de $[\mathsf{N}]$), on peut définir
la fonction $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times [\mathsf{N}]$
vers $\Bool^\mathsf{N}$ par
-\[
+
+\begin{equation}
F_{f_u}(x,i)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_\mathsf{N}).
-\]
+\label{eq:iterations:unaires}
+\end{equation}
Dans le schéma des itérations unaires pour une configuration initiale
$x^0\in\Bool^\mathsf{N}$ et une stratégie $s\in
\end{equation}
Dans cette définition, la fonction
-$\sigma: {\mathsf{N}}]^{\Nats} \longrightarrow
+$\sigma: [{\mathsf{N}}]^{\Nats} \longrightarrow
[{\mathsf{N}}]^{\Nats}
$
décale
Ainsi, effectuer des itérations unaires sur la fonction
$f$ selon une stratégie $s$ revient à effectuer des itérations
-parallèles de la fonctions $G_{f_u}$ dans $\mathcal{X}_u$.
+parallèles de la fonction $G_{f_u}$ dans $\mathcal{X}_u$.
La section suivante introduit une métrique sur $\mathcal{X}_u$.
\subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}_u$}
% $G_{f_u}$ est continue sur $\mathcal{X}_u$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).
Pour caractériser les fonctions rendant chaotiques dans $\mathcal{X}_u$ les itérations de $G_{f_u}$
-on se focalise donc que sur la régularité et sur la transitivité de $G_{f_u}$.
+on se focalise donc sur la régularité et sur la transitivité de $G_{f_u}$.
Ceci se réalise en établissant les relations d'inclusion entre
les ensembles $\mathcal{T}$ des fonctions topologiquement transitives,
$\mathcal{R}$ des fonctions régulières
et $\mathcal{C}$ des fonctions chaotiques définis respectivement ci-dessous:
\begin{itemize}
-\item $\mathcal{T} = \left\{f : \mathds{B}^n \to
-\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,
-\item $\mathcal{R} = \left\{f : \mathds{B}^n \to
-\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,
-\item $\mathcal{C} = \left\{f : \mathds{B}^n \to
-\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est chaotique} \right\}$.
+\item $\mathcal{T} = \left\{f : \mathds{B}^{\mathsf{N}} \to
+\mathds{B}^{\mathsf{N}} \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,
+\item $\mathcal{R} = \left\{f : \mathds{B}^{\mathsf{N}} \to
+\mathds{B}^{\mathsf{N}} \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,
+\item $\mathcal{C} = \left\{f : \mathds{B}^{\mathsf{N}} \to
+\mathds{B}^{\mathsf{N}} \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est chaotique} \right\}$.
\end{itemize}
On énonce les théorèmes successifs suivants dont les preuves sont données
-dans~\cite{guyeux10}.
+dans~\cite{guyeuxphd}.
\begin{theorem} $G_{f_u}$ est transitive si et seulement si
$\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
