-On considère le mode
+On considère le mode
$f_l: \Bool^l \rightarrow \Bool^l$ t.q. le $i^{\textrm{ème}}$ composant
est défini par
\begin{equation}
{f_l}(x)_i =
\left\{
\begin{array}{l}
-\overline{x_i} \textrm{ if $i$ is odd} \\
-x_i \oplus x_{i-1} \textrm{ if $i$ is even}
+\overline{x_i} \textrm{ si $i$ est impair} \\
+x_i \oplus x_{i-1} \textrm{ si $i$ est pair}
\end{array}
\right.
-\end{equation}\label{eq:fqq}
+\tag{\eqref{eq:fqq}}
+\end{equation}
-Prouvons que la matrice de Markov associée est doublement stochastique.
-the Markov chain is stochastic by construction.
+Prouvons que la matrice de Markov associée est doublement stochastique par induction
+sur la longueur $l$.
+Pour $l=1$ et $l=2$ la preuve est évidente.
+Considérons que le résultat est établi jusqu'à $l=2k$ avec $k \in \Nats$.
-Let us prove that its Markov chain is doubly stochastic by induction on the
-length $l$.
-For $l=1$ and $l=2$ the proof is obvious. Let us consider that the
-result is established until $l=2k$ for some $k \in \Nats$.
-
-Let us then firstly prove the doubly stochasticity for $l=2k+1$.
-Following notations introduced in~\cite{bcgr11:ip},
-Let $\textsc{giu}(f_{2k+1})^0$ and $\textsc{giu}(f_{2k+1})^1$ denote
-the subgraphs of $\textsc{giu}(f_{2k+1})$ induced by the subset $\Bool^{2k} \times\{0\}$
-and $\Bool^{2k} \times\{1\}$ of $\Bool^{2k+1}$ respectively.
-$\textsc{giu}(f_{2k+1})^0$ and $\textsc{giu}(f_{2k+1})^1$ are isomorphic to $\textsc{giu}(f_{2k})$.
-Furthermore, these two graphs are linked together only with arcs of the form
-$(x_1,\dots,x_{2k},0) \to (x_1,\dots,x_{2k},1)$ and
+On montre d'abord que la double stochasticité est établie pour $l=2k+1$.
+En suivant les notations introduites à la section~\ref{anx:sccg}, soit
+$\textsc{giu}(f_{2k+1})^0$ et $\textsc{giu}(f_{2k+1})^1$ les sous-graphes
+de $\textsc{giu}(f_{2k+1})$ induits par les ensembles $\Bool^{2k} \times\{0\}$
+et $\Bool^{2k} \times\{1\}$ de $\Bool^{2k+1}$ respectivement.
+Les graphes $\textsc{giu}(f_{2k+1})^0$ et $\textsc{giu}(f_{2k+1})^1$ sont isomorphes à $\textsc{giu}(f_{2k})$.
+De plus, ils ne sont liés dans $\textsc{giu}(f_{2k+1})$ que par
+des arcs de la forme
+$(x_1,\dots,x_{2k},0) \to (x_1,\dots,x_{2k},1)$ et
$(x_1,\dots,x_{2k},1) \to (x_1,\dots,x_{2k},0)$.
-In $\textsc{giu}(f_{2k+1})$ the number of arcs whose extremity is $(x_1,\dots,x_{2k},0)$
-is the same than the number of arcs whose extremity is $(x_1,\dots,x_{2k})$
-augmented with 1, and similarly for $(x_1,\dots,x_{2k},1)$.
-By induction hypothesis, the Markov chain associated to $\textsc{giu}(f_{2k})$ is doubly stochastic. All the vertices $(x_1,\dots,x_{2k})$ have thus the same number of
-ingoing arcs and the proof is established for $l$ is $2k+1$.
+Dans $\textsc{giu}(f_{2k+1})$, deux sortes d'arcs pointent vers $(x_1,\dots,x_{2k},0)$.
+Ceux qui sont de la forme $(y_1,\dots,y_{2k},0)$, où un seul des $y_i$ est différent de $x_i$,
+et leur nombre est celui des arcs qui pointent vers $(x_1,\dots,x_{2k})$ dans $\textsc{giu}(f_{2k})$.
+L'arc $(x_1,\dots,x_{2k},0) \to (x_1,\dots,x_{2k},0)$ qui existe d'après la définition de $f_l$.
+De même pour le nombre d'arcs dont l'extrémité est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},1)$.
+Par hypothèse d'induction, la chaîne de Markov associée à $\textsc{giu}(f_{2k})$
+est doublement stochastique.
