuellement choisies parmi les sigmoïdes 
+(la fonction tangeante hyperbolique par exemple). 

 Il a cependant été démontré  que ce sont des approximateurs 
 universels~\cite{Cybenko89,DBLP:journals/nn/HornikSW89}.   
 Ils permettent, dans certains cas, de simuler des comportements 
 physiques chaotiques comme le  circuit de Chua~\cite{dalkiran10}.  
 Parfois~\cite{springerlink:10.1007/s00521-010-0432-2},
 Il a cependant été démontré  que ce sont des approximateurs 
 universels~\cite{Cybenko89,DBLP:journals/nn/HornikSW89}.   
 Ils permettent, dans certains cas, de simuler des comportements 
 physiques chaotiques comme le  circuit de Chua~\cite{dalkiran10}.  
 Parfois~\cite{springerlink:10.1007/s00521-010-0432-2},

-la fonction de transfert de cette famille de réseau celle 
+la fonction de transfert de cette famille de réseau et celle 

 d'initialisation sont toutes les deux définies à l'aide de 
 fonctions chaotiques. 
 
 
 
 d'initialisation sont toutes les deux définies à l'aide de 
 fonctions chaotiques. 
 
 
 

-
-

 Ces réseaux de neurones partagent le fait qu'ils sont qualifiés de 
 ``chaotiques'' sous prétexte qu'ils embarquent une fonction de ce type 
 Ces réseaux de neurones partagent le fait qu'ils sont qualifiés de 
 ``chaotiques'' sous prétexte qu'ils embarquent une fonction de ce type 

-et ce sans aucune preuve rigoureuse. Ce chapitre caractérise la 
+et ce sans qu'aucune preuve rigoureuse ne soit fournie.
+Ce chapitre caractérise la 

 classe des réseaux de neurones MLP chaotiques. Il  
 s'intéresse ensuite à l'étude de prévisibilité de systèmes dynamiques
 discrets chaotiques par cette famille de MLP.
 
 classe des réseaux de neurones MLP chaotiques. Il  
 s'intéresse ensuite à l'étude de prévisibilité de systèmes dynamiques
 discrets chaotiques par cette famille de MLP.
 

-\JFC{revoir plan}
-
-The remainder of this research  work is organized as follows. The next
-section is devoted to the basics of Devaney's chaos.  Section~\ref{S2}
-formally  describes  how  to  build  a neural  network  that  operates
-chaotically.  Section~\ref{S3} is devoted to the dual case of checking
-whether  an existing neural  network is  chaotic or  not.  Topological
-properties of chaotic neural networks are discussed in Sect.~\ref{S4}.
-The  Section~\ref{section:translation}  shows  how to  translate  such
-iterations  into  an Artificial  Neural  Network  (ANN),  in order  to
-evaluate the  capability for this  latter to learn  chaotic behaviors.
-This  ability  is  studied in  Sect.~\ref{section:experiments},  where
-various ANNs try to learn two  sets of data: the first one is obtained
-by chaotic iterations while the  second one results from a non-chaotic
-system.  Prediction success rates are  given and discussed for the two
-sets.  The paper ends with a conclusion section where our contribution
-is summed up and intended future work is exposed.
-
+La section~\ref{S2} définit la construction d'un réseau de neurones 
+chaotique selon Devanay. La section~\ref{S3} présente l'approche duale 
+de vérification si un réseau de neurones est chaotique ou non.
+La section~\ref{sec:ann:approx} s'intéresse à étudier pratiquement
+si un réseau de 
+neurones peut approximer des itérations unaires chaotiques, 
+ces itérations
+étant obtenues à partir de fonctions issues de la démarche détaillée dans 
+le chapitre précédent.
+Ce travail a été publié dans~\cite{bcgs12:ij}.

 
 \section{Un réseau de neurones chaotique au sens de Devaney}
 \label{S2}
 
 On considère une fonction 
 
 \section{Un réseau de neurones chaotique au sens de Devaney}
 \label{S2}
 
 On considère une fonction 

-$f:\Bool^n\to\Bool^n$ telle que  $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
+$f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.

 Ainsi $G_{f_u}$ est chaotique d'après le théorème~\ref{Th:CaracIC}.
 
 On considère ici le schéma unaire défini par l'équation (\ref{eq:asyn}).
 Ainsi $G_{f_u}$ est chaotique d'après le théorème~\ref{Th:CaracIC}.
 
 On considère ici le schéma unaire défini par l'équation (\ref{eq:asyn}).

-On construit un perceptron multi-couche associé à la fonction  
+On construit un Perceptron multi-couches associé à la fonction  

 $F_{f_u}$. 
 Plus précisément, pour chaque entrée 
 $F_{f_u}$. 
 Plus précisément, pour chaque entrée 

- $(x,s)   \in  \mathds{B}^n \times [n]$,
+ $(x,s)   \in  \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]$,

 la couche de sortie doit générer $F_{f_u}(x,s)$.   
 On peut ainsi lier la couche de sortie avec celle d'entrée pour représenter 
 la couche de sortie doit générer $F_{f_u}(x,s)$.   
 On peut ainsi lier la couche de sortie avec celle d'entrée pour représenter 

-les dépendance entre deux itérations successives.
+les dépendances entre deux itérations successives.

 On obtient une réseau de neurones dont le comportement est le suivant 
 (voir Figure.~\ref{Fig:perceptron}):
 
 \begin{itemize}
 \item   Le réseau est initialisé avec le vecteur d'entrée
 On obtient une réseau de neurones dont le comportement est le suivant 
 (voir Figure.~\ref{Fig:perceptron}):
 
 \begin{itemize}
 \item   Le réseau est initialisé avec le vecteur d'entrée

-  $\left(x^0,S^0\right)  \mathds{B}^n \times [n]$      
+  $\left(x^0,S^0\right)  \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]$      

   et calcule le  vecteur de sortie 
   $x^1=F_{f_u}\left(x^0,S^0\right)$. 
   et calcule le  vecteur de sortie 
   $x^1=F_{f_u}\left(x^0,S^0\right)$. 

