à la génération de nombres pseudo aléatoires.
On présente tout d'abord le générateur
basé sur des fonctions chaotiques (section~\ref{sub:prng:algo}),
-puis comment intégrer la contrainte de distributionuniforme
+puis comment intégrer la contrainte de distribution uniforme
de la sortie
dans le choix de la fonction à itérer (section~\ref{sub:prng:unif}).
L'approche est évaluée dans la dernière section.
Cet algorithme est utilisée dans notre générateur pour construire la longueur
de la stratégie ainsi que les éléments qui la composent.
Pratiquement, il retourne des entiers dans $\llbracket 1 ; l \rrbracket$
-selon une distributionuniforme et utilise
+selon une distribution uniforme et utilise
\textit{XORshift} qui est une classe de générateurs de
nombres pseudo aléatoires conçus par George Marsaglia.
L'algorithme \textit{XORshift}
exploite itérativement l'opérateur $\oplus$
-sur des nombres obtenus grâce à des decalages de bits.
+sur des nombres obtenus grâce à des décalages de bits.
Cet opérateur, défini dans $\Bool^{n}$,
applique la fonction \og xor \fg{}
aux bits de même rang de ses deux opérandes (\og opération bit à bit \fg{}).
$$\exists k \in \mathds{N}^\ast, \forall i,j \in \llbracket 1; n \rrbracket, M_{ij}^k>0.$$
On énonce enfin le théorème suivant liant les
-vecteur de probabilite
-et les chaines de Markov.
+vecteur de probabilités
+et les chaînes de Markov.
Si $M$ est une matrice stochastique régulière, alors $M$
possède un unique vecteur stationnaire de probabilités $\pi$
($\pi.M = \pi$).
- De plus, si $\pi^0$ est un {vecteurDeProbabilite}
+ De plus, si $\pi^0$ est un {vecteur de probabilités}
et si on définit
la suite $(\pi^{k})^{k \in \Nats}$ par
$\pi^{k+1} = \pi^k.M $ pour $k = 0, 1,\dots$
- alors la {chaineDeMarkov} $\pi^k$
+ alors la {chaîne de Markov} $\pi^k$
converge vers $\pi$ lorsque $k$ tend vers l'infini.
\end{theorem}
Leurs graphes d'interactions donnés en figure \ref{fig:g:inter} et \ref{fig:h:inter}
vérifient les hypothèses du théorème~\ref{th:Adrien}.
Leurs graphes d'itérations
-sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures
-\ref{fig:g:iter} et \ref{fig:h:iter}.
+sont donc fortement connexes, ce que l'on peut vérifier aux figures~\ref{fig:g:iter}
+et~\ref{fig:h:iter}.
\textit{A priori}, ces deux fonctions pourraient être intégrées
dans un générateur de nombres pseudo aléatoires. Montrons que ce n'est pas le cas pour $g$ et
que cela l'est pour $h$.
d'un tel processus
est $M_g = \frac{1}{2} \check{M}_g$,
où $\check{M}_g$ est la matrice d' adjacence donnée en
-figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et similairement pour $M_h$.
+figure~\ref{fig:g:incidence} (voir ci-après), et de manière similaire pour $M_h$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
le vecteur d’état de la chaîne de Markov
ait une distribution suffisamment proche de la distribution uniforme.
-On énnonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}.
+On énonce directement le théorème suivant dont la preuve est donnée en annexes~\ref{anx:generateur}.
\begin{theorem}
Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son
On reprend le graphe d'interactions $\Gamma(f)$ donné en figure~\ref{fig:G} à la section~\ref{sec:11FCT}.
On a vu qu'il y avait 520 fonctions $f$ non isomorphes de graphe d'interactions $\Gamma(f)$,
-dont seulement 16 d'entre elles possédent une matrice doublement stochastique.
+dont seulement 16 d'entre elles possèdent une matrice doublement stochastique.
La figure~\ref{fig:listfonction} explicite ces 16 fonctions en
définissant les images des éléments de la liste
-- autrement dit, où la déviation par rapport à la distribution uniforme --
est inférieure
à $10^{-4}$. En prenant le max pour tous les $e_i$, on obtient une valeur pour
- $b$. Ainsi, on a
-$$
+ $b$.
