& & 40, 63, 26, 25, 30, 19, 27, 17, 28, 31, 20, 23, 21, 18, 22, & & \\
& & 16, 24, 13, 12, 29, 8, 10, 42, 41, 0, 5, 2, 4, 6, 11, 34, 9, 32] & & \\
\hline
-
-
-
-
-
-
- &$f^{*7}$ & [111, 94, 93, 116, 122, 114, 125, 88, 87, 126, 119, 84, 123, & 10 & 63 \\
- & & 98, 81, 120, 109, 106, 105, 110, 99, 107, 104, 108, 101, 70, & & \\
- & & 117, 96, 67, 102, 113, 64, 79, 30, 95, 124, 83, 91, 121, 24, & & \\
- & & 23, 118, 69, 20, 115, 90, 17, 112, 77, 14, 73, 78, 74, 10, 72, & & \\
- & & 76, 103, 6, 71, 100, 75, 82, 97, 0, 127, 54, 57, 62, 51, 59, & & \\
- & & 56, 48, 53, 38, 37, 60, 55, 58, 33, 49, 63, 44, 47, 40, 42, & & \\
- & & 46, 45, 41, 35, 34, 39, 52, 43, 50, 32, 36, 29, 28, 61, 92, & & \\
- & & 26, 18, 89, 25, 19, 86, 85, 4, 27, 2, 16, 80, 31, 12, 15, 8, & & \\
- & & 3, 11, 13, 9, 5, 22, 21, 68, 7, 66, 65, 1] & & \\
+ \multirow{9}{0.5cm}{7} &$f^{*7}$ & [111, 94, 93, 116, 122, 114, 125, 88, 115, 126, 85, 84, 123, & \multirow{9}{0.5cm}{\textbf{10}} & \multirow{9}{0.5cm}{\textbf{63}} \\
+ & & 98, 81, 120, 109, 78, 105, 110, 99, 107, 104, 108, 101, 118, & & \\
+ & & 117, 96, 103, 66, 113, 64, 79, 86, 95, 124, 83, 91, 121, 24, & & \\
+ & & 119, 22, 69, 20, 87, 18, 17, 112, 77, 76, 73, 12, 74, 106, 72, & & \\
+ & & 8, 7, 102, 71, 100, 75, 82, 97, 0, 127, 54, 57, 62, 51, 59, & & \\
+ & & 56, 48, 53, 38, 37, 60, 55, 58, 33, 49, 63, 44, 47, 40, 42, & & \\
+ & & 46, 45, 41, 35, 34, 39, 52, 43, 50, 32, 36, 29, 28, 61, 92, & & \\
+ & & 26, 90, 89, 25, 19, 30, 23, 4, 27, 2, 16, 80, 31, 10, 15, 14, & & \\
+ & & 3, 11, 13, 9, 5, 70, 21, 68, 67, 6, 65, 1] & & \\
\hline
- & $f^{*8}$ &[223, 190, 249, 254, 187, 251, 233, 232, 183, 230, 247, 180,& 9 & 72 \\
- & & 227, 178, 240, 248, 237, 236, 253, 172, 203, 170, 201, 168, &&\\
- & & 229, 166, 165, 244, 163, 242, 241, 192, 215, 220, 205, 216, &&\\
- & & 218, 222, 221, 208, 213, 210, 212, 214, 219, 211, 217, 209, &&\\
- & & 239, 202, 207, 140, 139, 234, 193, 204, 135, 196, 199, 132, &&\\
- & & 194, 130, 225, 200, 159, 62, 185, 252, 59, 250, 169, 56, 191,&&\\
- & & 246, 245, 52, 243, 50, 176, 48, 173, 238, 189, 44, 235, 42, &&\\
- & & 137, 184, 231, 38, 37, 228, 35, 226, 177, 224, 151, 156, 141,&&\\
- & & 152, 154, 158, 157, 144, 149, 146, 148, 150, 155, 147, 153, &&\\
- & & 145, 175, 206, 143, 136, 11, 142, 129, 8, 7, 198, 197, 4, 195, &&\\
- & & 2, 161, 160, 255, 124, 109, 108, 122, 126, 125, 112, 117, 114, &&\\
- & & 116, 100, 123, 98, 97, 113, 79, 106, 111, 110, 99, 74, 121, 120,&&\\
- & & 71, 118, 103, 101, 115, 66, 65, 104, 127, 90, 89, 94, 83, 91, 81,&&\\
