Parmi les suites simples classiquement embarquées dans les CPRNGs, on trouve principalement
-la suite logistique et
-la suite de Hénon. La suite logistique~\cite{may1976simple} est définie de $[0;1]$ dans lui même par $x_{t+1} = r \times x_t(1-x_t)$
+la suite logistique,
+la suite de Hénon.
+La suite logistique~\cite{may1976simple} est définie de $[0;1]$ dans lui même par $x_{t+1} = r \times x_t(1-x_t)$
avec $x_0 \in [0;1]$ et $3,57<r<4,0$.
La suite de Hénon~\cite{henon1976two} de $A \times B$ dans lui même, avec $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $\R$,
est définie par
$f$ est une adaptation de la suite logistique au cas discret,
la graine $(X_0(0),\dots, X_0(L-1))$ et la pondération $\varepsilon$ sont fournies par l'utilisateur.
+
+René Lozi a aussi étudié la construction de PRNGs en couplant
+des suites de Lozi~\cite{espinelrojas:hal-00622989} (qui sont une variation des suites de Hénon: $x^2_t$ est remplacé par $| x_t|$),
+la suite tente~\cite{DBLP:journals/ijbc/Lozi12} et en extrayant des
+sous-suites pour construire la sortie du PRNG~\cite{lozi:hal-00813087}.
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Certaines équations différentielles ont été à la base de PRNGs chaotiques.
On pense aux équations de Lorenz~\cite{Lorenz1963}, à celles de Rössler~\cite{Rossler1976397}\ldots
Celles-ci ont par exemple embarquées dans les PRNG dans les articles~\cite{Silva:2009:LLP:1592409.1592411}
et~\cite{mansingka2013fibonacci} respectivement.
-\section{ Nombres pseudo-aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
+
+
+\section{Nombres pseudo-aléatoires construits par itérations unaires}\label{sub:prng:algo}
On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexe~\ref{anx:generateur}.
\begin{restatable}[Uniformité de la sortie de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}]{theorem}{PrngCIUniforme}\label{thm:prng:u}
- Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son
+ Soit $f: \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$, $\textsc{giu}(f)$ son
graphe d'itérations , $\check{M}$ sa matrice d'adjacence
et $M$ une matrice $2^n\times 2^n$
définie par
- $M = \dfrac{1}{n} \check{M}$.
+ $M = \dfrac{1}{\mathsf{N}} \check{M}$.
Si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe, alors
la sortie du générateur de nombres pseudo-aléatoires détaillé par
l'algorithme~\ref{CI Algorithm} suit une loi qui
colonne utilisé comme le paramètre $b$
dans l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
-Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{n}}$.
-Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^n$,
+Soit $e_i$ le $i^{\textrm{ème}}$ vecteur de la base canonique de $\R^{2^{\mathsf{N}}}$.
+Chacun des éléments $v_j$, $1 \le j \le 2^{\mathsf{N}}$,
du vecteur $e_i M_f^t$ représente la probabilité
d'être dans la configuration $j$ après $t$ étapes du processus de Markov
associé à $\textsc{giu}(f)$ en partant de la configuration $i$.
Le nombre $\min \{
t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
\}$ représente le plus petit nombre d'itérations où la distance de
-ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^n},\ldots,\frac{1}{2^n})$
+ce vecteur au vecteur $\pi=(\frac{1}{2^{\mathsf{N}}},\ldots,\frac{1}{2^{\mathsf{N}}})$
-- autrement dit, où la déviation par rapport à la distribution uniforme --
est inférieure
à $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour
$b$.
Ainsi, on a
\begin{equation}
-b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket}
+b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^{\mathsf{N}} \rrbracket}
\left\{
\min \left\{
t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
\rightarrow \mathds{B}^\mathsf{N}$ définie par
$$
-F_{f_u,p_i} (x,(u^0, u^1, \hdots, u^{p_i-1})) \mapsto
+F_{f_u,p_i} (x,(u^0, u^1, \hdots, u^{p_i-1})) =
F_{f_u}(\hdots (F_{f_u}(F_{f_u}(x,u^0), u^1), \hdots), u^{p_i-1}).
$$
Ainsi, les sorties $(y^0, y^1, \hdots )$ produites par le générateur détaillé dans
l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
sont les premiers composants des itérations $X^0 = (x^0, (u,v))$ et $\forall n \in \mathds{N},
-X^{n+1} = G_{f_u,\mathcal{P}}(X^n)$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ où
+X^{n+1} = G_{f_u,\mathcal{P}}(X^{\mathsf{N}})$ dans $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ où
$G_{f_u,\mathcal{P}}$ est définie par:
