où

[hdrcouchot.git] / modelchecking.tex

diff --git a/modelchecking.tex b/modelchecking.tex
index ca223fb4c35e3d68d7293805aac76cbf8ca14b74..191941605c1da2ba65fcc9ddff3a7e7223eb2c60 100644 (file)
--- a/modelchecking.tex
+++ b/modelchecking.tex
@@ -1,21 +1,61 @@
-\JFC{donner dans les rappels les délais et les propriétés de convergence universelle}

 
 

-\JFC{Statuer sur la taille des exemples traitables par la démarche, cf données pratiques}

 
 

-\section{Exemple jouet}

 
 

-\begin{xpl}
-  On considère dans ce chapitre l'exemple où trois éléments dans $\Bool$. 
-  Chaque configuration est ainsi un élement de $\{0,1\}^3$, \textit{i.e.}, 
-  un nombre entre 0 et 7. 
-  La \Fig{fig:map} précise la fonction $f$ considérée et 
-  la \Fig{fig:xplgraph} donne son graphe d'intéraction.
-  
+L'étude de convergence de systèmes dynamiques discrets est simple à vérifier 
+pratiquement pour le mode synchrone. Lorsqu'on introduit des stratégies 
+pseudo périodiques pour les modes unaires et généralisées, le problème 
+se complexifie. C'est pire encore lorsqu'on traite des itérations asynchrones 
+et mixes prenant de plus en compte les délais. 
+
+Des méthodes de simulation basées sur des stratégies et des délais générés aléatoirement 
+ont déjà été présentées~\cite{BM99,BCV02}.
+Cependant, comme ces implantations ne sont pas exhaustives, elles ne donnent un résultat 
+formel que lorsqu'elles fournissent un contre-exemple. Lorsqu'elles exhibent une convergence,  
+cela ne permet que donner une intuition de convergence, pas  une preuve.
+Autant que nous sachions, aucune démarche de preuve formelle automatique 
+de convergence n'a jamais été établie. 
+Dans le travail théorique~\cite{Cha06}, Chandrasekaran a montré que les itérations asynchrones sont convergentes 
+si et seulement si on peut construire une fonction de Lyaponov décroissante, mais il ne donne pas de méthode 
+automatique pour construire cette fonction.
+
+Un outil qui construirait automatiquement toutes 
+les transitons serait le bienvenu. 
+Pour peu qu'on établisse la preuve de correction et de complétude de la 
+démarche, la convergence du réseau discret ne repose alors que sur le verdict 
+donné par l'outil. 
+Cependant, même pour des réseaux discrets à peu d'éléments, 
+le nombre de configurations induites explose rapidement.
+Les \emph{Model-Checkers}~\cite{Hol03,nusmv02,Blast07,MCErlang07,Bogor03}  
+sont des classes d'outils qui adressent le problème de vérifier automatiquement
+qu'un modèle vérifie une propriété donnée. Pour traiter le problème d'explosion 
+combinatoire, ces outils appliquent des méthodes d'ordre partiel, d'abstraction,
+de quotientage selon une relation d'équivalence.
+
+Ce chapitre montre comment nous simulons 
+des réseaux discrets selon toutes les sortes d'itérations pour établir 
+formellement leur convergence (ou pas).
+Nous débutons par un exemple et faisons quelques rappels sur 
+le langage PROMELA qui est le langage du model-checker 
+SPIN~\cite{Hol03} (\Sec{sec:spin:promela}).
+Nous présentons ensuite la démarche de traduction 
+de réseaux discrets dans PROMELA (\Sec{sec:spin:translation}).   
+Les théorèmes de correction et de complétude de la démarche
+sont ensuite donnés à la (\Sec{sec:spin:proof}). 
+Des données pratiques comme la complexité et des synthèses d'expérimentation
+sont ensuite fournies (\Sec{sec:spin:practical}). 
+
+
+
+
+
+
+
+%\section{Exemple jouet}
+
+

 \begin{figure}[ht]
 \begin{figure}[ht]

-  \centering
-  \begin{minipage}%[h]
-    {.6\linewidth}
-    \begin{center}
+  \begin{center}
+    \subfigure[Fonction à itérer]{