+Ainsi, on a
+\begin{equation}
b = \max\limits_{i \in \llbracket 1, 2^n \rrbracket}
\{
\min \{
t \mid t \in \Nats, \vectornorm{e_i M_f^t - \pi} < 10^{-4}
\}
\}.
-$$
+\label{eq:mt:ex}
+\end{equation}
+
+\noindent Par la suite, ce nombre sera appelé \emph{temps de mélange}.
+
+
\begin{figure}%[h]
\begin{center}
passent avec succès cette batterie de tests.
Pour conclure cette section, on remarque que le générateur de nombres pseudo-aléatoires
-a été prouvé chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorqu'il y a une sortie pour chaque itération.
-Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformémement distribuée:
+a été prouvé chaotique pour $b=1$, \textit{i.e.}, lorsqu'il y a une sortie pour chaque itération.
+Ceci est difficilement compatible avec la volonté d'avoir une sortie uniformément distribuée:
se rapprocher de cette distribution nécessite en effet un nombre plus élevé
d'itérations $b$ entre chaque sortie. Par exemple, dans l'exemple précédent, il est nécessaire
d'itérer au moins 42 fois entre chaque sortie pour suivre une loi uniforme à $10^{-4}$ près.
\section{Un PRNG basé sur des itérations unaires qui est chaotique }
Cette section présente un espace métrique adapté au générateur de nombres pseudo-aléatoires
-pésenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente
+présenté à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} et prouve ensuite que la fonction qu'il représente
est chaotique sur cet espace.
\subsection{Un espace $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ pour le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm}}
$\mathsf{p}$ vaut 1 et $p_1=b$.
-Cet algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la function $F_{f_u}$.
+Cet algorithme peut être vu comme $b$ compostions de la fonction $F_{f_u}$.
Ceci peut cependant se généraliser à $p_i$, $p_i \in \mathcal{P}$,
compositions fonctionnelles de $F_{f_u}$.
Ainsi, pour chaque $p_i \in \mathcal{P}$, on construit la fonction
La suite $(v^k)_{k \in \Nats}$ définit combien d'itérations sont exécutées au temps $k$ entre deux sorties.
La séquence $(u^k)_{k \in \Nats}$ définit quel élément est modifié (toujours au temps $k$).
-Définissons la fonction de décallage $\Sigma$ pour chaque élément de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+Définissons la fonction de décalage $\Sigma$ pour chaque élément de $\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
$$\begin{array}{cccc}
\Sigma:&\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} &\longrightarrow
&\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} \\
\end{array}
$$
En d'autres termes, $\Sigma$ reçoit deux suites $u$ et $v$ et
-effectue $v^0$ décallage vers la droite sur la première et un décallage vers la droite
+effectue $v^0$ décalage vers la droite sur la première et un décalage vers la droite
sur la seconde.
où $s=(u,v)$ et $\check{s}=(\check{u},\check{v})$ sont dans $ \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}} =
\mathcal{S}_{\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket} \times \mathcal{S}_\mathcal{P}$.
\begin{itemize}
-\item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$. The Hamming distance
-on their binary decomposition, that is, the number of dissimilar binary digits, constitutes the integral
-part of $d(X,\check{X})$.
-\item The fractional part is constituted by the differences between $v^0$ and $\check{v}^0$, followed by the differences
-between finite sequences $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ and $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$, followed by
- differences between $v^1$ and $\check{v}^1$, followed by the differences
-between $u^{v^0}, u^{v^0+1}, \hdots, u^{v^1-1}$ and $\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v}^1-1}$, etc.
-More precisely, let $p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ and $n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
+\item $e$ et $\check{e}$ sont des entiers appartenant à $\llbracket 0, 2^{\mathsf{N}-1} \rrbracket$.
+La distance de Hamming $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ sur entre les
+décompositions binaires de $e$ et de $\check{e}$ (\textit{i.e.}, le
+le nombre de bits qu'elles ont de différent) constitue
+la partie entière de $d(X,\check{X})$.
+\item la partie décimale est construite à partir des différences entre
+$v^0$ et $\check{v}^0$, suivie des différences entre les séquences finies
+$u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ et $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$, suivie par les différences entre $v^1$ et $\check{v}^1$,
+suivie par les différences entre $u^{v^0}, u^{v^0+1}, \hdots, u^{v^1-1}$ et
+$\check{u}^{\check{v}^0}, \check{u}^{\check{v}^0+1}, \hdots, \check{u}^{\check{v}^1-1}$, etc.
