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[hdrcouchot.git] / 12TIPE.tex

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index afd60777f8de02acdfe4c2884ae8cc97077f3130..4bcec9fbdc58def6a2740728b1d72efa55c19ba0 100644 (file)
--- a/12TIPE.tex
+++ b/12TIPE.tex
@@ -14,9 +14,11 @@ Pour une stratégie $s = \left(s_t\right)_{t \in \mathds{N}}$
 de $[\mathsf{N}]$), on peut définir
 la fonction $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times [\mathsf{N}]$
 vers $\Bool^\mathsf{N}$ par 
-\[
+
+\begin{equation}
 F_{f_u}(x,i)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_\mathsf{N}).
-\]
+\label{eq:iterations:unaires}
+\end{equation}
 
 Dans le schéma des itérations unaires pour une configuration initiale
 $x^0\in\Bool^\mathsf{N}$ et une stratégie $s\in
@@ -39,7 +41,7 @@ G_{f_u}(x,s)=(F_{f_u}(x,s_0),\sigma(s)).
 \end{equation}
 
 Dans cette définition, la fonction 
-$\sigma: {\mathsf{N}}]^{\Nats} \longrightarrow
+$\sigma: [{\mathsf{N}}]^{\Nats} \longrightarrow
  [{\mathsf{N}}]^{\Nats} 
 $
 décale
@@ -52,7 +54,7 @@ $$
 
 Ainsi, effectuer des itérations unaires sur la fonction 
 $f$ selon une stratégie $s$ revient à effectuer des itérations
-parallèles de la fonctions $G_{f_u}$ dans  $\mathcal{X}_u$.
+parallèles de la fonction $G_{f_u}$ dans  $\mathcal{X}_u$.
 La section suivante introduit une métrique sur $\mathcal{X}_u$.
 
 \subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}_u$}
@@ -97,23 +99,23 @@ chaotiques $G_{f_u}$ sur $\mathcal{X}_u$}
 % $G_{f_u}$ est continue sur $\mathcal{X}_u$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).   
 
 Pour caractériser les fonctions rendant chaotiques dans $\mathcal{X}_u$ les itérations de $G_{f_u}$ 
-on se focalise donc que sur la régularité et sur la transitivité de $G_{f_u}$.
+on se focalise donc sur la régularité et sur la transitivité de $G_{f_u}$.
 Ceci se réalise en établissant les relations d'inclusion entre 
 les ensembles $\mathcal{T}$ des fonctions topologiquement transitives, 
 $\mathcal{R}$ des fonctions régulières  
 et $\mathcal{C}$ des fonctions chaotiques définis respectivement ci-dessous:
 \begin{itemize}
-\item   $\mathcal{T}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to
-\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,
-\item   $\mathcal{R}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to
-\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,
-\item   $\mathcal{C}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to
-\mathds{B}^n  \textrm{ t. q. }  G_{f_u}  \textrm{  est chaotique} \right\}$.
+\item   $\mathcal{T}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^{\mathsf{N}}   \to
+\mathds{B}^{\mathsf{N}} \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,
+\item   $\mathcal{R}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^{\mathsf{N}}   \to
+\mathds{B}^{\mathsf{N}} \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,
+\item   $\mathcal{C}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^{\mathsf{N}}   \to
+\mathds{B}^{\mathsf{N}}  \textrm{ t. q. }  G_{f_u}  \textrm{  est chaotique} \right\}$.
 \end{itemize}
 
 
 On énonce les théorèmes successifs suivants dont les preuves sont données 
-dans~\cite{guyeux10}.
+dans~\cite{guyeuxphd}.
 
 \begin{theorem} $G_{f_u}$  est transitive si et seulement si 
  $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.