-\JFC{Dire que c'est une synthèse du chapitre 22 de la thèse de Tof}
+La propriété de transitivité des fonctions chaotiques est à l'origine du marquage de documents numériques: grâce à cette propriété, la marque est diffusée
+sur tout le support. Ainsi, de tout média, même tronqué,
+on peut la réextraire.
+Dans ce chapitre, le processus d'embarquement d'un message dans
+un média est formalisé en section~\ref{sec:watermarking:formulation}.
+La sécurité des approches de watermarking est étudiée selon deux critères:
+probabiliste d'une part (section~\ref{sec:watermarking:security:probas})
+et chaotique (section~\ref{sec:watermarking:security:chaos}) d'autre part.
+Une proposition d'embarquement dans le domaine fréquentiel est abordée
+en section~\ref{sec:watermarking:frequentiel}.
-This section has focused on security with regards to probabilistic behaviors.
-Next section studies it in the perspective of topological ones.
+On remarque cependant que l'algorithme formalisé dans ces sections ne permet
+d'embarquer \textit{in fine} qu'un bit qui est vrai si l'image est marquée
+et faux dans le cas contraire.
+Il ne permet pas d'extraire le contenu du message initial à partir de
+l'image marquée. La section~\ref{sec:watermarking:extension}
+propose une solution à ce problème.
+Les trois premières sections de ce chapitre sont une reformulation
+du chapitre 22 de~\cite{guyeuxphd}. Elles ont été publiées à~\cite{bcg11:ij}.
+L'extension a quant à elle été publiée dans~\cite{bcfg+13:ip}.
-\section{Processus de marquage}
+
+\section{Processus de marquage binaire}\label{sec:watermarking:formulation}
Par la suite, le message numérique qu'on cherche à embarquer est
noté $y$ et le support dans lequel se fait l'insertion est noté $x$.
Le processus de marquage est fondé sur les itérations unaires d'une fonction
selon une stratégie donnée. Cette fonction et cette stratégie
sont paramétrées par un entier naturel permettant à la méthode d'être
-appliquable à un média de n'importe quelle taille.
+applicable à un média de n'importe quelle taille.
On parle alors respectivement de \emph{mode} et d'\emph{adapteur de stratégies}
\subsection{Embarquement}
de $\Nats$ dans l'ensemble des séquences d'entiers
qui associe à chaque entier naturel
$\mathsf{N}$ la suite
- $S \in \llbracket 1, n\rrbracket^{\mathds{N}}$.
+ $S \in [\mathsf{N}]^{\mathds{N}}$.
\end{Def}
On définit par exemple l'adapteur CIIS (\emph{Chaotic Iterations with Independent Strategy})
paramétré par $(K,y,\alpha,l) \in [0,1]\times [0,1] \times ]0, 0.5[ \times \mathds{N}$
-qui associe à chque entier $n \in \Nats$ la suite
+qui associe à chaque entier $\mathsf{N} \in \Nats$ la suite
$(S^t)^{t \in \mathds{N}}$ définie par:
\begin{itemize}
\item $K^0 = \textit{bin}(y) \oplus \textit{bin}(K)$: $K^0$ est le nombre binaire (sur 32 bits)
entre les décompositions binaires sur 32 bits des réels $y$ et $K$
(il est aussi compris entre 0 et 1),
\item $\forall t \leqslant l, K^{t+1} = F(K^t,\alpha)$,
- \item $\forall t \leqslant l, S^t = \left \lfloor n \times K^t \right \rfloor + 1$,
+ \item $\forall t \leqslant l, S^t = \left \lfloor \mathsf{N} \times K^t \right \rfloor + 1$,
\item $\forall t > l, S^t = 0$,
\end{itemize}
-où est la fonction chaotique linéaire par morceau~\cite{Shujun1}.
+où $F$ est la fonction chaotique linéaire par morceau~\cite{Shujun1}.
Les paramètres $K$ et $\alpha$ de cet adapteur de stratégie peuvent être vus
comme des clefs.
On remarque que cette stratégie est unaire.
\begin{Def}[Fonction de signification ]
Une \emph{fonction de signification }
-est une fonction $u$ qui a toute
+est une fonction $u$ qui à toute
séquence finie de bit $x$ associe la séquence
$(u^k(x))$ de taille $\mid x \mid$ à valeur dans les réels.
