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 \JFC{Dire que c'est une synthèse du chapitre 22 de la thèse de Tof}
 \JFC{Dire que c'est une synthèse du chapitre 22 de la thèse de Tof}
+\JFC{Dire qu'on est d'abord binaire, puisqu'on étend ceci à un message
+récupérable}
+
 
 This section has focused on security with regards to probabilistic behaviors. 
 Next section studies it in the perspective of topological ones.
 
 
 
 
 This section has focused on security with regards to probabilistic behaviors. 
 Next section studies it in the perspective of topological ones.
 
 
 
-\section{Processus de marquage}
+\section{Processus de marquage binaire}
 
 Par la suite, le message numérique qu'on cherche à embarquer est 
 noté $y$ et le support dans lequel se fait l'insertion est noté $x$. 
 
 Par la suite, le message numérique qu'on cherche à embarquer est 
 noté $y$ et le support dans lequel se fait l'insertion est noté $x$. 
@@ -465,3 +468,155 @@ L'approche est résistante à:
   celles dont l'angle est inférieur à 13 degrés dans le domaine DWT.
 \end{itemize}
 
   celles dont l'angle est inférieur à 13 degrés dans le domaine DWT.
 \end{itemize}
 
+
+\section{Embarquons d'avantage qu'1 bit}
+L'algorithme présenté dans les sections précédentes
+ne  permet de savoir, \textit{in fine}, 
+que si l'image est marquée ou pas. Cet algorithme ne permet pas
+de retrouver le contenu de la marque à partir de l'image marquée.
+C'est l'bjectif de l'algorithme présenté dans cette section et introduit 
+dans~\cite{fgb11:ip}.
+On des raisons de lisibilité, il n'est pas 
+présenté pas dans le formalisme de la première section et
+est grandement synthétisé.
+Il a cependant été prouvé comme étant chaos-sécure~\cite{fgb11:ip}.
+
+
+
+Commençons par quelques conventions de notations: 
+\begin{itemize}
+\item $\mathbb{S}_\mathsf{k}$ est l'ensemble des stratégies unaire sur $[k]$;
+\item $m^0 \in \mathbb{B}^{\mathsf{P}}$ est un vecteur de $\mathsf{P}$ bits
+  représentant la marque;
+\item comme précédement, 
+  $x^0 \in \mathbb{B}^\mathsf{N}$ est le vecteurs des
+   $\mathsf{N}$ bits sélectionnés où la marque est embarquée.
+ \item $S_p \in \mathbb{S}_\mathsf{N}$ 
+   est la \emph{stratégie de place} et définit quel 
+   élément de $x$ est modifié à chaque itération;
+  \item $S_c \in \mathbb{S}_\mathsf{P}$ est la \textbf{stratégie de  choix}
+    qui définit quel indice du vecteur de marque est embarqué à chaque 
+    itération;
+  \item $S_m \in \mathbb{S}_\mathsf{P}$ est la \textbf{stratégie de mélange}
+    qui précise quel élément de la marque est inversé à chaque itération.
+\end{itemize}
+
+% In what follows, $x^0$ and $m^0$ are sometimes replaced by
+% $x$ and $m$ for the sake of brevity, 
+% when such abridge does not introduce confusion. 
+
+
+% \subsection{The $\CID$ scheme}\label{sub:ci2:scheme}
+Le processus itératif modifiant $x$ est défini comme suit.
+Pour chaque $(n,i,j) \in  
+\mathds{N}^{\ast} \times \llbracket 0;\mathsf{N}-1\rrbracket \times \llbracket
+0;\mathsf{P}-1\rrbracket$, on a:
+\begin{equation*}
+\left\{
+\begin{array}{l}
+x_i^n=\left\{
+\begin{array}{ll}
+x_i^{n-1} & \text{ if }S_p^n\neq i \\
+m_{S_c^n}^{n-1} & \text{ if }S_p^n=i.
+\end{array}
+\right.
+\\
+\\
+m_j^n=\left\{
+\begin{array}{ll}
+m_j^{n-1} & \text{ if }S_m^n\neq j \\
+ & \\
+\overline{m_j^{n-1}} & \text{ if }S_m^n=j.
+\end{array}
+\right.
+\end{array}
+\right.
+\end{equation*}
+%\end{definition}
+\noindent où $\overline{m_j^{n-1}}$ est la négation booléenne de $m_j^{n-1}$.
+On impose de plus la contrainte suivante.
+Soit $\Im(S_p) = \{S^1_p, S^2_p, \ldots,  S^l_p\}$ 
+l'ensemble de cardinalité $k \leq l$ (les doublons sont supprimés).  
