-\begin{theorem}\label{th:stego}
-Soit $\epsilon$ un nombre positif,
-$l$ un nombre de LSBs,
-$X \sim \mathbf{U}\left(\mathbb{B}^l\right)$,
-un adapteur de stratégie uniformémement distribué indépendant de $X$
-$f_l$ un mode tel que
-$\textsc{giu}(f_l)$ est fortement connexe et la
-matrice de Markov associée à $f_l$ est doublement stochastique.
-Il existe un nombre $q$ d'itérations tel que
-$|p(Y|K)- p(X)| < \epsilon$.
-\end{theorem}
+Prouvons le théorème suivant.
+\theoremstegoscureepsilon*
\begin{proof}
-Let $\textit{deci}$ be the bijection between $\Bool^{l}$ and
-$\llbracket 0, 2^l-1 \rrbracket$ that associates the decimal value
-of any binary number in $\Bool^{l}$.
-The probability $p(X^t) = (p(X^t= e_0),\dots,p(X^t= e_{2^l-1}))$ for $e_j \in \Bool^{l}$ is thus equal to
-$(p(\textit{deci}(X^t)= 0,\dots,p(\textit{deci}(X^t)= 2^l-1))$ further denoted by $\pi^t$.
-Let $i \in \llbracket 0, 2^l -1 \rrbracket$,
-the probability $p(\textit{deci}(X^{t+1})= i)$ is
+Soit $\textit{deci}$ la bijection
+entre $\Bool^{l}$ et
+$\llbracket 0, 2^l-1 \rrbracket$ qui associe la valeur décimale
+à chaque nombre binaire dans $\Bool^{l} $.
+La probabilité $p(X^t) = (p(X^t= e_0),\dots,p(X^t= e_{2^l-1}))$ pour $e_j \in \Bool^{l}$ est égale à
+$(p(\textit{deci}(X^t)= 0,\dots,p(\textit{deci}(X^t)= 2^l-1))$, notée par la suite $\pi^t$.
+Pour $i \in \llbracket 0, 2^l -1 \rrbracket$,
+la probabilité $p(\textit{deci}(X^{t+1})= i)$ est
\[
\sum\limits^{2^l-1}_{j=0}
\sum\limits^{l}_{k=1}
p(\textit{deci}(X^{t}) = j , S^t = k , i =_k j , f_k(j) = i_k )
\]
\noindent
-where $ i =_k j $ is true iff the binary representations of
-$i$ and $j$ may only differ for the $k$-th element,
-and where
-$i_k$ abusively denotes, in this proof, the $k$-th element of the binary representation of
+où $ i =_k j $ est vraie si et seulement si les représentations binaires de
+$i$ et de $j$ ne diffèrent que pour le $k^{\textrm{ème}}$ élément et
+où
+$i_k$ représente dans cette preuve le $k^{\textrm{ème}}$ élément dans la représentation binaire
+du nombre
$i$.
-Next, due to the proposition's hypotheses on the strategy,
-$p(\textit{deci}(X^t) = j , S^t = k , i =_k j, f_k(j) = i_k )$ is equal to
+En raison des hypothèses sur la stratégie, la probabilité
+$p(\textit{deci}(X^t) = j , S^t = k , i =_k j, f_k(j) = i_k )$ est égale à
$\frac{1}{l}.p(\textit{deci}(X^t) = j , i =_k j, f_k(j) = i_k)$.
-Finally, since $i =_k j$ and $f_k(j) = i_k$ are constant during the
-iterative process and thus does not depend on $X^t$, we have
+Enfin, puisque $i =_k j$ et $f_k(j) = i_k$ sont constants
+et sont donc indépendants de $X^t$, on a
\[
\pi^{t+1}_i = \sum\limits^{2^l-1}_{j=0}
\pi^t_j.\frac{1}{l}
p(i =_k j, f_k(j) = i_k ).
\]
-Since
+Puisque
$\frac{1}{l}
\sum\limits^{l}_{k=1}
p(i =_k j, f_k(j) = i_k )
-$ is equal to $M_{ji}$ where $M$ is the Markov matrix associated to
- $f_l$ we thus have
+$ est égal à $M_{ji}$ où $M$ est la matrice de Markov associée à
+ $f_l$, on a ainsi
\[
\pi^{t+1}_i = \sum\limits^{2^l-1}_{j=0}
-\pi^t_j. M_{ji} \textrm{ and thus }
+\pi^t_j. M_{ji} \textrm{ et donc }
\pi^{t+1} = \pi^{t} M.