+Ainsi tous les sommets $(x_1,\dots,x_{2k})$ ont le même nombre d'arcs entrants et la preuve est établie pour $l= 2k+1$.
-Let us then prove the doubly stochasticity for $l=2k+2$.
-The map $f_l$ is defined by
-$f_l(x)= (\overline{x_1},x_2 \oplus x_{1},\dots,\overline{x_{2k+1}},x_{2k+2} \oplus x_{2k+1})$.
-With previously defined notations, let us focus on
-$\textsc{giu}(f_{2k+2})^0$ and $\textsc{giu}(f_{2k+2})^1$ which are isomorphic to $\textsc{giu}(f_{2k+1})$.
-Among configurations of $\Bool^{2k+2}$, only four suffixes of length 2 can be
-obviously observed, namely, $00$, $10$, $11$ and $01$.
-Since
+Montrons à présent la double stochasticité pour $l=2k+2$.
+La fonction $f_l$ est définie par $f_l(x)= (\overline{x_1},x_2 \oplus x_{1},\dots,\overline{x_{2k+1}},x_{2k+2} \oplus x_{2k+1})$. On se concentre sur
+$\textsc{giu}(f_{2k+2})^0$ et $\textsc{giu}(f_{2k+2})^1$ qui sont isomorphes à $\textsc{giu}(f_{2k+1})$.
+Parmi les configurations de $\Bool^{2k+2}$, seuls quatre suffixes de longueur 2 peuvent apparaître:
+$00$, $10$, $11$ et $01$.
+Puisque
$f_{2k+2}(\dots,0,0)_{2k+2}=0$, $f_{2k+2}(\dots,1,0)_{2k+2}=1$,
-$f_{2k+2}(\dots,1,1)_{2k+2}=0$ and $f_{2k+2}(\dots,0,1)_{2k+2}=1$, the number of
-arcs whose extremity is
+$f_{2k+2}(\dots,1,1)_{2k+2}=0$ et $f_{2k+2}(\dots,0,1)_{2k+2}=1$, le nombre d'arcs dont les extrémités sont
\begin{itemize}
\item $(x_1,\dots,x_{2k},0,0)$
- is the same than the one whose extremity is $(x_1,\dots,x_{2k},0)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$ augmented with 1 (loop over configurations $(x_1,\dots,x_{2k},0,0)$).
+est le même que celui dont l'extrémité est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},0)$ dans $\textsc{giu}(f_{2k+1})$
+ auquel on ajoute 1 (une boucle autour des configurations $(x_1,\dots,x_{2k},0,0)$);
\item $(x_1,\dots,x_{2k},1,0)$
- is the same than the one whose extremity is $(x_1,\dots,x_{2k},0)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$ augmented with 1 (arc from configurations
-$(x_1,\dots,x_{2k},1,1)$ to configurations
-$(x_1,\dots,x_{2k},1,0)$)
+est le même que celui dont l'extrémité est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},0)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$
+ auquel on ajoute 1 (l'arc entre les configurations $(x_1,\dots,x_{2k},1,1)$ et les configurations
+$(x_1,\dots,x_{2k},1,0)$);
\item $(x_1,\dots,x_{2k},0,1)$
- is the same than the one whose extremity is $(x_1,\dots,x_{2k},0)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$ augmented with 1 (loop over configurations $(x_1,\dots,x_{2k},0,1)$).
+est le même que celui dont l'extrémité est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},0)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$
+ auquel on ajoute 1 (une boucle autour des configurations $(x_1,\dots,x_{2k},0,1)$);
\item $(x_1,\dots,x_{2k},1,1)$
- is the same than the one whose extremity is $(x_1,\dots,x_{2k},1)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$ augmented with 1 (arc from configurations
-$(x_1,\dots,x_{2k},1,0)$ to configurations
+est le même que celui dont l'extrémité est de la forme $(x_1,\dots,x_{2k},1)$ in $\textsc{giu}(f_{2k+1})$
+auquel on ajoute 1 (l'arc entre les configurations
+$(x_1,\dots,x_{2k},1,0)$ et les configurations
$(x_1,\dots,x_{2k},1,1)$).
\end{itemize}
-Thus all the vertices $(x_1,\dots,x_{2k})$ have the same number of
-ingoing arcs and the proof is established for $l=2k+2$.
+Chacun des sommets $(x_1,\dots,x_{2k+2})$ a donc le même nombre d'arcs entrants,
+la preuve est donc établie pour $l=2k+2$.