Cette fonction peut dépendre du message $y$ à embarquer, ou non.
\end{Def}
-Pour alléger le discours, par la suite, on nottera $(u^k(x))$ pour $(u^k)$
+Pour alléger le discours, par la suite, on notera $(u^k(x))$ pour $(u^k)$
lorsque cela n'est pas ambigüe.
-Il reste à partionner les bits de $x$ selon qu'ils sont
+Il reste à partitionner les bits de $x$ selon qu'ils sont
peu, moyennement ou très significatifs.
\begin{Def}[Signification des bits]\label{def:msc,lsc}
Soit $u$ une fonction de signification,
$m$ et $M$ deux réels t.q. $m < M$. Alors:
-$u_M$, $u_m$ et $u_p$ sont les vecteurs finis respectivements des
+$u_M$, $u_m$ et $u_p$ sont les vecteurs finis respectivement des
\emph{bits les plus significatifs (MSBs)} de $x$,
\emph{bits les moins significatifs (LSBs)} de $x$
-\emph{bits passifs} of $x$ définis par:
+\emph{bits passifs} de $x$ définis par:
\begin{eqnarray*}
u_M &=& \left( k ~ \big|~ k \in \mathds{N} \textrm{ et } u^k
\geqslant M \textrm{ et } k \le \mid x \mid \right) \\
\end{eqnarray*}
\end{Def}
-On peut alors définir une fonction de décompostion
+On peut alors définir une fonction de décomposition
puis de recomposition pour un hôte $x$:
La fonction qui associe $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$
pour chaque hôte $x$ est la \emph{fonction de décomposition}, plus tard notée
$\textit{dec}(u,m,M)$ puisqu'elle est paramétrée par
-$u$, $m$ and $M$.
+$u$, $m$ et $M$.
\end{Def}
\mathfrak{B}
$ tel que
\begin{itemize}
-\item les ensembles $u_M$, $u_m$ et $u_p$ forment une partition de $[n]$;
+\item les ensembles $u_M$, $u_m$ et $u_p$ forment une partition de $[\mathsf{N}]$;
\item $|u_M| = |\varphi_M|$, $|u_m| = |\varphi_m|$ et $|u_p| = |\varphi_p|$.
\end{itemize}
Soit la base canonique sur l'espace vectoriel $\mathds{R}^{\mid x \mid}$ composée des vecteurs
\begin{Def}[Embarquement dhCI étendu]
\label{def:dhCI:ext}
-Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une function de décomposition,
+Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une fonction de décomposition,
$f$ un mode,
$\mathcal{S}$ un adapteur de stratégie,
$x$ un hôte,
$(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$
-sont image par $\textit{dec}(u,m,M)$,
+son image par $\textit{dec}(u,m,M)$,
$q$ un entier naturel positif
et $y$ un média numérique de taille $l=|u_m|$.
\begin{itemize}
\item le mode $f$ est instancié avec le paramètre $l=|u_m|$, engendrant la
fonction $f_{l}:\Bool^{l} \rightarrow \Bool^{l}$;
-\item l'adapteur de stratégie $\mathcal{S}$ est intancié avec le paramètre
+\item l'adapteur de stratégie $\mathcal{S}$ est instancié avec le paramètre
$y$, engendrant une stratégie $S_y \in [l]$;
\item on itère la fonction $G_{f_l}$ en prenant la configuration
initiale $(S_y,\phi_{m})$ selon le schéma défini
\centering
%\includegraphics[width=8.5cm]{organigramme2.pdf}
\includegraphics[width=8.5cm]{organigramme22}
-\caption{The dhCI dissimulation scheme}
+\caption{Le schéma de marquage dhCI}
\label{fig:organigramme}
\end{figure}
-\subsection{Détection d'un media marqué}\label{sub:wmdecoding}
+\subsection{Détection d'un média marqué}\label{sub:wmdecoding}
On caractérise d'abord ce qu'est un média marqué selon la méthode énoncée
à la section précédente. On considère que l'on connaît
-la marque à embarquer $y$, le support $x$ et que l'on a face à soit un média
+la marque à embarquer $y$, le support $x$ et que l'on a face à soi un média
$z$.