\]
% The calculus of $p(X^{t+1} = e)$ is thus equal to
% $\pi^{t+1}_i$.
-First of all,
-since the graph $\Gamma(f)$ is strongly connected,
-then for all vertices $i$ and $j$, a path can
-be found to reach $j$ from $i$ in at most $2^l$ steps.
-There exists thus $k_{ij} \in \llbracket 1, 2^l \rrbracket$ s.t.
+Maintenant, puisque le graphe $\Gamma(f)$ est fortement connexe,
+pour chaque couple de sommets $(i,j)$, un chemin peut être trouvé de $i$ jusqu'à $j$
+de longueur au plus égale à $2^l$.
+Il existe donc $k_{ij} \in \llbracket 1, 2^l \rrbracket$ t.q.
${M}_{ij}^{k_{ij}}>0$.
-As all the multiples $l \times k_{ij}$ of $k_{ij}$ are such that
-${M}_{ij}^{l\times k_{ij}}>0$,
-we can conclude that, if
-$k$ is the least common multiple of $\{k_{ij} \big/ i,j \in \llbracket 1, 2^l \rrbracket \}$ thus
-$\forall i,j \in \llbracket 1, 2^l \rrbracket, {M}_{ij}^{k}>0$ and thus
-$M$ is a regular stochastic matrix.
+
+Comme tous les multiples $l \times k_{ij}$ de $k_{ij}$ sont tels que
+${M}_{ij}^{l\times k_{ij}}>0$, on peut conclure que si
+$k$ est le PPCM de $\left\{k_{ij} \big/ i,j \in \llbracket 1, 2^l \rrbracket \right\}$ alors
+$\forall i,j \in \llbracket 1, 2^l \rrbracket, {M}_{ij}^{k}>0$ et donc
+$M$ est une matrice stochastique régulière.
+
-Let us now recall the following stochastic matrix theorem:
-\begin{theorem}[Stochastic Matrix]
- If $M$ is a regular stochastic matrix, then $M$
- has an unique stationary probability vector $\pi$. Moreover,
- if $\pi^0$ is any initial probability vector and
- $\pi^{t+1} = \pi^t.M $ for $t = 0, 1,\dots$ then the Markov chain $\pi^t$
- converges to $\pi$ as $t$ tends to infinity.
+\begin{theorem}
+ Si $M$ est une matrice stochastique régulière, alors $M$
+ possède un unique vecteur stationnaire de probabilités $\pi$
+ ($\pi.M = \pi$).
+ De plus, si $\pi^0$ est un vecteur de probabilité
+ et si on définit
+ la suite $(\pi^{k})^{k \in \Nats}$ par
+ $\pi^{k+1} = \pi^k.M $ pour $k = 0, 1,\dots$
+ alors la chaîne de Markov $\pi^k$
+ converge vers $\pi$ lorsque $k$ tend vers l'infini.
\end{theorem}
-Thanks to this theorem, $M$
-has an unique stationary probability vector $\pi$.
-By hypothesis, since $M$ is doubly stochastic we have
+Grâce à ce théorème, $M$ admet un unique vecteur stationnaire de probabilité $\pi$.
+Par hypothèses, puisque $M$ est doublement stochastique, on a
$(\frac{1}{2^l},\dots,\frac{1}{2^l}) = (\frac{1}{2^l},\dots,\frac{1}{2^l})M$
-and thus $\pi = (\frac{1}{2^l},\dots,\frac{1}{2^l})$.
-Due to the matrix theorem, there exists some
-$q$ s.t.
-$|\pi^q- \pi| < \epsilon$
-and the proof is established.
-Since $p(Y| K)$ is $p(X^q)$ the method is then $\epsilon$-stego-secure
-provided the strategy-adapter is uniformly distributed.
+et donc $\pi = (\frac{1}{2^l},\dots,\frac{1}{2^l})$.
+Il existe donc $q$ t.q.
+$|\pi^q- \pi| < \epsilon$.
+Puisque $p(Y| K)$ est $p(X^q)$, la méthode est donc $\epsilon$-stégo-sécure
+pour peu que l'adapteur de stratégie soit uniformément distribué.
\end{proof}