+
+Plus précisément, soit
+$p = \lfloor \log_{10}{(\max{\mathcal{P}})}\rfloor +1$ et
+$n = \lfloor \log_{10}{(\mathsf{N})}\rfloor +1$.
\begin{itemize}
-\item The $p$ first digits of $d(x,\check{x})$ is $|v^0-\check{v}^0|$ written in decimal numeration (and with $p$ digits).
-\item The next $n\times \max{(\mathcal{P})}$ digits aim at measuring how much $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ differs from $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$. The $n$ first
-digits are $|u^0-\check{u}^0|$. They are followed by
-$|u^1-\check{u}^1|$ written with $n$ digits, etc.
+\item Les $p$ premiers éléments de $d(x,\check{x})$ sont $|v^0-\check{v}^0|$
+ écrits en base 10 et sur $p$ indices;
+\item les $n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments suivants servent
+ à évaluer de combien $u^0, u^1, \hdots, u^{v^0-1}$ diffère de
+ $\check{u}^0, \check{u}^1, \hdots, \check{u}^{\check{v}^0-1}$.
+ Les $n$ premiers éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$. Il sont suivis de
+$|u^1-\check{u}^1|$ écrits à l'aide de $n$ éléments, etc.
\begin{itemize}
-\item If
-$v^0=\check{v}^0$, then the process is continued until $|u^{v^0-1}-\check{u}^{\check{v}^0-1}|$ and the fractional
-part of $d(X,\check{X})$ is completed by 0's until reaching
-$p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ digits.
-\item If $v^0<\check{v}^0$, then the $ \max{(\mathcal{P})}$ blocs of $n$
-digits are $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
-$\check{u}^{v^0}$ (on $n$ digits), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (on $n$ digits), followed by 0's if required.
-\item The case $v^0>\check{v}^0$ is dealt similarly.
+\item Si
+$v^0=\check{v}^0$,
+alors le processus se continue jusqu'à $|u^{v^0-1}-\check{u}^{\check{v}^0-1}|$ et la
+partie décimale de $d(X,\check{X})$ est complétée par des 0
+jusqu'à atteindre
+$p+n\times \max{(\mathcal{P})}$ éléments.
+\item Si $v^0<\check{v}^0$, alors les $ \max{(\mathcal{P})}$ blocs de $n$
+éléments sont $|u^0-\check{u}^0|$, ..., $|u^{v^0-1}-\check{u}^{v^0-1}|$,
+$\check{u}^{v^0}$ (sur $n$ éléments), ..., $\check{u}^{\check{v}^0-1}$ (sur $n$ éléments), suivi par des 0, si besoin.
+\item Le cas $v^0>\check{v}^0$ est similaire, et donc omis
\end{itemize}
-\item The next $p$ digits are $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
+\item Les $p$ suivants sont $|v^1-\check{v}^1|$, etc.
\end{itemize}
\end{itemize}
+La fonction $d$ peut se formaliser comme suit:
+$$d(x,\check{x})=d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})+d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}(e,\check{e}),$$
+où: % $p=\max \mathcal{P}$ and:
+\begin{itemize}
+\item $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ est la distance de Hamming,
+\item $\forall s=(u,v), \check{s}=(\check{u},\check{v}) \in \mathcal{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$,\newline
+$$\begin{array}{rcl}
+ d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) &= &
+ \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{10^{(k+1)p+kn\max{(\mathcal{P})}}}
+ \bigg(|v^k - \check{v}^k| \\
+ & & + \left| \sum_{l=0}^{v^k-1}
+ \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} -
+ \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1}
+ \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} \right| \bigg)
+\end{array}
+$$ %\left| \sum_{l=0}^{v^k-1} \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{l}} - \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1} \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{l}}\right|\right)}.$$
+\end{itemize}
+
\begin{xpl}
-Consider for instance that $\mathsf{N}=13$, $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$ (so $\mathsf{p}=3$), and that
+On considère par exemple
+$\mathsf{N}=13$, $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$ ($\mathsf{p}$ vaut ainsi $3$),
+et
$s=\left\{
\begin{array}{l}
u=\underline{6,} ~ \underline{11,5}, ...\\
v=1,2,...
\end{array}
\right.$
-while
+avec
$\check{s}=\left\{
\begin{array}{l}
\check{u}=\underline{6,4} ~ \underline{1}, ...\\
\end{array}
\right.$.