-\begin{definition}[Média marqué]
-Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une fonction de décomposition
+\begin{Def}[Média marqué]
+Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une fonction de décomposition,
$f$ un mode,
-$\mathcal{S}$ un adapteur de stratégie
+$\mathcal{S}$ un adapteur de stratégie,
$q$ un entier naturel strictement positif,
$y$ un média digital et soit
$(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ l'image par
$\textit{dec}(u,m,M)$ du média $x$.
Alors, $z$ est \emph{marqué} avec $y$ si l'image
-par $\textit{dec}(u,m,M)$ of $z$ is
+par $\textit{dec}(u,m,M)$ de $z$ est
$(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\hat{y},\phi_{p})$, où
$\hat{y}$ est le second membre de $G_{f_l}^q(S_y,\phi_{m})$.
-\end{definition}
+\end{Def}
% Plusieurs stratégies peuvent être utilisées pour déterminer si une image $z$
% est marquée, en particulier si l'image a été attaquée entre temps.
Récemment~\cite{Cayre2005,Perez06} ont proposé des classes de sécurité pour le
-marquage d'information. Parmis celles-ci, la stego-sécurité a été au centre
+marquage d'information. Parmi celles-ci, la stego-sécurité a été au centre
des travaux puisqu'elle représente la classe la plus élevée dans le contexte où
l'attaquant n'a accès qu'à l'hôte marqué $z$.
Cette définition probabiliste est rappelée ci-après.
-Soit $\mathds{K}$ un ensemble de clefs, $p(X)$ un modèle porbabiliste
+Soit $\mathds{K}$ un ensemble de clefs, $p(X)$ un modèle probabiliste
de $N_0$ hôtes, et $p(Y|K)$ le modèle probabiliste de $N_0$ contenus marqués avec la
même clé $K$ et le même algorithme d'embarquement.
-\begin{definition}[Stégo-Sécurité~\cite{Cayre2008}]
+\begin{Def}[Stégo-Sécurité~\cite{Cayre2008}]
\label{Def:Stego-security}
-La fonction d'embarquement is \emph{stégo-sécure}
+La fonction d'embarquement est \emph{stégo-sécure}
si la propriété $\forall K \in \mathds{K}, p(Y|K)=p(X)$ est établie.
-\end{definition}
+\end{Def}
Il a déjà été démontré~\cite{guyeuxphd,gfb10:ip}
que l'algorithme de marquage dont le mode est la fonction
négation est stégo-sécure.
Un des intérêts de l'algorithme présenté ici est qu'il est paramétré par un mode.
Lorsque celui-ci a les même propriétés que celles vues pour la création de PRNG (\textit{i.e.} graphe des itérations fortement connexes et matrice de Markov doublement
-stochastique), on a un marquage qui peut être rendu stego-secure à $\epsilon$ pret,
-ce que précise le théorème suivant:
+stochastique), on a un marquage qui peut être rendu stégo-sécure à $\varepsilon$ près,
+ce que précise le théorème suivant. La preuve de ce théorème est donnée
+en annexes~\ref{anx:marquage}.
-\begin{theorem}\label{th:stego}
-Soit $\epsilon$ un nombre positif,
+
+\begin{restatable}[$\varepsilon$-stego sécurité]{theorem}{theoremstegoscureepsilon}
+\label{th:stego}
+Soit $\varepsilon$ un nombre positif,
$l$ un nombre de LSBs,
$X \sim \mathbf{U}\left(\mathbb{B}^l\right)$,
-un adapteur de stratégie uniformémement distribué indépendant de $X$
+un adapteur de stratégie uniformément distribué indépendant de $X$
$f_l$ un mode tel que
$\textsc{giu}(f_l)$ est fortement connexe et la
matrice de Markov associée à $f_l$ est doublement stochastique.
Il existe un nombre $q$ d'itérations tel que
-$|p(Y|K)- p(X)| < \epsilon$.
-\end{theorem}
+$|p(Y|K)- p(X)| < \varepsilon$.
+\end{restatable}
introduite dans~\cite{guyeuxphd}.
-\begin{definition}[Chaos-sécurité]
+\begin{Def}[Chaos-sécurité]
\label{DefinitionChaosSecure}
Un schéma de marquage $S$ est chaos-sécure sur un espace topologique
$(\mathcal{X},\tau)$
si sa version itérative
-a un comprtement chaotique sur celui-ci.