       $ F(x)= \left \{
         \begin{array}{rcl}
           f_1(x_1,x_2,x_3) & = & x_1.\overline{x_2} + x_3  \\
       $ F(x)= \left \{
         \begin{array}{rcl}
           f_1(x_1,x_2,x_3) & = & x_1.\overline{x_2} + x_3  \\


@@ -24,31 +64,39 @@
         \end{array}
       \right.
       $        
         \end{array}
       \right.
       $        

-    \end{center}
-    \caption{Fonction à itérer}    \label{fig:map}
-  \end{minipage}
-  \begin{minipage}%[h]
-    {.35\linewidth}
-    \begin{center}
+      \label{fig:map}
+    }
+    \hfill
+    \subfigure[Graphe d'intéraction]{

       \includegraphics[width=4cm]{images/xplCnxMc.eps}
       \includegraphics[width=4cm]{images/xplCnxMc.eps}

-    \end{center}
-    \caption{Graphe d'intéraction}
-    \label{fig:xplgraph}
-    \end{minipage}
+      \label{fig:xplgraph:inter:mc}
+    }
+  \end{center}

   \caption{Exemple pour SDD $\approx$ SPIN.}
 \end{figure}
 
 
 
   \caption{Exemple pour SDD $\approx$ SPIN.}
 \end{figure}
 
 
 

+\begin{xpl}
+  On considère un exemple à trois éléments dans $\Bool$. 
+  Chaque configuration est ainsi un élément de $\Bool^3$, \textit{i.e.}, 
+  un nombre entre 0 et 7. 
+  La \Fig{fig:map} précise la fonction $f$ considérée et 
+  la \Fig{fig:xplgraph:inter:mc} donne son graphe d'intéraction.
+  
+

 
 
 
 
 
 

-On peut facilement vérifier que toutes les itérations parallèles initialisées 
+
+
+On peut facilement vérifier que toutes les itérations synchrones initialisées 

 avec $x^0 \neq 7$ soit $(111)$ 
 convergent vers $2$ soit $(010)$; celles initialisées avec 
 $x^0=7$ restent en 7.
 avec $x^0 \neq 7$ soit $(111)$ 
 convergent vers $2$ soit $(010)$; celles initialisées avec 
 $x^0=7$ restent en 7.

-Pour les autres modes synchrones avec  une 
-stratégie pseudo périodique, les comportements selon la configuration initiale:
+Pour les  mode unaires ou généralisés  avec  une 
+stratégie pseudo périodique, on a des comportements qui dépendent 
+de la configuration initiale:

 \begin{itemize}
 \item initialisée avec 7, les itérations restent en 7;
 \item initialisée avec 0, 2, 4 ou 6 les itérations convergent vers 2;
 \begin{itemize}
 \item initialisée avec 7, les itérations restent en 7;
 \item initialisée avec 0, 2, 4 ou 6 les itérations convergent vers 2;


@@ -92,47 +140,50 @@ chan sync_mutex=[1] of {bool};
 \end{figure}
 
 
 \end{figure}
 
 

-Les types primaires de PROMELA sont \texttt{bool}, \texttt{byte},
-\texttt{short} et  \texttt{int}. Comme dans le langage C par exemple,
-on peut déclarer des tableaux à une dimension de taille constante 
+% Les types primaires de PROMELA sont \texttt{bool}, \texttt{byte},
+% \texttt{short} et  \texttt{int}.
+Comme en C,
+on peut déclarer des tableaux à une dimension 

 ou des nouveaux types de données (introduites par le mot clef 
 ou des nouveaux types de données (introduites par le mot clef 

-\verb+typedef+). Ces derniers sont utilisés pour définir des tableaux à deux
-dimensions.
+\verb+typedef+). % Ces derniers sont utilisés
+% pour définir des tableaux à deux
+% dimensions.

 
 \begin{xpl}
 Le programme donné à la {\sc Figure}~\ref{fig:arrayofchannels} correspond à des 
 
 \begin{xpl}
 Le programme donné à la {\sc Figure}~\ref{fig:arrayofchannels} correspond à des 