-  Ce vecteur est publié comme une sortie et est aussi retournée sur la couche d'entrée 
-  à travers les liens de retours.
-\item Lorsque le réseau est  activé à la $t^{th}$  itération, l'état du 
-  système $x^t  \in \mathds{B}^n$ reçu depuis la couche de sortie ainsi que le 
-  premier terme de la  sequence $(S^t)^{t  \in \Nats}$
-  (\textit{i.e.},  $S^0  \in [n]$)  servent à construire le nouveau vecteur de sortie.
+  Ce vecteur est publié comme une sortie et est aussi retourné sur la couche d'entrée 
+  à travers les liens de retour.
+\item Lorsque le réseau est  activé à la $t^{\textrm{ème}}$  itération, l'état du 
+  système $x^t  \in \mathds{B}^{\mathsf{N}}$ reçu depuis la couche de sortie ainsi que le 
+  premier terme de la  séquence $(S^t)^{t  \in \Nats}$
+  (\textit{i.e.},  $S^0  \in [{\mathsf{N}}]$)  servent à construire le nouveau vecteur de sortie.

   Ce nouveau vecteur, qui représente le nouvel état du système dynamique, satisfait:
   \begin{equation}
   Ce nouveau vecteur, qui représente le nouvel état du système dynamique, satisfait:
   \begin{equation}

-    x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,S^0) \in \mathds{B}^n \enspace .
+    x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,S^0) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}} \enspace .

   \end{equation}
 \end{itemize}
 
 \begin{figure}
   \centering
   \includegraphics[scale=0.625]{images/perceptron}
   \end{equation}
 \end{itemize}
 
 \begin{figure}
   \centering
   \includegraphics[scale=0.625]{images/perceptron}

-  \caption{Un perceptron équivalent  aux itérations unitaires}
+  \caption{Un Perceptron équivalent  aux itérations unaires}

   \label{Fig:perceptron}
 \end{figure}
 
 Le comportement de ce réseau de neurones est tel que lorsque l'état 
   \label{Fig:perceptron}
 \end{figure}
 
 Le comportement de ce réseau de neurones est tel que lorsque l'état 

-initial est composé de $x^0~\in~\mathds{B}^n$ et d'une séquence
+initial est composé de $x^0~\in~\mathds{B}^{\mathsf{N}}$ et d'une séquence

  $(S^t)^{t  \in \Nats}$, alors la séquence  contenant les vecteurs successifs 
 publiés $\left(x^t\right)^{t \in \mathds{N}^{\ast}}$ est exactement celle produite 
 par les itérations unaires décrites à la section~\ref{sec:TIPE12}.
  $(S^t)^{t  \in \Nats}$, alors la séquence  contenant les vecteurs successifs 
 publiés $\left(x^t\right)^{t \in \mathds{N}^{\ast}}$ est exactement celle produite 
 par les itérations unaires décrites à la section~\ref{sec:TIPE12}.

-Mathématiquement, cela signifie que si on utilise les mêmes vecteurs d'entrées
+Mathématiquement, cela signifie que si on utilise les mêmes vecteurs d'entrée

 les deux approches génèrent successivement les mêmes sorties.
 En d'autres termes ce réseau de neurones modélise le comportement de  
 $G_{f_u}$,  dont les itérations sont chaotiques sur $\mathcal{X}_u$.
 les deux approches génèrent successivement les mêmes sorties.
 En d'autres termes ce réseau de neurones modélise le comportement de  
 $G_{f_u}$,  dont les itérations sont chaotiques sur $\mathcal{X}_u$.


@@ -112,71 +103,74 @@ On peut donc le  qualifier de chaotique au sens de Devaney.
 \section{Vérifier si un réseau de neurones est chaotique}
 \label{S3}
 On s'intéresse maintenant au cas où l'on dispose d'un
 \section{Vérifier si un réseau de neurones est chaotique}
 \label{S3}
 On s'intéresse maintenant au cas où l'on dispose d'un

-réseau de neurones de type perceptron multi-couches
+réseau de neurones de type Perceptron multi-couches

 dont on cherche à savoir s'il est chaotique (parce qu'il a par exemple été 
 déclaré comme tel) au sens de Devaney. 
 On considère de plus que sa topologie est la suivante:
 dont on cherche à savoir s'il est chaotique (parce qu'il a par exemple été 
 déclaré comme tel) au sens de Devaney. 
 On considère de plus que sa topologie est la suivante:

-l'entrée est constituée de  $n$ bits et un entier, la sortie est constituée de $n$ bits
+l'entrée est constituée de  ${\mathsf{N}}$ bits et un entier, 
+la sortie est constituée de ${\mathsf{N}}$ bits

 et chaque sortie est liée à une entrée par une boucle.
 
 \begin{itemize}
 et chaque sortie est liée à une entrée par une boucle.
 
 \begin{itemize}

-\item Le réseau est initialisé avec  $n$~bits
-   $\left(x^0_1,\dots,x^0_n\right)$ et une valeur entière $S^0 \in [n]$.
+\item Le réseau est initialisé avec  ${\mathsf{N}}$~bits
+   $\left(x^0_1,\dots,x^0_{\mathsf{N}}\right)$ et une valeur entière $S^0 \in [{\mathsf{N}}]$.

 \item  A l'itération~$t$,     le vecteur 
 \item  A l'itération~$t$,     le vecteur 

-  $\left(x^t_1,\dots,x^t_n\right)$  permet de construire les $n$~bits 
-  servant de sortie $\left(x^{t+1}_1,\dots,x^{t+1}_n\right)$.
+  $\left(x^t_1,\dots,x^t_{\mathsf{N}}\right)$  permet de construire les ${\mathsf{N}}$~bits 
+  servant de sortie $\left(x^{t+1}_1,\dots,x^{t+1}_{\mathsf{N}}\right)$.

