Dans le schéma unaire, à la $t^{\textrm{ème}}$ itération,
seul le $s_{t}^{\textrm{ème}}$
-composant (entre 1 et $n$) est mis à jour.
+composant (entre 1 et $\mathsf{N}$) est mis à jour.
Pour une stratégie $s = \left(s_t\right)_{t \in \mathds{N}}$
(\textit{i.e.}, une séquence d'indices
-de $\llbracket 1;\mathsf{N} \rrbracket$), on peut définir
-la fonction $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket$
+de $[\mathsf{N}]$), on peut définir
+la fonction $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times [\mathsf{N}]$
vers $\Bool^\mathsf{N}$ par
-\[
+
+\begin{equation}
F_{f_u}(x,i)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_\mathsf{N}).
-\]
+\label{eq:iterations:unaires}
+\end{equation}
Dans le schéma des itérations unaires pour une configuration initiale
$x^0\in\Bool^\mathsf{N}$ et une stratégie $s\in
-\llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket^\Nats$, les configurations $x^t$
+[\mathsf{N}]^\Nats$, les configurations $x^t$
sont définies par la récurrence
\begin{equation}\label{eq:asyn}
x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,s_t).
On peut alors construire l'espace
$\mathcal{X}_u =
-\Bool^{{\mathsf{N}}} \times \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats}$
-et la fonction d'iteration $G_{f_u}$ définie de
+\Bool^{{\mathsf{N}}} \times [{\mathsf{N}}]^{\Nats}$
+et la fonction d'itération $G_{f_u}$ définie de
$\mathcal{X}_u$
dans lui-même par
\begin{equation}
\end{equation}
Dans cette définition, la fonction
-$\sigma: \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats} \longrightarrow
- \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats}
+$\sigma: {\mathsf{N}}]^{\Nats} \longrightarrow
+ [{\mathsf{N}}]^{\Nats}
$
décale
la stratégie fournie en argument d'un élément vers la gauche en supprimant
Sur $\mathcal{X}_u$,
on définit la distance $d$ entre les points $X=(x,s)$ et
$X'=(x',s')$ de $\mathcal{X}_u$ par
-\[
+\begin{equation}
d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(s,s'),~\textrm{où}~
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle{d_S(s,s')=\frac{9}{n}\sum_{t\in\Nats}\frac{|s_t-s'_t|}{10^{t+1}}}.
\end{array}
\right.\,.
-\]
+\end{equation}
+
On note que dans le calcul de $d_H(x,x')$--
appelée distance de Hamming entre $x$ et $x'$--
les termes $x_i$ et $x'_i$ sont considérés comme des entiers naturels
chaotiques $G_{f_u}$ sur $\mathcal{X}_u$}
-On peut tout d'abord démontrer que pour toute fonction booléenne $f$,
-$G_{f_u}$ est continue sur $\mathcal{X}_u$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).
+% On peut tout d'abord démontrer que pour toute fonction booléenne $f$,
+% $G_{f_u}$ est continue sur $\mathcal{X}_u$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).
-Pour charactérister les fonctions rendant chaotiques dans $\mathcal{X}_u$ les itérations de $G_{f_u}$
+Pour caractériser les fonctions rendant chaotiques dans $\mathcal{X}_u$ les itérations de $G_{f_u}$
on se focalise donc que sur la régularité et sur la transitivité de $G_{f_u}$.
Ceci se réalise en établissant les relations d'inclusion entre
les ensembles $\mathcal{T}$ des fonctions topologiquement transitives,
et $\mathcal{C}$ des fonctions chaotiques définis respectivement ci-dessous:
\begin{itemize}
\item $\mathcal{T} = \left\{f : \mathds{B}^n \to
-\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,
+\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,
\item $\mathcal{R} = \left\{f : \mathds{B}^n \to
-\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,
+\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,
\item $\mathcal{C} = \left\{f : \mathds{B}^n \to
-\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est chaotique} \right\}$.
+\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est chaotique} \right\}$.
\end{itemize}
-On énnonce les théorèmes successifs suivants.
-Leur preuve est donnée en annexe~\ref{anx:chaos:unaire}.
+On énonce les théorèmes successifs suivants dont les preuves sont données
+dans~\cite{guyeux10}.
\begin{theorem} $G_{f_u}$ est transitive si et seulement si
$\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
\end{theorem}
\begin{theorem}
-\label{Prop: T est dans R} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
+\label{Prop: T est dans R:u} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
\end{theorem}
On peut conclure que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
\label{Th:CaracIC}
-Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique
si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
\end{theorem}