-\end{definition}
+a un comportement chaotique sur celui-ci.
+\end{Def}
Tout repose ainsi sur la capacité que l'on a à produire des fonctions
dont le graphe des itérations unaires sera fortement connexe.
\right.
\end{equation}\label{eq:fqq}
-on peut déduire imédiatement du théorème~\ref{th:Adrien} (chap.~\ref{chap:carachaos})
+on peut déduire immédiatement du théorème~\ref{th:Adrien} (chap.~\ref{chap:carachaos})
que le graphe $\textsc{giu}(f_l)$ est fortement connexe.
-La preuve de double-stochasiticité de la matrice associée
-à $f_l$ est donnée en annexes~\ref{anx:marquage:dblesto}.
-On dispose ainsi d'un nouvel algorithme de marquage $\epsilon$-stego-secure et
+La preuve de double-stochasticité de la matrice associée
+à $f_l$ est donnée en annexe~\ref{anx:marquage:dblesto}.
+On dispose ainsi d'un nouvel algorithme de marquage $\varepsilon$-stégo-sécure et
chaos-sécure.
-\section{Applications aux domaines fréquentiels}
+\section{Applications aux domaines fréquentiels}\label{sec:watermarking:frequentiel}
Le schéma d'algorithme présenté dans ce chapitre a été appliqué au marquage d'images
dans les coefficients DCT et les DWT.
\subsection{Fonction de signification pour l'embarquement dans les DCT}
-On considère un hôte $x$ de taille $H \times L$ dans le domaine fréqentiel DCT.
+On considère un hôte $x$ de taille $H \times L$ dans le domaine fréquentiel DCT.
Dans chaque bloc de taille $8\times 8$, à chaque bit
la fonction de signification $u$ associe
\begin{itemize}
-\item 1 si c'est un bit appraissant dans la représentation binaire de la valeur d'un coefficient dont les coordonnées appartiennent à $\{(1,1),(2,1),(1,2)\}$,
-\item 1 si c'est un bit appraissant dans la représentation binaire de la valeur
+\item 1 si c'est un bit apparaissant dans la représentation binaire de la valeur d'un coefficient dont les coordonnées appartiennent à $\{(1,1),(2,1),(1,2)\}$,
+\item 1 si c'est un bit apparaissant dans la représentation binaire de la valeur
d'un coefficient dont les
coordonnées appartiennent à $\{(3,1),(2,2),(1,3)\}$ et qui n'est pas un des trois
bits de poids faible de cette représentation,
-\item -1 si c'est un bit appraissant dans la représentation binaire
+\item -1 si c'est un bit apparaissant dans la représentation binaire
de la valeur d'un coefficient dont les
coordonnées appartiennent à $\{(3,1),(2,2),(1,3)\}$ et qui est un des
- des trois bits de poids faible de cette valeur,
+ trois bits de poids faible de cette valeur,
\item 0 sinon.
\end{itemize}
Le choix de l'importance de chaque coefficient est défini grâce aux seuils
$(m,M)=(-0.5,0.5)$
-permetant d'engendrer les MSBs, LSBs, et bits passifs.
+permettant d'engendrer les MSBs, LSBs, et bits passifs.
\subsection{Fonction de signification pour l'embarquement dans les DWT}
-On considère un hôte dnas le domaine des DWT. La fonction de signification
+On considère un hôte dans le domaine des DWT. La fonction de signification
se concentre sur les seconds niveaux de détail (\textit{i.e.}, LH2, HL2 et HH2).
Pour chaque bit, on dit qu'il est peu significatif si c'est un des trois bits de
poids faible d'un coefficient de LH2, HL2 ou de HH2.
la fonction de signification $u$ associe
\begin{itemize}
-\item 1 si c'est un bit appraissant dans la représentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LL2,
-\item 1 si c'est un bit appraissant dans la représentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LH2, HL2, HH2 et qui n'est pas un des trois
+\item 1 si c'est un bit apparaissant dans la représentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LL2,
+\item 1 si c'est un bit apparaissant dans la représentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LH2, HL2, HH2 et qui n'est pas un des trois
bits de poids faible de cette représentation,
-\item 1 si c'est un bit appraissant dans la représentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LH2, HL2, HH2 et qui est un des trois
+\item 0 si c'est un bit apparaissant dans la représentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LH2, HL2, HH2 et qui est un des trois
bits de poids faible de cette représentation,
-\item 0 sinon.