 \end{itemize}
 
 Le comportement de ce type de réseau de neurones peut être prouvé comme 
 \end{itemize}
 
 Le comportement de ce type de réseau de neurones peut être prouvé comme 

-étant chaotique en suivant la démarche énoncée maintenant.
-On nomme tout d'abord $F:    \mathds{B}^n  \times [n] \rightarrow
-\mathds{B}^n$     la      fonction qui associe  
+étant chaotique en suivant la démarche suivante.
+On nomme tout d'abord $F:    \mathds{B}^{\mathsf{N}}  \times [{\mathsf{N}}] \rightarrow
+\mathds{B}^{\mathsf{N}}$     la      fonction qui associe  

 au vecteur 
 au vecteur 

-$\left(\left(x_1,\dots,x_n\right),s\right)    \in   \mathds{B}^n \times[n]$ 
+$\left(\left(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),s\right)    \in   \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times[{\mathsf{N}}]$ 

 le vecteur 
 le vecteur 

-$\left(y_1,\dots,y_n\right)       \in       \mathds{B}^n$, où
-$\left(y_1,\dots,y_n\right)$  sont les sorties du réseau neuronal
-àaprès l'initialisation de la couche d'entrée avec 
-$\left(s,\left(x_1,\dots, x_n\right)\right)$.  Ensuite, on définie $f:
-\mathds{B}^n       \rightarrow      \mathds{B}^n$  telle que 
-$f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)$ est égal à 
+$\left(y_1,\dots,y_{\mathsf{N}}\right)       \in       \mathds{B}^{\mathsf{N}}$, où
+$\left(y_1,\dots,y_{\mathsf{N}}\right)$  sont les sorties du réseau neuronal
+après l'initialisation de la couche d'entrée avec 
+$\left(s,\left(x_1,\dots, x_{\mathsf{N}}\right)\right)$.  Ensuite, on définie $f:
+\mathds{B}^{\mathsf{N}}       \rightarrow      \mathds{B}^{\mathsf{N}}$  telle que 
+$f\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right)$ est égal à 

 \begin{equation}
 \begin{equation}

-\left(F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right),1\right),\dots,
-  F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right),n\right) \enspace .
+\left(
+  F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),1\right),\dots,
+  F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),{\mathsf{N}}\right) 
+\right).

 \end{equation}
 \end{equation}

-Ainsi pour chaque $j$, $1 \le j \le n$, on a 
-$f_j\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) = 
-F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right),j\right)$.
+Ainsi pour chaque $j$, $j \in [{\mathsf{N}}]$, on a 
+$f_j\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right) = 
+F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),j\right)$.

 Si ce réseau de neurones est initialisé avec 
 Si ce réseau de neurones est initialisé avec 

-$\left(x_1^0,\dots,x_n^0\right)$   et $S   \in    [n]^{\mathds{N}}$, 
-il produit exactement les même sorties que les itérations de  $F_{f_u}$ avec une 
-condition initiale $\left((x_1^0,\dots,  x_n^0),S\right)  \in  \mathds{B}^n \times [n]^{\mathds{N}}$.
+$\left(x_1^0,\dots,x_{\mathsf{N}}^0\right)$   et $S   \in    [{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$, 
+il produit exactement les mêmes sorties que les itérations de  $F_{f_u}$ avec une 
+condition initiale $\left((x_1^0,\dots,  x_{\mathsf{N}}^0),S\right)  \in  \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$.

 Les itérations de $F_{f_u}$ 
 Les itérations de $F_{f_u}$ 

-sont donc un modèle formel de cette classe de réseau de neurones.
+sont donc un modèle formel de cette classe de réseaux de neurones.

 Pour vérifier si un de ces représentants est chaotique, il suffit ainsi 
 de vérifier si le graphe d'itérations
 $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 
 
 Pour vérifier si un de ces représentants est chaotique, il suffit ainsi 
 de vérifier si le graphe d'itérations
 $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 
 

-\section{Un réseau de neurones peut-il approximer un 
-des itération unaires chaotiques?}
+\section[Approximation des itérations unaires chaotiques par RN]{Un réseau de neurones peut-il approximer
+des itération unaires chaotiques?}\label{sec:ann:approx}

 
 Cette section s'intéresse à étudier le comportement d'un réseau de neurones 
 face à des itérations unaires chaotiques, comme définies à 
 la section~\ref{sec:TIPE12}.
 
 Cette section s'intéresse à étudier le comportement d'un réseau de neurones 
 face à des itérations unaires chaotiques, comme définies à 
 la section~\ref{sec:TIPE12}.

-Plus précésment, on considère dans cette partie une fonction  dont le graphe 
+Plus précisément, on considère dans cette partie une fonction  dont le graphe 

 des itérations unaires est fortement connexe et une séquence dans 
 des itérations unaires est fortement connexe et une séquence dans 

-$[n]^{\mathds{N}}$. On cherche à construire un réseau de neurones
+$[{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$. On cherche à construire un réseau de neurones

 qui approximerait les itérations de la fonction $G_{f_u}$ comme définie 
 à l'équation~(\ref{eq:sch:unaire}).
 
 Sans perte de généralité, on considère dans ce qui suit une instance
 qui approximerait les itérations de la fonction $G_{f_u}$ comme définie 
 à l'équation~(\ref{eq:sch:unaire}).
 
 Sans perte de généralité, on considère dans ce qui suit une instance

-de de fonction à quatre éléments.
+ de fonction à quatre éléments.

 
 \subsection{Construction du réseau} 
 \label{section:translation}
 
 
 \subsection{Construction du réseau} 
 \label{section:translation}
 

-On considère par exemple les deux fonctions $f$ and $g$ de0 $\Bool^4$
+On considère par exemple les deux fonctions $f$ et $g$ de $\Bool^4$

 dans $\Bool^4$ définies par:
 
 \begin{eqnarray*}
 dans $\Bool^4$ définies par:
 
 \begin{eqnarray*}


@@ -205,352 +199,232 @@ mémoriser des configurations. On en considère deux principalement.
 Dans le premier cas, on considère une entrée booléenne par élément
 tandis que dans le second cas, les configurations  sont mémorisées comme 
 des entiers naturels. Dans ce dernier cas, une approche naïve pourrait 
 Dans le premier cas, on considère une entrée booléenne par élément
 tandis que dans le second cas, les configurations  sont mémorisées comme 
 des entiers naturels. Dans ce dernier cas, une approche naïve pourrait 

-consister à attribuer à chaque configuration de $\Bool^n$ 
-l'entier naturel naturel correspondant.
+consister à attribuer à chaque configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$ 
+l'entier naturel correspondant.

