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index 7f3fbc4a47884fa084129ea408037aac27216722..1111939ac3e8596062ee0388e2c33fb40936a37f 100644 (file)
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@@ -1,8 +1,8 @@
 On prouve les théorèmes suivants
 
 
 On prouve les théorèmes suivants
 
 

-\begin{theorem} $G_f$  est transitive si et seulement si 
- $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\begin{theorem} $G_{f_u}$  est transitive si et seulement si 
+ $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.

 \end{theorem}
 
 
 \end{theorem}
 
 


@@ -10,48 +10,48 @@ On prouve les théorèmes suivants
 
 \begin{Proof} 
 
 
 \begin{Proof} 
 

-$\Longleftarrow$ Supposons que $\Gamma(f)$ soit fortement connexe.
-Soient $(S,x)$ et $(S',x')$ deux points de $\mathcal{X}$ et  $\varepsilon >0$. 
+$\Longleftarrow$ Supposons que $\textsc{giu}(f)$ soit fortement connexe.
+Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}_u$ et  $\varepsilon >0$. 

 On construit la stratégie $\tilde S$ telle que la distance 
 On construit la stratégie $\tilde S$ telle que la distance 

-entre $(\tilde S,x)$ et  $(S,x)$ est inférieure à 
-$\varepsilon$ et telle que les  itérations parallèles de $G_f$ depuis
-$(\tilde S,x)$ mènent au point $(S',x')$.
+entre $(x,\tilde S)$ et  $(x,S)$ est inférieure à 
+$\varepsilon$ et telle que les  itérations parallèles de $G_{f_u}$ depuis
+$(x,\tilde S)$ mènent au point $(x',S')$.

 
 Pour cela, on pose $t_1 =-\lfloor\log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et   $x''$ la 
 
 Pour cela, on pose $t_1 =-\lfloor\log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et   $x''$ la 

-configuration de $\Bool^n$ obtenue depuis $(S,x)$ après $t_1$ itérations
-parallèles de $G_f$. 
-Comme $\Gamma(f)$ est fortement connexe, il existe une 
+configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$ obtenue depuis $(x,S)$ après $t_1$ 
+itérations
+parallèles de $G_{f_u}$. 
+Comme $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, il existe une 

 stratégie $S''$ et un entier  $t_2$ tels que $x'$ est atteint depuis 
 stratégie $S''$ et un entier  $t_2$ tels que $x'$ est atteint depuis 

-$(S'',x'')$ après $t_2$ itérations de $G_f$.
+$(x'',S'')$ après $t_2$ itérations de $G_{f_u}$.

 
 Considérons à présent la stratégie 
 $\tilde S=(s_0,\dots,s_{t_1-1},s''_0,\dots,s''_{t_2-1},s'_0,s'_1,s'_2,s'_3\dots)$.
 
 Considérons à présent la stratégie 
 $\tilde S=(s_0,\dots,s_{t_1-1},s''_0,\dots,s''_{t_2-1},s'_0,s'_1,s'_2,s'_3\dots)$.

-Il est évident que $(s',x')$ est atteint depuis  $(\tilde S,x)$ après 
-$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Puisque 
+Il est évident que $(x',s')$ est atteint depuis  $(x,\tilde S)$ après 
+$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_u}$. Puisque 

 $\tilde s_t=s_t$ pour $t<t_1$, grâce au choix de $t_1$,
 $\tilde s_t=s_t$ pour $t<t_1$, grâce au choix de $t_1$,

-on a $d((S,x),(\tilde
-S,x))<\epsilon$. 
-Par conséquent, $G_f$ est transitive.
+on a $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$. 
+Par conséquent, $G_{f_u}$ est transitive.

 
 $\Longrightarrow$ Démontrons la contraposée.
 
 $\Longrightarrow$ Démontrons la contraposée.

-Si $\Gamma(f)$ n'est pas  fortement connexe, alors 
+Si $\textsc{giu}(f)$ n'est pas  fortement connexe, alors 

 il existe deux configurations $x$  et $x'$ telles qu'aucun chemin de 
 il existe deux configurations $x$  et $x'$ telles qu'aucun chemin de 

-$\Gamma(f)$ ne mène de $x$ à $x'$. 
+$\textsc{giu}(f)$ ne mène de $x$ à $x'$. 

 Soient $S$ et $S'$ deux stratégies et $\varepsilon \in ]0;1[$.
 Soient $S$ et $S'$ deux stratégies et $\varepsilon \in ]0;1[$.

-Alors, pour tout $(S'',x'')$ tel que 
-$d((S'',x''),(S,x))<\varepsilon$ on a $x''$ qui est égal à $x$.
-Comme il n'existe aucun chemin de $\Gamma(f)$ 
+Alors, pour tout $(x'',S'')$ tel que 
+$d((x'',S''),(x,S))<\varepsilon$ on a $x''$ qui est égal à $x$.
+Comme il n'existe aucun chemin de $\textsc{giu}(f)$ 

 qui mène de $x$ à $x'$, 
 qui mène de $x$ à $x'$, 

-les itérations de $G_f$ à partir de 
-$(S'', x'') = (S'', x)$ ne peuvent atteindre que des points 
-$(S''', x''')$ de $\mathcal{X}$ tels que $x''' \neq x'$, 
-et donc ne peuvent pas atteindre $(S', x')$. 
+les itérations de $G_{f_u}$ à partir de 
+$(x'',S'') = (x,S'')$ ne peuvent atteindre que des points 
+$(x''',S''')$ de $\mathcal{X}_u$ tels que $x''' \neq x'$, 
+et donc ne peuvent pas atteindre $(x',S')$. 