+\item -1 sinon.
\end{itemize}
Le choix de l'importance de chaque coefficient est encore défini grâce aux seuils
$(m,M)=(-0.5,0.5)$
-permetant d'engendrer les MSBs, LSBs, et bits passifs.
+permettant d'engendrer les MSBs, LSBs, et bits passifs.
\subsection{Etude de robustesse}
Cette partie synthétise une étude de robustesse de la démarche présentée ci-avant.
Dans ce qui suit, {dwt}(neg),
{dwt}(fl), {dct}(neg), {dct}(fl)
-correpondent respectivement aux embarquements en fréquenciel
+correspondant respectivement aux embarquements en fréquentiels
dans les domaines DWT et DCT
avec le mode de négation et celui issu de la fonction $f_l$
-détaillé à l'équation~\ref{eq:fqq}.
+détaillée à l'équation~\ref{eq:fqq}.
A chaque série d'expériences, un ensemble de 50 images est choisi aléatoirement
de la base du concours BOSS~\cite{Boss10}. Chaque hôte est une image
en $512\times 512$ en niveau de gris et la marque $y$ est une suite de
4096 bits.
-La resistance à la robustesse est évaluée en appliquant successivement
+La résistance à la robustesse est évaluée en appliquant successivement
sur l'image marquée des attaques de découpage, de compression, de
transformations géométriques.
Si les différences entre $\hat{y}$ and $\varphi_m(z)$.
-sont en desous d'un seuil(que l'on définit),
+sont en dessous d'un seuil (que l'on définit),
l'image est dite marquée (et non marquée dans le cas contraire).
-Cette différence exprimée en pourcentage est rappellée pour chacune des ataques
+Cette différence exprimée en pourcentage est rappelée pour chacune des attaques
à la figure~\ref{fig:atq:dhc}.
\subfigure[Compression JPEG 2000]{
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-jp2}\label{Fig:atq:jp2:curves}
}
- \subfigure[Modification du contrast]{
+ \subfigure[Modification du contraste]{
% \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-contrast.pdf}\label{Fig:atq:cont:curve}}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-contrast}\label{Fig:atq:cont:curve}
}
\end{figure}
-\subsection{Evaluation de l'embarquement}\label{sub:roc}
+\subsection{Évaluation de l'embarquement}\label{sub:roc}
Pour évaluer le seuil qui permet de dire avec la plus grande précision
si une image est marquée ou non, nous avons appliqué la démarche suivante.
A partir d'un ensemble de 100 images du challenge BOSS, les trois
ensembles suivants sont construits: celui des images marquées $W$,
-celui contenant des imges marquées puis attaquée $\textit{WA}$,
-et celui des images uniquement attaquées $A$. Les attaques sont choisiés parmi
+celui contenant des images marquées puis attaquée $\textit{WA}$,
+et celui des images uniquement attaquées $A$. Les attaques sont choisies parmi
celles données ci dessus.
Pour chaque entier $t$ entre 5 et 55
Pour les deux modes dans le domaine DCT,
la détection est optimale pour le seuil de 44\%
(correspondant aux points (0.05, 0.18) et (0.05, 0.28)).
-On peut alors donner des intervales de confiance pour les attaques évaluées.
-L'approche est résistante à:
+On peut alors donner des intervalles de confiance pour les attaques évaluées.
+L'approche est résistante:
\begin{itemize}
-\item tous les découpages où le pourcentage est inférieur à 85\%;
-\item les compression dont le ratio est supérieur à 82\% dans le domaine
+\item à tous les découpages où le pourcentage est inférieur à 85\%;
+\item aux compression dont le ratio est supérieur à 82\% dans le domaine
DWT et 67\% dans celui des DCT;
-\item les modifications du contraste lorsque le renforcement est dans
+\item aux modifications du contraste lorsque le renforcement est dans
$[0.76,1.2]$ dans le domaine DWT et $[0.96,1.05]$ dans le domaine DCT;
-\item toutes les rotations dont l'angle est inférieur à 20 degrés dans le domaine DCT et
+\item à toutes les rotations dont l'angle est inférieur à 20 degrés dans le domaine DCT et
celles dont l'angle est inférieur à 13 degrés dans le domaine DWT.