 Cependant, une telle représentation rapproche 
 arbitrairement des configurations diamétralement
 Cependant, une telle représentation rapproche 
 arbitrairement des configurations diamétralement

-opposées dans le $n$-cube comme  une puissance de
+opposées dans le ${\mathsf{N}}$-cube comme  une puissance de

 deux et la configuration immédiatement précédente: 10000 serait modélisée 
 deux et la configuration immédiatement précédente: 10000 serait modélisée 

-par 16 et  et 01111 par 15 alros que leur distance de Hamming est 15.
+par 16 et  et 01111 par 15 alors que leur distance de Hamming est 15.

 De manière similaire, ce codage éloigne des configurations qui sont 
 très proches: par exemple 10000 et 00000 ont une distance de Hamming 
 de 1 et sont respectivement représentées par 16 et 0.
 Pour ces raisons, le codage retenu est celui des codes de Gray~\cite{Gray47}.
 
 Concentrons nous sur la traduction de la stratégie.
 De manière similaire, ce codage éloigne des configurations qui sont 
 très proches: par exemple 10000 et 00000 ont une distance de Hamming 
 de 1 et sont respectivement représentées par 16 et 0.
 Pour ces raisons, le codage retenu est celui des codes de Gray~\cite{Gray47}.
 
 Concentrons nous sur la traduction de la stratégie.

-Il n'est naturellement pas possible de traduire une stragtégie 
+Il n'est naturellement pas possible de traduire une stratégie 

 infinie quelconque à l'aide d'un nombre fini d'éléments.
 On se restreint donc à des stratégies de taille 
 infinie quelconque à l'aide d'un nombre fini d'éléments.
 On se restreint donc à des stratégies de taille 

-$l \in \llbracket 2,k\rrbracket$, où $k$ est un parametre défini
+$l$, $2 \le l \le k$, où $k$ est un paramètre défini

 initialement. 
 Chaque stratégie est mémorisée comme un entier naturel exprimé en base 
 initialement. 
 Chaque stratégie est mémorisée comme un entier naturel exprimé en base 

-$n+1$: à chaque itération, soit aucun élément n'est modifié, soit un 
+${\mathsf{N}}+1$: à chaque itération, soit aucun élément n'est modifié, soit un 

 élément l'est. 
 élément l'est. 

-Enfin, on donne une dernière entrée: $m  \in \llbracket
-1,l-1\rrbracket$, qui est le nombre d'itérations successives que l'on applique 
+Enfin, on donne une dernière entrée: $m  \in [l-1]
+$, qui est le nombre d'itérations successives que l'on applique 

 en commençant à $x$. 
 Les sorties (stratégies et configurations) sont mémorisées 
 selon les mêmes règles.
 
 en commençant à $x$. 
 Les sorties (stratégies et configurations) sont mémorisées 
 selon les mêmes règles.
 

-Concentrons nous sur la complexité du problèmew.
-Chaque entrée, de l'entrée-sortie de l'outil est un triplet 
+Concentrons nous sur la complexité du problème.
+Chaque entrée de l'entrée-sortie de l'outil est un triplet 

 composé d'une configuration $x$, d'un extrait  $S$ de la stratégie à 
 composé d'une configuration $x$, d'un extrait  $S$ de la stratégie à 

-itérer de taille $l \in \llbracket 2, k\rrbracket$ et d'un nombre $m \in  \llbracket 1, l-1\rrbracket$ d'itérations à exécuter.
-Il y a  $2^n$  configurations $x$ et  $n^l$ stratégies de
+itérer de taille $l$, $2 \le l \le  k$ et d'un nombre $m \in [l-1]$ d'itérations à exécuter.
+Il y a  $2^{\mathsf{N}}$  configurations $x$ et  ${\mathsf{N}}^l$ stratégies de

 taille $l$. 
 De plus, pour une  configuration donnée, il y a 
 taille $l$. 
 De plus, pour une  configuration donnée, il y a 

-$\omega = 1 \times n^2 +  2 \times n^3 + \ldots+ (k-1) \times n^k$
+$\omega = 1 \times {\mathsf{N}}^2 +  2 \times {\mathsf{N}}^3 + \ldots+ (k-1) \times {\mathsf{N}}^k$

 manières d'écrire le couple $(m,S)$. Il n'est pas difficile d'établir que 
 \begin{equation}
 manières d'écrire le couple $(m,S)$. Il n'est pas difficile d'établir que 
 \begin{equation}

-\displaystyle{(n-1) \times \omega = (k-1)\times n^{k+1} - \sum_{i=2}^k n^i} \nonumber
+\displaystyle{({\mathsf{N}}-1) \times \omega = (k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1} - \sum_{i=2}^k {\mathsf{N}}^i} \nonumber

 \end{equation}
 donc
 \begin{equation}
 \omega =
 \end{equation}
 donc
 \begin{equation}
 \omega =

-\dfrac{(k-1)\times n^{k+1}}{n-1} - \dfrac{n^{k+1}-n^2}{(n-1)^2} \enspace . \nonumber
+\dfrac{(k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1}}{{\mathsf{N}}-1} - \dfrac{{\mathsf{N}}^{k+1}-{\mathsf{N}}^2}{({\mathsf{N}}-1)^2} \enspace . \nonumber

 \end{equation}
 \noindent
 \end{equation}
 \noindent

-Ainsi le nombre de paire d'entrée-sortie pour les réseaux de neurones considérés
+Ainsi le nombre de paires d'entrée-sortie pour les réseaux de neurones considérés

 est 
 $$
 est 
 $$

-2^n \times \left(\dfrac{(k-1)\times n^{k+1}}{n-1} - \dfrac{n^{k+1}-n^2}{(n-1)^2}\right) \enspace .
+2^{\mathsf{N}} \times \left(\dfrac{(k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1}}{{\mathsf{N}}-1} - \dfrac{{\mathsf{N}}^{k+1}-{\mathsf{N}}^2}{({\mathsf{N}}-1)^2}\right) \enspace .

 $$
 Par exemple, pour $4$   éléments binaires et une stratégie d'au plus 
 $$
 Par exemple, pour $4$   éléments binaires et une stratégie d'au plus 

-$3$~termes on obtient 2304 couples d'entrée-sorties.
+$3$~termes on obtient 2304 couples d'entrée-sortie.