+qui contient la liste des indices $i$, $1 \le i \le p$,
+tels que $x_i$ a été modifié.
+On considère $\Im(S_c)_{|D}= \{S^{d_1}_c, S^{d_2}_c, \ldots,  S^{d_k}_c\}$
+où  
+$d_i$ est la dernière date où l'élément $i \in \Im(S_p)$ a été modifié.   
+Cet ensemble doit être égal à $\llbracket 0 ;\mathsf{P} -1 \rrbracket$.
+
+Pour peu que l'on sache satisfaire la contrainte précédente,
+on remplace $x $ par $x^l \in \mathbb{B}^{\mathsf{N}}$ dans
+l'hôte et on obtient un contenu marqué.
+
+
+Sans attaque, le schéma doit garantir qu'un utilisateur qui dispose des bonnes 
+clefs de création des stratégies est capable d'extraire une marque et que 
+celle-ci est la marque insérée.
+Ceci correspond respectivement aux propriétés de complétudes et de correction
+de l'approche.
+L'étude de ces propriétés est l'objectif de la section qui suit.
+
+
+
+
+
+
+\subsection{Correction et complétude du schéma}\label{sub:ci2:discussion}
+
+On ne donne ici que le théorème. La preuve est placée en annexes~\ref{anx:preuve:marquage:correctioncompletue}.
+
+\begin{theorem}
+La condition de l'algorithme de marquage est nécressaire et suffisante
+pour permettre l'extraction du message du média marqué.
+\end{theorem}
+
+Sous ces hypothèes, on peut donc extraire un message.
+De plus,  le cardinal $k$ de  
+$\Im(S_p)$ est supérieur ou égal à  $\mathsf{P}$.
+Ainsi le bit  $j$ du message original $m^0$ peut être 
+embarqué plusieur fois dans $x^l$. 
+Or, en compte le nombrede fois où ce  bit a été inversé dans 
+$S_m$, la valeur de $m_j$ peut se déduire en plusieurs places. 
+Sans attaque, toutes ces valeurs sont identiques 
+et le messageest obtenus immédiatement.
+Si attaque il y a, la valeur de $m_j$ peut s'obtenir en prenant la valeur 
+moyenne de toutes les valeurs obtenues. On a donc la correction et la complétude.
+
+\subsection{Détecter si le média est marqué}\label{sub:ci2:distances}
+On considère un média $y$ marqué par un message $m$. 
+Soit $y'$ une version altérée de $y$, c.-à-d. une version  
+où certains bits on été modifiés et soit
+$m'$ le message extrait de from $y'$. 
+
+Pour mesurer la distance entre $m'$ et $m$, on 
+considère repsectivement 
+$M$ et $M$ l'ensemble des indices de $m$ et de $m'$ 
+où $m_i$ vaut 1 et ou $m'_1$ vaut 1.
+
+Beaucoup de mesures de similarité~\cite{yule1950introduction,Anderberg-Cluster-1973,Rifqi:2000:DPM:342947.342970}, dépendent des ensembles
+$a$, $b$, $c$ et $d$ définis par
+$a = |M \cap M' |$, 
+$b = |M \setminus M' |$,
+$c = |M' \setminus M|$, and
+$d = |\overline{M} \cap \overline{M'}|$
+
+Selon ~\cite{rifq/others03} la mesure de Fermi-Dirac $S_{\textit{FD}}$
+est celle dont le pouvoir de discrimination est le plus fort, 
+c.-à-d. celui qui permet la séparation la plus forte entre des vecteurs 
+corrélés et des ceux qui ne le sont pas.
+La distance entre $m$ et $m'$ est construite selon cette mesure 
+et produit un réel dans $[0;1]$. Si elle est inférieure à un certain 
+seuil (à définir), le média $y'$ est declaré 
+comme marqué et le message doit pouvoir être extrait.
+
+\section{Etude de robustesse} 
+La méthode d'expérimentation de robustesse appliquée à la section précédente 
+pourrait être réappliquée ici et nous pourrions obtenir, grâce aux courbes de 
+ROC une valeur seuil pour déterminer si une marque est présente ou pas.
+
+Nous n'avons cependant pas poussé la démarche plus loin que de l'embarquement 
+dans les bits de poids faible en spatial et l'on sait que ceci est 
+particulièrement peu robuste. Il reste ainsi à combiner cette approche avec 
+une sélection appropriés des bits à modifier pour qu'elle devienne intéressante.
+
+