\end{itemize}
+
+\section{Embarquons davantage qu'1 bit}\label{sec:watermarking:extension}
+L'algorithme présenté dans les sections précédentes
+ne permet de savoir, \textit{in fine},
+que si l'image est marquée ou pas. Cet algorithme ne permet pas
+de retrouver le contenu de la marque à partir de l'image marquée.
+C'est l'objectif de l'algorithme présenté dans cette section et introduit
+dans~\cite{fgb11:ip}.
+Pour des raisons de lisibilité, il n'est pas
+présenté dans le formalisme de la première section et
+est grandement synthétisé.
+Il a cependant été prouvé comme étant chaos-sécure~\cite{fgb11:ip}.
+
+
+
+Commençons par quelques conventions de notations:
+\begin{itemize}
+\item $\mathbb{S}_\mathsf{k}$ est l'ensemble des stratégies unairesx sur $[k]$;
+\item $m^0 \in \mathbb{B}^{\mathsf{P}}$ est un vecteur de $\mathsf{P}$ bits
+ représentant la marque;
+\item comme précédemment,
+ $x^0 \in \mathbb{B}^\mathsf{N}$ est le vecteurs des
+ $\mathsf{N}$ bits sélectionnés où la marque est embarquée.
+ \item $S_p \in \mathbb{S}_\mathsf{N}$
+ est la \emph{stratégie de place} et définit quel
+ élément de $x$ est modifié à chaque itération;
+ \item $S_c \in \mathbb{S}_\mathsf{P}$ est la \textbf{stratégie de choix}
+ qui définit quel indice du vecteur de marque est embarqué à chaque
+ itération;
+ \item $S_m \in \mathbb{S}_\mathsf{P}$ est la \textbf{stratégie de mélange}
+ qui précise quel élément de la marque est inversé à chaque itération.
+\end{itemize}
+
+% In what follows, $x^0$ and $m^0$ are sometimes replaced by
+% $x$ and $m$ for the sake of brevity,
+% when such abridge does not introduce confusion.
+
+
+% \subsection{The $\CID$ scheme}\label{sub:ci2:scheme}
+Le processus itératif modifiant $x$ est défini comme suit.
+Pour chaque $(n,i,j) \in
+\mathds{N}^{\ast} \times \llbracket 0;\mathsf{N}-1\rrbracket \times \llbracket
+0;\mathsf{P}-1\rrbracket$, on a:
+\begin{equation*}
+\left\{
+\begin{array}{l}
+x_i^n=\left\{
+\begin{array}{ll}
+x_i^{n-1} & \text{ si }S_p^n\neq i \\
+m_{S_c^n}^{n-1} & \text{ si }S_p^n=i.
+\end{array}
+\right.
+\\
+\\
+m_j^n=\left\{
+\begin{array}{ll}
+m_j^{n-1} & \text{ si }S_m^n\neq j \\
+ & \\
+\overline{m_j^{n-1}} & \text{ si }S_m^n=j.
+\end{array}
+\right.
+\end{array}
+\right.
+\end{equation*}
+%\end{Def}
+\noindent où $\overline{m_j^{n-1}}$ est la négation booléenne de $m_j^{n-1}$.
+On impose de plus la contrainte suivante.
+Soit $\Im(S_p) = \{S^1_p, S^2_p, \ldots, S^l_p\}$
+l'ensemble de cardinalité $k \leq l$ (les doublons sont supprimés).
+qui contient la liste des indices $i$, $1 \le i \le p$,
+tels que $x_i$ a été modifié.
+On considère $\Im(S_c)_{|D}= \{S^{d_1}_c, S^{d_2}_c, \ldots, S^{d_k}_c\}$
+où
+$d_i$ est la dernière date où l'élément $i \in \Im(S_p)$ a été modifié.
+Cet ensemble doit être égal à $\llbracket 0 ;\mathsf{P} -1 \rrbracket$.
+
+Pour peu que l'on sache satisfaire la contrainte précédente,
+on remplace $x $ par $x^l \in \mathbb{B}^{\mathsf{N}}$ dans
+l'hôte et on obtient un contenu marqué.