 
 \subsection{Expérimentations}
 
 \subsection{Expérimentations}

-\label{section:experiments}
-On se focalise dans cette section sur l'entraînement d'un perceptron 
-multi-couche pour apprendre des itérations chaotiques. Ce type de réseau
+\label{section:ann:experiments}
+On se focalise dans cette section sur l'entraînement d'un MLP
+pour apprendre des itérations chaotiques. Ce type de réseau

 ayant déjà été évalué avec succès dans la prédiction de 
 séries chaotiques temporelles. En effet, les auteurs de~\cite{dalkiran10} 
 ont montré qu'un MLP pouvait apprendre la dynamique du circuit de Chua.
 Ce réseau avec rétropropagation est composé de  deux couches 
 ayant déjà été évalué avec succès dans la prédiction de 
 séries chaotiques temporelles. En effet, les auteurs de~\cite{dalkiran10} 
 ont montré qu'un MLP pouvait apprendre la dynamique du circuit de Chua.
 Ce réseau avec rétropropagation est composé de  deux couches 

-et entrainé à l'aide d'une  propagation arrière Bayesienne.
-
-In  these experiments  we consider  MLPs  having one  hidden layer  of
-sigmoidal  neurons  and  output   neurons  with  a  linear  activation
-function.     They    are    trained    using    the    Limited-memory
-Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno quasi-newton algorithm in combination
-with the Wolfe linear search.  The training process is performed until
-a maximum number of epochs  is reached.  To prevent overfitting and to
-estimate the  generalization performance we use  holdout validation by
-splitting the  data set into  learning, validation, and  test subsets.
-These subsets  are obtained through  random selection such  that their
-respective size represents 65\%, 10\%, and 25\% of the whole data set.
-
-Several  neural  networks  are  trained  for  both  iterations  coding
-schemes.   In  both  cases   iterations  have  the  following  layout:
-configurations of  four components and  strategies with at  most three
-terms. Thus, for  the first coding scheme a data  set pair is composed
-of 6~inputs and 5~outputs, while for the second one it is respectively
-3~inputs and 2~outputs. As noticed at the end of the previous section,
-this  leads to  data sets  that  consist of  2304~pairs. The  networks
-differ  in the  size of  the hidden  layer and  the maximum  number of
-training epochs.  We remember that  to evaluate the ability  of neural
-networks to  predict a  chaotic behavior for  each coding  scheme, the
-trainings of two data sets, one of them describing chaotic iterations,
-are compared.
-
-Thereafter we give,  for the different learning setups  and data sets,
-the mean prediction success rate obtained for each output. Such a rate
-represents the percentage of  input-output pairs belonging to the test
-subset  for  which  the   corresponding  output  value  was  correctly
-predicted.   These values are  computed considering  10~trainings with
-random  subsets  construction,   weights  and  biases  initialization.
-Firstly, neural networks having  10 and 25~hidden neurons are trained,
-with   a  maximum   number  of   epochs  that   takes  its   value  in
-$\{125,250,500\}$  (see Tables~\ref{tab1} and  \ref{tab2}).  Secondly,
-we refine the second coding scheme by splitting the output vector such
-that   each  output   is  learned   by  a   specific   neural  network
-(Table~\ref{tab3}). In  this last  case, we increase  the size  of the
-hidden layer up to 40~neurons and we consider larger number of epochs.
+et entraîné à l'aide d'une  propagation arrière Bayesienne.
+
+Les choix de l'architecture de réseau ainsi que ceux concernant les
+ méthodes d'apprentissage 
+ont été détaillés dans~\cite{bcgs12:ij}.
+En pratique, nous avons considéré des configurations de
+quatre éléments booléens 
+et une stratégie fixe de longueur 3.
+Pour le premier codage, nous avons ainsi 6~entrées et 5~sorties
+tandis que pour le second, uniquement  3 entrées et 2 sorties.
+Cela engendre ainsi 2304~combinaisons possibles comme détaillé à la 
+section précédente.
+
+

 
 \begin{table}[htbp!]
 
 \begin{table}[htbp!]

-\caption{Prediction success rates for configurations expressed as boolean vectors.}
-\label{tab1}

 \centering {\small
 \begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}
 \hline 
 \centering {\small
 \begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}
 \hline 

-\multicolumn{5}{|c|}{Networks topology: 6~inputs, 5~outputs, and one hidden layer} \\
+\multicolumn{5}{|c|}{Topologie du réseau: 6~entrées, 5~sorties, 1~couche cachée} \\
+\hline

 \hline
 \hline

+\multicolumn{2}{|c||}{Neurones cachés} & \multicolumn{3}{c|}{10 neurones} \\

 \hline
 \hline

-\multicolumn{2}{|c||}{Hidden neurons} & \multicolumn{3}{c|}{10 neurons} \\
-\cline{3-5} 

 \multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\ 
 \hline
 \multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\ 
 \hline

-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotic}}&Output~(1) & 90.92\% & 91.75\% & 91.82\% \\ 
-& Output~(2) & 69.32\% & 78.46\% & 82.15\% \\
-& Output~(3) & 68.47\% & 78.49\% & 82.22\% \\
-& Output~(4) & 91.53\% & 92.37\% & 93.4\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$ }}&Sortie~(1) & 90.92\% & 91.75\% & 91.82\% \\ 
+& Sortie~(2) & 69.32\% & 78.46\% & 82.15\% \\
+& Sortie~(3) & 68.47\% & 78.49\% & 82.22\% \\
+& Sortie~(4) & 91.53\% & 92.37\% & 93.4\% \\

 & Config. & 36.10\% & 51.35\% & 56.85\% \\
 & Config. & 36.10\% & 51.35\% & 56.85\% \\

-& Strategy~(5) & 1.91\% & 3.38\% & 2.43\% \\
+& Stratégie~(5) & 1.91\% & 3.38\% & 2.43\% \\

 \hline
 \hline

-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic}}&Output~(1) & 97.64\% & 98.10\% & 98.20\% \\
-& Output~(2) & 95.15\% & 95.39\% & 95.46\% \\
-& Output~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\
-& Output~(4) & 97.47\% & 97.90\% & 97.99\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic $f$}}&Sortie~(1) & 97.64\% & 98.10\% & 98.20\% \\
+& Sortie~(2) & 95.15\% & 95.39\% & 95.46\% \\
+& Sortie~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\
+& Sortie~(4) & 97.47\% & 97.90\% & 97.99\% \\