- & & 92, 95, 84, 87, 85, 82, 86, 80, 88, 77, 76, 93, 72, 107, 78, 105, &&\\
- & & 64, 69, 102, 68, 70, 75, 67, 73, 96, 55, 58, 45, 188, 51, 186, 61, &&\\
- & & 40, 119, 182, 181, 53, 179, 54, 33, 49, 15, 174, 47, 60, 171, && \\
- & & 46, 57, 32, 167, 6, 36, 164, 43, 162, 1, 0, 63, 26, 25, 30, 19,&&\\
- & & 27, 17, 28, 31, 20, 23, 21, 18, 22, 16, 24, 13, 10, 29, 14, 3, &&\\
- & &138, 41, 12, 39, 134, 133, 5, 131, 34, 9, 128]&&\\
+ \multirow{20}{0.5cm}{8} & $f^{*8}$ &
+[223, 190, 249, 254, 187, 251, 233, 232, 183, 230, 247, 180,&
+\multirow{20}{0.5cm}{9}&
+\multirow{20}{0.5cm}{71}\\
+& & 227, 178, 240, 248, 237, 236, 253, 172, 203, 170, 201, 168,& & \\
+& & 229, 166, 165, 244, 163, 242, 241, 192, 215, 220, 205, 216,& & \\
+& & 218, 222, 221, 208, 213, 210, 212, 214, 219, 211, 217, 209,& & \\
+& & 239, 202, 207, 140, 139, 234, 193, 204, 135, 196, 199, 132,& & \\
+& & 194, 130, 225, 200, 159, 62, 185, 252, 59, 250, 169, 56, 191,& & \\
+& & 246, 245, 52, 243, 50, 176, 48, 173, 238, 189, 44, 235, 42,& & \\
+& & 137, 184, 231, 38, 37, 228, 35, 226, 177, 224, 151, 156, 141,& & \\
+& & 152, 154, 158, 157, 144, 149, 146, 148, 150, 155, 147, 153,& & \\
+& & 145, 175, 206, 143, 12, 11, 142, 129, 128, 7, 198, 197, 4, 195,& & \\
+& & 2, 161, 160, 255, 124, 109, 108, 122, 126, 125, 112, 117, 114,& & \\
+& & 116, 100, 123, 98, 97, 113, 79, 106, 111, 110, 99, 74, 121,& & \\
+& & 120, 71, 118, 103, 101, 115, 66, 65, 104, 127, 90, 89, 94, 83,& & \\
+& & 91, 81, 92, 95, 84, 87, 85, 82, 86, 80, 88, 77, 76, 93, 72,& & \\
+& & 107, 78, 105, 64, 69, 102, 68, 70, 75, 67, 73, 96, 55, 58, 45,& & \\
+& & 188, 51, 186, 61, 40, 119, 182, 181, 53, 179, 54, 33, 49, 15,& & \\
+& & 174, 47, 60, 171, 46, 57, 32, 167, 6, 36, 164, 43, 162, 1, 0,& & \\
+& & 63, 26, 25, 30, 19, 27, 17, 28, 31, 20, 23, 21, 18, 22, 16,& & \\
+& & 24, 13, 10, 29, 14, 3, 138, 41, 136, 39, 134, 133, 5, 131,& & \\
+& & 34, 9, 8]&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{scriptsize}
\end{center}
-\label{table:functions}
-\caption{Fonctions avec matrices DSCC et le plus faible temps de mélange.}
-
+\caption{Fonctions avec matrices DSCC et le plus faible temps de mélange}\label{table:functions}
\end{table}
Le tableau~\ref{table:functions} reprend une synthèse de
valeur de $n=7$ et $8$, seules $10^{5}$ cycles ont été évalués. Parmi
toutes les fonctions obtenues en enlevant du $n$-cube ces cycles, n'ont été
retenues que celles qui minimisaient le temps de mélange relatif à une valeur de
-$\epsilon$ fixée à $10^{-8}$.