-So $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.010004000000000000000000011005 ...$
-Indeed, the $p=2$ first digits are 01, as $|v^0-\check{v}^0|=1$,
-and we use $p$ digits to code this difference ($\mathcal{P}$ being $\{1,2,11\}$, this difference can be equal to 10). We then take the $v^0=1$ first terms of $u$, each term being coded in $n=2$ digits, that is, 06. As we can iterate
-at most $\max{(\mathcal{P})}$ times, we must complete this
-value by some 0's in such a way that the obtained result
-has $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ digits, that is:
-0600000000000000000000. Similarly, the $\check{v}^0=2$ first
-terms in $\check{u}$ are represented by 0604000000000000000000, and the absolute value of their
-difference is equal to 0004000000000000000000. These digits are concatenated to 01, and
-we start again with the remainder of the sequences.
+Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.010004000000000000000000011005 ...$
+En effet, les $p=2$ premiers éléments sont 01, c'est-à-dire
+$|v^0-\check{v}^0|=1$,
+et on utilise $p$ éléments pour représenter cette différence
+(Comme $\mathcal{P}=\{1,2,11\}$, cette différence peut valoir 10).
+On prend alors le $v^0=1$ premier terme de $u$,
+chaque terme étant codé sur $n=2$ éléments, soit 06.
+Comme on itère au plus $\max{(\mathcal{P})}$ fois,
+on complète cette valeur par des 0 de sorte que
+la chaîne obtenue a $n\times \max{(\mathcal{P})}=22$ éléments, soit:
+0600000000000000000000.
+De manière similaire, les $\check{v}^0=2$ premiers
+termes de $\check{u}$ sont représentés par
+0604000000000000000000.
+LA valeur absolue de leur différence est égale à
+0004000000000000000000.
+Ces éléments sont concaténés avec 01. On peut construire alors le reste de
+la séquence.
\end{xpl}
\begin{xpl}
-Consider now that $\mathsf{N}=9$, and $\mathcal{P}=\{2,7\}$, and that
-
-$s=\left\{
+On considère à présent que $\mathsf{N}=9$, que $\mathcal{P}=\{2,7\}$ et que
+$$s=\left\{
\begin{array}{l}
u=\underline{6,7,} ~ \underline{4,2,} ...\\
v=2,2,...
\end{array}
-\right.$
-while
-$\check{s}=\left\{
+\right.$$
+avec
+$$\check{s}=\left\{
\begin{array}{l}
\check{u}=\underline{4, 9, 6, 3, 6, 6, 7,} ~ \underline{9, 8}, ...\\
\check{v}=7,2,...
\end{array}
-\right.$
+\right.
+$$
-So $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$, as $|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$,
-and $|9800000-4200000| = 5600000$.
+Ainsi $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) = 0.5173633305600000...$,
+puisque
+$|v^0-\check{v}^0|=5$, $|4963667-6700000| = 1736333$, $|v^1-\check{v}^1|=0$,
+et $|9800000-4200000| = 5600000$.
\end{xpl}
-$d$ can be more rigorously written as follows:
-$$d(x,\check{x})=d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})+d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}(e,\check{e}),$$
-where: % $p=\max \mathcal{P}$ and:
+On a la proposition suivante, qui est démontrée en annexes~\ref{anx:generateur}.
+\begin{lemma}
+$d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+\end{lemma}
+
+
+\subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant $\textsc{giu}(f)$}
+
+A partir de $\mathcal{P}=\{p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}\}$, on
+définit le graphe orienté $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ de la manière suivante:
\begin{itemize}
-\item $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ is the Hamming distance,
-\item $\forall s=(u,v), \check{s}=(\check{u},\check{v}) \in \mathcal{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$,\newline
-$$\begin{array}{rcl}
- d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s}) &= &
- \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{10^{(k+1)p+kn\max{(\mathcal{P})}}}
- \bigg(|v^k - \check{v}^k| \\
- & & + \left| \sum_{l=0}^{v^k-1}
- \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} -
- \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1}
- \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{(l+1)n}} \right| \bigg)
-\end{array}
-$$ %\left| \sum_{l=0}^{v^k-1} \dfrac{u^{\sum_{m=0}^{k-1} v^m +l}}{ 10^{l}} - \sum_{l=0}^{\check{v}^k-1} \dfrac{\check{u}^{\sum_{m=0}^{k-1} \check{v}^m +l}}{ 10^{l}}\right|\right)}.$$
+\item les n{\oe}uds sont les $2^\mathsf{N}$ configurations de $\mathds{B}^\mathsf{N}$,
+%\item Each vertex has $\displaystyle{\sum_{i=1}^\mathsf{p} \mathsf{N}^{p_i}}$ arrows, namely all the $p_1, p_2, \hdots, p_\mathsf{p}$ tuples
+% having their elements in $\llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket $.