 & Config. & 90.52\% & 91.59\% & 91.73\% \\
 & Config. & 90.52\% & 91.59\% & 91.73\% \\

-& Strategy~(5) & 3.41\% & 3.40\% & 3.47\% \\
+& Stratégie~(5) & 3.41\% & 3.40\% & 3.47\% \\
+\hline

 \hline
 \hline

+\multicolumn{2}{|c||}{Neurones cachés} & \multicolumn{3}{c|}{25 neurones} \\
+%\cline{3-5} \\%& \multicolumn{3}{|c|}{40 neurons} \\

 \hline
 \hline

-\multicolumn{2}{|c||}{Hidden neurons} & \multicolumn{3}{c|}{25 neurons} \\ %& \multicolumn{3}{|c|}{40 neurons} \\
-\cline{3-5} 

 \multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\ %& 125 & 250 & 500 \\ 
 \hline
 \multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\ %& 125 & 250 & 500 \\ 
 \hline

-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotic}}&Output~(1) & 91.65\% & 92.69\% & 93.93\% \\ %& 91.94\% & 92.89\% & 94.00\% \\
-& Output~(2) & 72.06\% & 88.46\% & 90.5\% \\ %& 74.97\% & 89.83\% & 91.14\% \\
-& Output~(3) & 79.19\% & 89.83\% & 91.59\% \\ %& 76.69\% & 89.58\% & 91.84\% \\
-& Output~(4) & 91.61\% & 92.34\% & 93.47\% \\% & 82.77\% & 92.93\% & 93.48\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$}}&Sortie~(1) & 91.65\% & 92.69\% & 93.93\% \\ %& 91.94\% & 92.89\% & 94.00\% \\
+& Sortie~(2) & 72.06\% & 88.46\% & 90.5\% \\ %& 74.97\% & 89.83\% & 91.14\% \\
+& Sortie~(3) & 79.19\% & 89.83\% & 91.59\% \\ %& 76.69\% & 89.58\% & 91.84\% \\
+& Sortie~(4) & 91.61\% & 92.34\% & 93.47\% \\% & 82.77\% & 92.93\% & 93.48\% \\

 & Config. & 48.82\% & 67.80\% & 70.97\% \\%& 49.46\% & 68.94\% & 71.11\% \\
 & Config. & 48.82\% & 67.80\% & 70.97\% \\%& 49.46\% & 68.94\% & 71.11\% \\

-& Strategy~(5) & 2.62\% & 3.43\% & 3.78\% \\% & 3.10\% & 3.10\% & 3.03\% \\
+& Stratégie~(5) & 2.62\% & 3.43\% & 3.78\% \\% & 3.10\% & 3.10\% & 3.03\% \\

 \hline
 \hline

-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic}}&Output~(1) & 97.87\% & 97.99\% & 98.03\% \\ %& 98.16\% \\
-& Output~(2) & 95.46\% & 95.84\% & 96.75\% \\ % & 97.4\% \\
-& Output~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\%& 100\% \\
-& Output~(4) & 97.77\% & 97.82\% & 98.06\% \\%& 98.31\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotique $f$}}&Sortie~(1) & 97.87\% & 97.99\% & 98.03\% \\ %& 98.16\% \\
+& Sortie~(2) & 95.46\% & 95.84\% & 96.75\% \\ % & 97.4\% \\
+& Sortie~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\%& 100\% \\
+& Sortie~(4) & 97.77\% & 97.82\% & 98.06\% \\%& 98.31\% \\

 & Config. & 91.36\% & 91.99\% & 93.03\% \\%& 93.98\% \\
 & Config. & 91.36\% & 91.99\% & 93.03\% \\%& 93.98\% \\

-& Strategy~(5) & 3.37\% & 3.44\% & 3.29\% \\%& 3.23\% \\
+& Stratégie~(5) & 3.37\% & 3.44\% & 3.29\% \\%& 3.23\% \\

 \hline
 \end{tabular}
 }
 \hline
 \end{tabular}
 }

+\caption{Taux de prédiction lorsque les configurations sont exprimées comme un vecteur booléen.}
+\label{tab1}

 \end{table}
 \end{table}

+Le tableau~\ref{tab1} synthétise les résultats obtenus avec le premier 
+codage. Sans surprise, la précision de la prédiction croit 
+avec l'Epoch et le nombre de neurones sur la couche cachée.
+Dans tous les cas, les résultats sont plus précis dans le cas non 
+chaotique que dans l'autre. Enfin, le réseau ne parvient jamais à
+apprendre le comportement de la stratégie.

 
 

-Table~\ref{tab1}  presents the  rates  obtained for  the first  coding
-scheme.   For  the chaotic  data,  it can  be  seen  that as  expected
-configuration  prediction becomes  better  when the  number of  hidden
-neurons and maximum  epochs increases: an improvement by  a factor two
-is observed (from 36.10\% for 10~neurons and 125~epochs to 70.97\% for
-25~neurons  and  500~epochs). We  also  notice  that  the learning  of
-outputs~(2)   and~(3)  is   more  difficult.    Conversely,   for  the
-non-chaotic  case the  simplest training  setup is  enough  to predict
-configurations.  For all these  feedforward network topologies and all
-outputs the  obtained results for the non-chaotic  case outperform the
-chaotic  ones. Finally,  the rates  for the  strategies show  that the
-different feedforward networks are unable to learn them.
-
-For  the  second  coding   scheme  (\textit{i.e.},  with  Gray  Codes)
-Table~\ref{tab2} shows  that any network learns about  five times more
-non-chaotic  configurations than  chaotic  ones.  As  in the  previous
-scheme,       the      strategies      cannot       be      predicted.
-Figures~\ref{Fig:chaotic_predictions}                              and
-\ref{Fig:non-chaotic_predictions} present the predictions given by two
-feedforward multilayer  perceptrons that were  respectively trained to
-learn chaotic  and non-chaotic data,  using the second  coding scheme.
-Each figure  shows for  each sample of  the test  subset (577~samples,
-representing 25\%  of the 2304~samples) the  configuration that should
-have been predicted and the one given by the multilayer perceptron. It
-can be  seen that for  the chaotic data  the predictions are  far away
-from the  expected configurations.  Obviously,  the better predictions
-for the non-chaotic data reflect their regularity.
-
-Let us now compare the  two coding schemes. Firstly, the second scheme
-disturbs  the   learning  process.   In   fact  in  this   scheme  the
-configuration is always expressed as  a natural number, whereas in the
-first one  the number  of inputs follows  the increase of  the Boolean
-vectors coding configurations. In this latter case, the coding gives a
-finer information on configuration evolution.