+$\epsilon$ fixée à $10^{-8}$ et pour un mode donné.
Ce nombre d'itérations (\textit{i.e.}, ce temps de mélange)
est stocké dans la troisième
colonne sous la variable $b$.
La variable $b'$ reprend le temps de mélange pour
-l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
-
-Un premier résultat est que ce nouvel algorithme réduit grandement le nombre
+l'algorithme~\ref{CI Algorithm}.
+On note que pour un nombre $n$ de bits fixé et un mode donné d'itérations,
+il peut avoir plusieurs fonctions minimisant ce temps de mélange. De plus, comme ce temps
+de mélange est construit à partir de la matrice de Markov et que celle-ci dépend
+du mode, une fonction peut être optimale pour un mode et ne pas l'être pour l'autre
+(c.f. pour $n=5$).
+
+Un second résultat est que ce nouvel algorithme réduit grandement le nombre
d'itérations suffisant pour obtenir une faible déviation par rapport à une
distribution uniforme. On constate de plus que ce nombre décroit avec
le nombre d'éléments alors qu'il augmente dans l'approche initiale où
\hline
\textrm{Itérations} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\hline
-\textrm{Unaires} & 19.0 & 22.2905097109 & 23.6954895899 & 25.2661942985 & 27.0\\
+\textrm{Unaires} & 19.0 & 22.3 & 23.7 & 25.3 & 27.0\\
\hline
-\textrm{Généralisées} & 17 & 13 & 11 & 10 & 9\\
+\textrm{Généralisées} & 17 & 13 & 11 & 10 & 9\\
\hline
\end{array}
$$
celles issues des itérations généralisées a été évaluée à travers la suite
de tests statistiques développée par le
\emph{National Institute of Standards and Technology} (NIST).
+En interne, c'est l'implantation de l'algorithme de Mersenne Twister qui
+permet de générer la stratégie aléatoire.
+
+
+
+
Pour les 15 tests, le seuil $\alpha$ est fixé à $1\%$:
une valeur
qui est plus grande que $1\%$ signifie
que la chaîne est considérée comme aléatoire avec une confiance de $99\%$.
-Le tableau~\ref{fig:TEST} donne une vision synthétique de ces expérimentations.
+Les tableau~\ref{fig:TEST:generalise} donnent
+une vision synthétique de ces expérimentations.
Nous avons évalué les fonctions préfixées par
-$f$ (respecitvement $g$) avec le générateur issu des itérations
+$f$ (respecitvement $g$) avec les générateurs issus des itérations
généralisées (resp. unaires).
-%L'expérience a montré notamment que toutes ces fonctions
-%passent avec succès cette batterie de tests.
+Quelle que soit la méthode utilisée, on constate que chacun des
+générateurs passe
+avec succes le test de NIST.
+
+Interpréter ces resultats en concluant que ces générateurs sont
+tous équivalents serait erroné: la meilleur des
+méthodes basées sur le mode des itérations
+généralisées (pour $n=8$ par exemple)
+est au moins deux fois plus rapide que la meilleur de celles qui
+sont basées sur les itérations unaires.