 On peut remarquer que, du fait que $x''' \neq x'$, 
 On peut remarquer que, du fait que $x''' \neq x'$, 

-elles n'atteignent que des points de $\mathcal{X}$
-dont la distance à $(S', x')$ est supérieure à 1.
+elles n'atteignent que des points de $\mathcal{X}_u$
+dont la distance à $(x',S')$ est supérieure à 1.

 Pour tout entier naturel $t$, on a 
 Pour tout entier naturel $t$, on a 

-$G_f^t(S'',x'') \neq (S',x')$.
-Ainsi $G_f$ n'est pas transitive et 
+$G_{f_u}^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
+Ainsi $G_{f_u}$ n'est pas transitive et 

 par contraposée, on a la démonstration souhaitée.
 \end{Proof}
 
 par contraposée, on a la démonstration souhaitée.
 \end{Proof}
 


@@ -64,19 +64,19 @@ Prouvons à présent le théorème suivant:
 
 
 \begin{Proof}  
 
 
 \begin{Proof}  

-Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$ telle que  $G_f$ est transitive (\textit{i.e.}
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $G_{f_u}$ est transitive (\textit{i.e.}

 $f$ appartient à $\mathcal{T}$). 
 $f$ appartient à $\mathcal{T}$). 

-Soit $(S,x) \in\mathcal{X}$ et $\varepsilon >0$. Pour 
+Soit $(x,S) \in\mathcal{X}_u$ et $\varepsilon >0$. Pour 

 prouver que $f$ appartient à  $\mathcal{R}$, il suffit de prouver 
 qu'il existe une stratégie $\tilde S$ telle que la distance entre
 prouver que $f$ appartient à  $\mathcal{R}$, il suffit de prouver 
 qu'il existe une stratégie $\tilde S$ telle que la distance entre

-$(\tilde S,x)$ et $(S,x)$ est inférieure à  $\varepsilon$ et telle que 
-$(\tilde S,x)$ est un  point périodique.
+$(x,\tilde S)$ et $(x,S)$ est inférieure à  $\varepsilon$ et telle que 
+$(x,\tilde S)$ est un  point périodique.

 
 Soit $t_1=-\lfloor \log_{10}(\varepsilon)\rfloor$  et soit $x'$ la 
 
 Soit $t_1=-\lfloor \log_{10}(\varepsilon)\rfloor$  et soit $x'$ la 

-configuration obtenue après $t_1$ itérations de $G_f$ depuis  $(S,x)$. 
-D'après la proposition précédente, $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+configuration obtenue après $t_1$ itérations de $G_{f_u}$ depuis  $(x,S)$. 
+D'après la proposition précédente, $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.

 Ainsi, il existe une stratégie $S'$ et un nombre $t_2\in\Nats$ tels
 Ainsi, il existe une stratégie $S'$ et un nombre $t_2\in\Nats$ tels

-que $x$ est atteint depuis $(S',x')$ après $t_2$ itérations de $G_f$.
+que $x$ est atteint depuis $(x',S')$ après $t_2$ itérations de $G_{f_u}$.

 
 Soit alors la  stratégie $\tilde S$ qui alterne les $t_1$ premiers termes
 de $S$ avec les $t_2$ premiers termes de $S'$. 
 
 Soit alors la  stratégie $\tilde S$ qui alterne les $t_1$ premiers termes
 de $S$ avec les $t_2$ premiers termes de $S'$. 


@@ -84,18 +84,18 @@ Ainsi $\tilde S$ est définie par
 \begin{equation*}
 (s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots).
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
 (s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots).
 \end{equation*}

-Il est évident que  $(\tilde S,x)$ s'obtient à partir de  $(\tilde S,x)$ après
-$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_f$. Ainsi $(\tilde S,x)$ est un point 
+Il est évident que  $(x,\tilde S)$ s'obtient à partir de  $(x,\tilde S)$ après
+$t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_u}$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point 

 périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le 
 périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le 

-choix de  $t_1$, on a  $d((S,x),(\tilde S,x))<\epsilon$.
+choix de  $t_1$, on a  $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.

 \end{Proof}
 
 On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
 = \mathcal{T}$. On a alors la  caractérisation suivante:
 
 \begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
 \end{Proof}
 
 On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
 = \mathcal{T}$. On a alors la  caractérisation suivante:
 
 \begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]

-\label{Th:CaracIC}  
-Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$. La fonction $G_f$ est chaotique  
-si et seulement si $\Gamma(f)$ est fortement connexe.
+\label{Th:CaracIC:up}  
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique  
+si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.

 \end{theorem}
 
 \end{theorem}