+
+
+Sans attaque, le schéma doit garantir qu'un utilisateur qui dispose des bonnes
+clefs de création des stratégies est capable d'extraire une marque et que
+celle-ci est la marque insérée.
+Ceci correspond respectivement aux propriétés de complétude et de correction
+de l'approche.
+L'étude de ces propriétés est l'objectif de la section qui suit.
+
+
+
+
+
+
+\subsection{Correction et complétude du schéma}\label{sub:ci2:discussion}
+
+On ne donne ici que le théorème. La preuve est placée en annexes~\ref{anx:preuve:marquage:correctioncompletue}.
+
+\begin{restatable}[Correction et complétude du marquage]{theorem}{marquagecorrectioncompl}
+La condition de l'algorithme de marquage est nécessaire et suffisante
+pour permettre l'extraction du message du média marqué.
+\end{restatable}
+
+Sous ces hypothèse, on peut donc extraire un message.
+De plus, le cardinal $k$ de
+$\Im(S_p)$ est supérieur ou égal à $\mathsf{P}$.
+Ainsi le bit $j$ du message original $m^0$ peut être
+embarqué plusieurs fois dans $x^l$.
+Or, en comptant le nombre de fois où ce bit a été inversé dans
+$S_m$, la valeur de $m_j$ peut se déduire en plusieurs places.
+Sans attaque, toutes ces valeurs sont identiques
+et le message est obtenu immédiatement.
+Si attaque il y a, la valeur de $m_j$ peut s'obtenir en prenant la valeur
+moyenne de toutes les valeurs obtenues.
+
+\subsection{Détecter si le média est marqué}\label{sub:ci2:distances}
+On considère un média $y$ marqué par un message $m$.
+Soit $y'$ une version altérée de $y$, c.-à-d. une version
+où certains bits ont été modifiés et soit
+$m'$ le message extrait de $y'$.
+
+Pour mesurer la distance entre $m'$ et $m$, on
+considère respectivement
+$M$ et $M'$ l'ensemble des indices de $m$ et de $m'$
+où $m_i$ vaut 1 et ou $m'_1$ vaut 1.
+
+Beaucoup de mesures de similarité~\cite{yule1950introduction,Anderberg-Cluster-1973,Rifqi:2000:DPM:342947.342970}, dépendent des ensembles
+$a$, $b$, $c$ et $d$ définis par
+$a = |M \cap M' |$,
+$b = |M \setminus M' |$,
+$c = |M' \setminus M|$ et
+$d = |\overline{M} \cap \overline{M'}|$
+
+Selon ~\cite{rifq/others03} la mesure de Fermi-Dirac $S_{\textit{FD}}$
+est celle dont le pouvoir de discrimination est le plus fort,
+c.-à-d. celle qui permet la séparation la plus forte entre des vecteurs
+corrélés et des des vecteurs qui ne le sont pas.
+La distance entre $m$ et $m'$ est construite selon cette mesure
+et produit un réel dans $[0;1]$. Si elle est inférieure à un certain
+seuil (à définir), le média $y'$ est déclaré
+comme marqué et le message doit pouvoir être extrait.
+
+\subsection{Etude de robustesse}\label{sec:watermarking:robustesse}
+La méthode d'expérimentation de robustesse appliquée à la section précédente
+pourrait être réappliquée ici et nous pourrions obtenir, grâce aux courbes de
+ROC une valeur seuil pour déterminer si une marque est présente ou pas.
+Dans~\cite{bcfg+13:ip}, nous n'avons cependant pas poussé
+la démarche plus loin que dans la direction de l'embarquement
+dans les bits de poids faible en spatial et l'on sait que ceci est
+particulièrement peu robuste.
+
+
+\section{Conclusion}
+Grâce à la formalisation du processus de watermarking par itérations discrètes, nous avons pu dans ce chapitre montrer que le processus possédait les propriétés
+attendues, à savoir stego-sécurité, chaos sécurité et une robustesse relative.
+Pour étendre le champ applicatif, nous avons proposé un second algorithme
+permettant de particulariser la marque à embarquer et donc à extraire.
+Le chapitre suivant s'intéresse au marquage, mais dans un autre domaine que celui des images.
+