\begin{scriptsize}
-
+\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|}
+ \hline
+Test & $f^{*5}$ &$f^{*6}$ &$f^{*7}$ &$f^{*8}$ \\ \hline
+Fréquence (Monobit)& 0.401 (0.97)& 0.924 (1.0)& 0.779 (0.98)& 0.883 (0.99)\\ \hline
+Fréquence ds un bloc& 0.574 (0.98)& 0.062 (1.0)& 0.978 (0.98)& 0.964 (0.98)\\ \hline
+Somme Cumulé*& 0.598 (0.975)& 0.812 (1.0)& 0.576 (0.99)& 0.637 (0.99)\\ \hline
+Exécution& 0.998 (0.99)& 0.213 (0.98)& 0.816 (0.98)& 0.494 (1.0)\\ \hline
+Longue exécution dans un bloc& 0.085 (0.99)& 0.971 (0.99)& 0.474 (1.0)& 0.574 (0.99)\\ \hline
+Rang& 0.994 (0.96)& 0.779 (1.0)& 0.191 (0.99)& 0.883 (0.99)\\ \hline
+Fourier rapide& 0.798 (1.0)& 0.595 (0.99)& 0.739 (0.99)& 0.595 (1.0)\\ \hline
+Patron sans superposition*& 0.521 (0.987)& 0.494 (0.989)& 0.530 (0.990)& 0.520 (0.989)\\ \hline
+Patron avec superposition& 0.066 (0.99)& 0.040 (0.99)& 0.304 (1.0)& 0.249 (0.98)\\ \hline
+Statistiques universelles& 0.851 (0.99)& 0.911 (0.99)& 0.924 (0.96)& 0.066 (1.0)\\ \hline
+Entropie approchée (m=10)& 0.637 (0.99)& 0.102 (0.99)& 0.115 (0.99)& 0.350 (0.98)\\ \hline
+Suite aléatoire *& 0.573 (0.981)& 0.144 (0.989)& 0.422 (1.0)& 0.314 (0.984)\\ \hline
+Suite aléatoire variante *& 0.359 (0.968)& 0.401 (0.982)& 0.378 (0.989)& 0.329 (0.985)\\ \hline
+Série* (m=10)& 0.469 (0.98)& 0.475 (0.995)& 0.473 (0.985)& 0.651 (0.995)\\ \hline
+Complexité linaire& 0.129 (1.0)& 0.494 (1.0)& 0.062 (1.0)& 0.739 (1.0)\\ \hline
+
+\end{tabular}
\end{scriptsize}
-\label{fig:TEST:generalise}
+
\caption{Test de NIST pour les fonctions
- du tableau~\ref{table:functions} selon les itérations généralisées}
+ du tableau~\ref{table:functions} selon les itérations généralisées}\label{fig:TEST:generalise}
\end{table}
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{scriptsize}
+\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|}
+\hline
+Test & $g^{*5}$& $g^{*6}$& $f^{*7}$& $f^{*8}$\\ \hline
+Fréquence (Monobit)& 0.236 (1.0)& 0.867 (0.99)& 0.437 (0.99)& 0.911 (1.0)\\ \hline
+Fréquence ds un bloc& 0.129 (0.98)& 0.350 (0.99)& 0.366 (0.96)& 0.657 (1.0)\\ \hline
+Somme Cumulé*& 0.903 (0.995)& 0.931 (0.985)& 0.863 (0.995)& 0.851 (0.995)\\ \hline
+Exécution& 0.699 (0.98)& 0.595 (0.99)& 0.181 (1.0)& 0.437 (0.99)\\ \hline
+Longue exécution dans un bloc& 0.009 (0.99)& 0.474 (0.97)& 0.816 (1.0)& 0.051 (1.0)\\ \hline
+Rang& 0.946 (0.96)& 0.637 (0.98)& 0.494 (1.0)& 0.946 (1.0)\\ \hline
+Fourier rapide& 0.383 (0.99)& 0.437 (1.0)& 0.616 (0.98)& 0.924 (0.99)\\ \hline
+Patron sans superposition*& 0.466 (0.990)& 0.540 (0.989)& 0.505 (0.990)& 0.529 (0.991)\\ \hline