 \begin{table}[b]
 \begin{table}[b]

-\caption{Prediction success rates for configurations expressed with Gray code}
-\label{tab2}

 \centering
 \begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}
 \hline 
 \centering
 \begin{tabular}{|c|c||c|c|c|}
 \hline 

-\multicolumn{5}{|c|}{Networks topology: 3~inputs, 2~outputs, and one hidden layer} \\
+\multicolumn{5}{|c|}{Topologie du réseau: 3~entrées, 2~sorties, 1~couche cachée} \\

 \hline
 \hline
 \hline
 \hline

-& Hidden neurons & \multicolumn{3}{c|}{10 neurons} \\
+& Neurones cachés & \multicolumn{3}{c|}{10 neurones} \\

 \cline{2-5}
 & Epochs & 125 & 250 & 500 \\ %& 1000 
 \hline
 \cline{2-5}
 & Epochs & 125 & 250 & 500 \\ %& 1000 
 \hline

-\multirow{2}{*}{Chaotic}& Config.~(1) & 13.29\% & 13.55\% & 13.08\% \\ %& 12.5\%
-& Strategy~(2) & 0.50\% & 0.52\% & 1.32\% \\ %& 1.42\%
+\multirow{2}{*}{Chaotique $g$}& Config.~(1) & 13.29\% & 13.55\% & 13.08\% \\ %& 12.5\%
+& Stratégie~(2) & 0.50\% & 0.52\% & 1.32\% \\ %& 1.42\%

 \hline
 \hline

-\multirow{2}{*}{Non-Chaotic}&Config.~(1) & 77.12\% & 74.00\% & 72.60\% \\ %& 75.81\% 
-& Strategy~(2) & 0.42\% & 0.80\% & 1.16\% \\ %& 1.42\% 
+\multirow{2}{*}{Non-Chaotique $f$}&Config.~(1) & 77.12\% & 74.00\% & 72.60\% \\ %& 75.81\% 
+& Stratégie~(2) & 0.42\% & 0.80\% & 1.16\% \\ %& 1.42\% 

 \hline
 \hline
 \hline
 \hline

-& Hidden neurons & \multicolumn{3}{c|}{25 neurons} \\
+& Neurones cachés& \multicolumn{3}{c|}{25 neurones} \\

 \cline{2-5}
 & Epochs & 125 & 250 & 500 \\ %& 1000 
 \hline
 \cline{2-5}
 & Epochs & 125 & 250 & 500 \\ %& 1000 
 \hline

-\multirow{2}{*}{Chaotic}& Config.~(1) & 12.27\% & 13.15\% & 13.05\% \\ %& 15.44\%
-& Strategy~(2) & 0.71\% & 0.66\% & 0.88\% \\ %& 1.73\%
+\multirow{2}{*}{Chaotique $g$ }& Config.~(1) & 12.27\% & 13.15\% & 13.05\% \\ %& 15.44\%
+& Stratégie~(2) & 0.71\% & 0.66\% & 0.88\% \\ %& 1.73\%

 \hline
 \hline

-\multirow{2}{*}{Non-Chaotic}&Config.~(1) & 73.60\% & 74.70\% & 75.89\% \\ %& 68.32\%
-& Strategy~(2) & 0.64\% & 0.97\% & 1.23\% \\ %& 1.80\%
+\multirow{2}{*}{Non-Chaotique $f$}&Config.~(1) & 73.60\% & 74.70\% & 75.89\% \\ %& 68.32\%
+& Stratégie~(2) & 0.64\% & 0.97\% & 1.23\% \\ %& 1.80\%

 \hline
 \end{tabular}
 \hline
 \end{tabular}

+\caption{Taux de prédiction lorsque les configurations sont exprimées 
+à l'aide de codes de Gray.}
+\label{tab2}

 \end{table}
 
 \end{table}
 

-\begin{figure}
-  \centering
-  \includegraphics[scale=0.5]{images/chaotic_trace2}
-  \caption {Second coding scheme - Predictions obtained for a chaotic test subset.}
-  \label{Fig:chaotic_predictions}
-\end{figure}

 
 

-\begin{figure}
-  \centering
-  \includegraphics[scale=0.5]{images/non-chaotic_trace2} 
-  \caption{Second coding scheme - Predictions obtained for a non-chaotic test subset.}
-  \label{Fig:non-chaotic_predictions}
+
+Les résultats concernant le second codage  (\textit{i.e.},  avec les codes
+de   Gray) sont synthétisés dans le tableau~\ref{tab2}. On constate 
+que le réseau apprend cinq fois mieux les comportements non chaotiques
+que ceux qui le sont. Ceci est  illustré au travers des 
+figures~\ref{Fig:chaotic_predictions} et~\ref{Fig:non-chaotic_predictions}.
+De plus, comme dans le codage précédent, les stratégies ne peuvent pas être 
+prédites.  
+On constate que ce second codage réduit certes le nombre de sorties, mais est 
+largement moins performant que le premier.
+On peut expliquer ceci par le fait
+que ce second codage garantit que deux entiers successifs correspondent 
+à deux configurations voisines, \textit{i.e.}, qui ne diffèrent que d'un 
+élément.
+La réciproque n'est cependant pas établie et deux configurations voisines
+peuvent être traduites par des entiers très éloignés et ainsi difficiles 
+ à apprendre. 
+
+
+\begin{figure}[ht]
+  \begin{center}
+    \subfigure[Fonction chaotique $g$]{
+      \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[scale=0.37]{images/chaotic_trace2}
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{Fig:chaotic_predictions}
+    }
+    \subfigure[Fonction non-chaotique $f$]{
+      \begin{minipage}{0.48\textwidth}
+        \begin{center}
+          \includegraphics[scale=0.37]{images/non-chaotic_trace2} 
+        \end{center}
+      \end{minipage}
+      \label{Fig:non-chaotic_predictions}
+    }
+  \end{center}
+  \caption {Prédiction lorsque les configurations sont exprimées 
+à l'aide de codes de Gray.}

