$M$ est doublement stochastique.
\end{Proof}
+
+
+Montrons que
+\begin{lemma}
+$d$ est une distance sur $\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$.
+\end{lemma}
+
+
+\begin{proof}
+ $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ est la distance de Hamming.
+ Prouvons que
+ $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}$ est aussi une distance;
+$d$ sera ainsi une distance comme somme de deux distances.
+ \begin{itemize}
+\item De manière évidente, $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})\geqslant 0$, et si $s=\check{s}$, alors
+$d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})=0$.
+Réciproquement si $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})=0$, alors
+$\forall k \in \mathds{N}, v^k=\check{v}^k$ d'après la définition de $d$.
+Or les éléments entre les positions $p+1$ et $p+n$
+sont nules et correspondent à $|u^0-\check{u}^0|$,
+on peut conclure que $u^0=\check{u}^0$.
+On peut étendre ce résultat aux $n \times \max{(\mathcal{P})}$ premiers
+bloc engendrant $u^i=\check{u}^i$, $\forall i \leqslant v^0=\check{v}^0$,
+et en vérifiant tous les $n \times \max{(\mathcal{P})}$ blocs, $u=\check{u}$.
+ \item $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}$ est évidemment symétrique
+($d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})=d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(\check{s},s)$).
+\item l'inégalité triangulaire est établie puisque la valeur absolue la vérifie
+aussi.
+ \end{itemize}
+\end{proof}