+\item il y a un arc libellé $u_0, \hdots, u_{p_i-1}$, $i \in \llbracket 1, \mathsf{p} \rrbracket$ entre les n{\oe}uds $x$ et $y$ si et seulement si $p_i$ est un élément de
+$\mathcal{P}$ (\textit{i.e.}, on peut itérer $p_i$ fois),
+chaque $u_k$ de la suite appartient à $[\mathsf{N}]$ et
+$y=F_{f_u,p_i} (x, (u_0, \hdots, u_{p_i-1})) $.
\end{itemize}
+Il n'est pas difficile de constater que $\textsc{giu}_{\{1\}}(f)$ est $\textsc{giu}(f)$.
-Let us show that,
-\begin{prpstn}
-$d$ is a distance on $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
-\end{prpstn}
-\subsection{Le graphe $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ étendant $\textsc{giu}(f)$}
+
+\begin{figure}%[t]
+ \begin{center}
+ \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$]{
+ \begin{minipage}{0.30\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[height=4cm]{images/h2prng}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:h2prng}
+ }
+ \subfigure[$\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$]{
+ \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[height=4cm]{images/h3prng}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:h3prng}
+ }
+ \subfigure[$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$]{
+ \begin{minipage}{0.40\textwidth}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[height=4cm]{images/h23prng}
+ \end{center}
+ \end{minipage}
+ \label{fig:h23prng}
+ }
+
+ \end{center}
+ \caption{Graphes d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(h)$ pour $h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$}
+ %\label{fig:xplgraphIter}
+ \end{figure}
+
+
+
+
+\begin{xpl}
+On reprend l'exemple où $\mathsf{N}=2$ et
+$h(x_1,x_2)=(\overline{x_1},x_1\overline{x_2}+\overline{x_1}x_2)$ déjà détaillé
+à la section~\ref{sub:prng:unif}.
+
+Le graphe $\textsc{giu}_{\{1\}}(h)$ a déjà été donné à la figure~\ref{fig:h:iter}.
+Les graphes $\textsc{giu}_{\{2\}}(h)$, $\textsc{giu}_{\{3\}}(h)$ et
+$\textsc{giu}_{\{2,3\}}(h)$ sont respectivement donnés aux figure~\ref{fig:h2prng}, ~\ref{fig:h3prng} et ~\ref{fig:h23prng}.
+Le premier (respectivement le second)
+illustre le comportement du générateur lorsque qu'on itère exactement
+2 fois (resp. 3 fois) puis qu'on affiche le résultat.
+Le dernier donnerait le comportement d'un générateur qui s'autoriserait
+à itérer en interne systématiquement 2 ou trois fois avant de retourner un résultat.
+
+\end{xpl}
+
\subsection{le PRNG de l'algorithme~\ref{CI Algorithm} est chaotique sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$}
+Le théorème suivant, similaire à celui dans $\mathcal{X}_u$ et dans $\mathcal{X}_g$
+est prouvé en annexes~\ref{anx:generateur}.
+
+\begin{theorem}
+La fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est chaotique sur
+ $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$ si et seulement si
+graphe d'itération $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$
+est fortement connexe.
+\end{theorem}
+On alors corollaire suivant
+
+\begin{corollary}
+ Le générateur de nombre pseudo aléatoire détaillé
+ à l'algorithme~\ref{CI Algorithm}
+ n'est pas chaotique
+ sur $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\{b\}},d)$ pour la fonction négation.
+\end{corollary}
+\begin{proof}
+ Dans cet algorithme, $\mathcal{P}$ est le singleton $\{b\}$.
+ Que $b$ soit pair ou impair, $\textsc{giu}_{\mathcal{b}}(f)$
+ n'est pas fortement connexe.
+\end{proof}
+
+