 \end{figure}
 
 \end{figure}
 

-Unfortunately, in  practical applications the number  of components is
-usually  unknown.   Hence, the  first  coding  scheme  cannot be  used
-systematically.   Therefore, we  provide  a refinement  of the  second
-scheme: each  output is learned  by a different  ANN. Table~\ref{tab3}
-presents the  results for  this approach.  In  any case,  whatever the
-considered feedforward  network topologies, the  maximum epoch number,
-and the kind of iterations, the configuration success rate is slightly
-improved.   Moreover, the  strategies predictions  rates  reach almost
-12\%, whereas in Table~\ref{tab2} they never exceed 1.5\%.  Despite of
-this improvement,  a long term prediction of  chaotic iterations still
-appear to be an open issue.
-
-\begin{table}
-\caption{Prediction success rates for split outputs.}
-\label{tab3}
-\centering
-\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
-\hline 
-\multicolumn{4}{|c|}{Networks topology: 3~inputs, 1~output, and one hidden layer} \\
-\hline
-\hline
-Epochs & 125 & 250 & 500 \\ 
-\hline
-\hline
-Chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Configuration} \\
-\hline
-10~neurons & 12.39\% & 14.06\% & 14.32\% \\
-25~neurons & 13.00\% & 14.28\% & 14.58\% \\
-40~neurons & 11.58\% & 13.47\% & 14.23\% \\
-\hline
-\hline
-Non chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Configuration} \\
-\cline{2-4}
-%Epochs & 125 & 250 & 500 \\ 
-\hline
-10~neurons & 76.01\% & 74.04\% & 78.16\% \\
-25~neurons & 76.60\% & 72.13\% & 75.96\% \\
-40~neurons & 76.34\% & 75.63\% & 77.50\% \\
-\hline
-\hline
-Chaotic/non chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Strategy} \\
-\cline{2-4}
-%Epochs & 125 & 250 & 500 \\ 
-\hline
-10~neurons & 0.76\% & 0.97\% & 1.21\% \\
-25~neurons & 1.09\% & 0.73\% & 1.79\% \\
-40~neurons & 0.90\% & 1.02\% & 2.15\% \\
-\hline
-\multicolumn{4}{c}{} \\
-\hline
-Epochs & 1000 & 2500 & 5000 \\ 
-\hline
-\hline
-Chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Configuration} \\
-\hline
-10~neurons & 14.51\% & 15.22\% & 15.22\% \\
-25~neurons & 16.95\% & 17.57\% & 18.46\% \\
-40~neurons & 17.73\% & 20.75\% & 22.62\% \\
-\hline
-\hline
-Non chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Configuration} \\
-\cline{2-4}
-%Epochs & 1000 & 2500 & 5000 \\ 
-\hline
-10~neurons & 78.98\% & 80.02\% & 79.97\% \\
-25~neurons & 79.19\% & 81.59\% & 81.53\% \\
-40~neurons & 79.64\% & 81.37\% & 81.37\% \\
-\hline
-\hline
-Chaotic/non chaotic & \multicolumn{3}{c|}{Output = Strategy} \\
-\cline{2-4}
-%Epochs & 1000 & 2500 & 5000 \\ 
-\hline
-10~neurons & 3.47\% & 9.98\% & 11.66\% \\
-25~neurons & 3.92\% & 8.63\% & 10.09\% \\
-40~neurons & 3.29\% & 7.19\% & 7.18\% \\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{table}

 
 \section{Conclusion}
 
 \section{Conclusion}

+Dans ce chapitre, nous avons établi une similitude entre les itérations 
+chaotiques et une famille  de Perceptrons multi-couches.
+Nous avons d'abord montré comment  construire un réseau de neurones 
+ayant un comportement chaotique.
+Nous avons présenté ensuite comment vérifier si un réseau de neurones 
+établi était chaotique.
+Nous avons enfin montré en pratique qu'il est difficile pour un 
+réseau de neurones d'apprendre le comportement global d'itérations
+chaotiques.
+Comme il est difficile (voir impossible) d'apprendre le comportement 
+de telles fonctions, il paraît naturel de savoir si celles ci peuvent être 
+utilisées pour générer des nombres pseudo-aléatoires, ce que propose la partie
+suivante.

 
 

-In  this paper,  we have  established an  equivalence  between chaotic
-iterations,  according to  the Devaney's  definition of  chaos,  and a
-class  of multilayer  perceptron  neural networks.   Firstly, we  have
-described how to build a neural network that can be trained to learn a
-given chaotic map function. Secondly,  we found a condition that allow
-to check whether  the iterations induced by a  function are chaotic or
-not, and thus  if a chaotic map is obtained.  Thanks to this condition
-our  approach is not  limited to  a particular  function. In  the dual
-case, we show that checking if a neural network is chaotic consists in
-verifying  a property  on an  associated  graph, called  the graph  of
-iterations.   These results  are valid  for recurrent  neural networks
-with a  particular architecture.  However,  we believe that  a similar
-work can be done for  other neural network architectures.  Finally, we
-have  discovered at  least one  family of  problems with  a reasonable
-size, such  that artificial neural  networks should not be  applied in
-the  presence  of chaos,  due  to  their  inability to  learn  chaotic
-behaviors in this  context.  Such a consideration is  not reduced to a
-theoretical detail:  this family of discrete  iterations is concretely
-implemented  in a  new steganographic  method  \cite{guyeux10ter}.  As
-steganographic   detectors  embed  tools   like  neural   networks  to
-distinguish between  original and stego contents, our  studies tend to
-prove that such  detectors might be unable to  tackle with chaos-based
-information  hiding  schemes.
-
-In  future  work we  intend  to  enlarge  the comparison  between  the
-learning   of  truly   chaotic  and   non-chaotic   behaviors.   Other
-computational intelligence tools such  as support vector machines will
-be investigated  too, to  discover which tools  are the  most relevant
-when facing a truly chaotic phenomenon.  A comparison between learning
-rate  success  and  prediction  quality will  be  realized.   Concrete
-consequences in biology, physics, and computer science security fields
-will then be stated.

 
 % \appendix{}
 
 
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