+Patron avec superposition& 0.202 (0.96)& 0.129 (0.98)& 0.851 (0.99)& 0.319 (0.98)\\ \hline
+Statistiques universelles& 0.319 (0.97)& 0.534 (0.99)& 0.759 (1.0)& 0.657 (0.99)\\ \hline
+Entropie approchée (m=10)& 0.075 (0.97)& 0.181 (0.99)& 0.213 (0.98)& 0.366 (0.98)\\ \hline
+Suite aléatoire *& 0.357 (0.986)& 0.569 (0.991)& 0.539 (0.987)& 0.435 (0.992)\\ \hline
+Suite aléatoire variante *& 0.398 (0.989)& 0.507 (0.986)& 0.668 (0.991)& 0.514 (0.994)\\ \hline
+Série* (m=10)& 0.859 (0.995)& 0.768 (0.99)& 0.427 (0.995)& 0.637 (0.98)\\ \hline
+Complexité linaire& 0.897 (0.99)& 0.366 (0.98)& 0.153 (1.0)& 0.437 (1.0)\\ \hline
+
+\end{tabular}
+\end{scriptsize}
+
+
+\caption{Test de NIST pour les fonctions
+ du tableau~\ref{table:functions} selon les itérations unaires}\label{fig:TEST:unaire}
+\end{table}
+
+
+\begin{table}[ht]
+ \centering
+ \begin{scriptsize}
+
+\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|}
+ \hline
+Test & 5 bits& 6 bits & 7 bits & 8bits \\ \hline
+Fréquence (Monobit)& 0.289 (1.0)& 0.437 (1.0)& 0.678 (1.0)& 0.153 (0.99)\\ \hline
+Fréquence ds un bloc& 0.419 (1.0)& 0.971 (0.98)& 0.419 (0.99)& 0.275 (1.0)\\ \hline
+Somme Cumulé*& 0.607 (0.99)& 0.224 (0.995)& 0.645 (0.995)& 0.901 (0.99)\\ \hline
+Exécution& 0.129 (0.99)& 0.005 (0.99)& 0.935 (0.98)& 0.699 (0.98)\\ \hline
+Longue exécution dans un bloc& 0.514 (1.0)& 0.739 (0.99)& 0.994 (1.0)& 0.834 (0.99)\\ \hline
+Rang& 0.455 (0.97)& 0.851 (0.99)& 0.554 (1.0)& 0.964 (0.99)\\ \hline
+Fourier rapide& 0.096 (0.98)& 0.955 (0.99)& 0.851 (0.97)& 0.037 (1.0)\\ \hline
+Patron sans superposition*& 0.534 (0.990)& 0.524 (0.990)& 0.508 (0.987)& 0.515 (0.99)\\ \hline
+Patron avec superposition& 0.699 (0.99)& 0.616 (0.95)& 0.071 (1.0)& 0.058 (1.0)\\ \hline
+Statistiques universelles& 0.062 (0.99)& 0.071 (1.0)& 0.637 (1.0)& 0.494 (0.98)\\ \hline
+Entropie approchée (m=10)& 0.897 (0.99)& 0.383 (0.99)& 0.366 (1.0)& 0.911 (0.99)\\ \hline
+Suite aléatoire *& 0.365 (0.983)& 0.442 (0.994)& 0.579 (0.992)& 0.296 (0.993)\\ \hline
+Suite aléatoire variante *& 0.471 (0.978)& 0.559 (0.992)& 0.519 (0.987)& 0.340 (0.995)\\ \hline
+Série* (m=10)& 0.447 (0.985)& 0.298 (0.995)& 0.648 (1.0)& 0.352 (0.995)\\ \hline
+Complexité linaire& 0.005 (0.98)& 0.534 (0.99)& 0.085 (0.97)& 0.996 (1.0)\\ \hline
+
+\end{tabular}
+
+
+
+
+
+
+
\end{scriptsize}
-\label{fig:TEST:unaire}
-\caption{Test de NIST pour les fonctions
- du tableau~\ref{table:functions} selon les itérations unaires}
+
+\caption{Test de NIST pour l'algorithme de Mersenne Twister}\label{fig:TEST:Mersenne}
\end{table}
+
%