-déclarations de variables qui serviront dans l'exemple jouet de ce chapitre. 
-Il définit tout d'abord:
+déclarations de variables qui servent dans l'exemple de ce chapitre. 
+Il définit:

 \begin{itemize}
 \item les constantes \verb+N+ et \verb+d_0+ qui précisent respectivement le nombre
  $n$ d'éléments et le délais maximum $\delta_0$;
 \item les deux tableaux  (\verb+X+ et \verb+Xp+) de \verb+N+ variables booléennes; 
 les cellules \verb+X[i]+ et \verb+Xp[i]+ sont associées à la variables $x_{i+1}$
 \begin{itemize}
 \item les constantes \verb+N+ et \verb+d_0+ qui précisent respectivement le nombre
  $n$ d'éléments et le délais maximum $\delta_0$;
 \item les deux tableaux  (\verb+X+ et \verb+Xp+) de \verb+N+ variables booléennes; 
 les cellules \verb+X[i]+ et \verb+Xp[i]+ sont associées à la variables $x_{i+1}$

-d'un système dynamique discret 
-(le décalages d'un entier est dû à l'indexation à partir de zéro des cellules d'un tableau);
-Elles  mémorisent les  valeurs de $X_{i+1}$ respectivement avant et après sa mise à jour; 
+d'un système dynamique discret;
+elles  mémorisent les  valeurs de $X_{i+1}$ respectivement avant et après sa mise à jour; 

 il suffit ainsi de comparer  \verb+X+ et \verb+Xp+ pour constater si $x$ à changé ou pas;
 \item le tableau \verb+mods+ contient les éléments qui doivent être modifiés lors de l'itération 
 en cours; cela correspond naturellement à l'ensemble des éléments $s^t$;
 \item le type de données structurées \verb+vals+ et le tableau de tableaux 
  \verb+Xd[+$i$\verb+].v[+$j$\verb+]+ qui vise à mémoriser $x_{j+1}^{D^{t-1}_{i+1j+1}}$
 il suffit ainsi de comparer  \verb+X+ et \verb+Xp+ pour constater si $x$ à changé ou pas;
 \item le tableau \verb+mods+ contient les éléments qui doivent être modifiés lors de l'itération 
 en cours; cela correspond naturellement à l'ensemble des éléments $s^t$;
 \item le type de données structurées \verb+vals+ et le tableau de tableaux 
  \verb+Xd[+$i$\verb+].v[+$j$\verb+]+ qui vise à mémoriser $x_{j+1}^{D^{t-1}_{i+1j+1}}$

- pour l'itération au temps $t$ (en d'autres termes, utile lors du calcul de $x^{t}$).
+ pour l'itération au temps $t$. 
+%(en d'autres termes, utile lors du calcul de $x^{t}$).

 \end{itemize}
 
 
 \end{itemize}
 
 

-Puisque le décalage d'un indices ne change pas fondamentalement 
-le comportement de la version PROMELA par rapport au modèle initial
-et pour des raisons de clarté, on utilisera par la suite la même 
-lettre d'indice entre les deux niveaux (pour le modèle: $x_i$ et pour  PROMELA: 
-\texttt{X[i]}). Cependant, ce décalage devra être conservé mémoire.
+% Puisque le décalage d'un indices ne change pas fondamentalement 
+% le comportement de la version PROMELA par rapport au modèle initial
+% et pour des raisons de clarté, on utilisera par la suite la même 
+% lettre d'indice entre les deux niveaux (pour le modèle: $x_i$ et pour  PROMELA: 
+% \texttt{X[i]}). Cependant, ce décalage devra être conservé mémoire.

 
 

-Une donnée de type \texttt{channel} permet le 
+Déclarée avec le mot clef \verb+chan+, 
+une donnée de type \texttt{channel} permet le 

 transfert de messages entre processus dans un ordre FIFO.
 transfert de messages entre processus dans un ordre FIFO.

-Elles serait déclarée avec le mot clef \verb+chan+ suivi par sa capacité 
-(qui est constante), son nom et le type des messages qui sont stockés dans ce canal.
+% Elles serait  suivi par sa capacité 
+% (qui est constante), son nom et le type des messages qui sont stockés dans ce canal.

 Dans l'exemple précédent, on déclare successivement:
 \begin{itemize}
 Dans l'exemple précédent, on déclare successivement:
 \begin{itemize}

-\item un canal \verb+sent+ qui vise à mémoriser\verb+d_0+ messages de type
+\item un canal \verb+sent+ qui vise à mémoriser \verb+d_0+ messages de type

  \verb+bool+; le tableau nommé \verb+channels+ de \verb+N+*\verb+N+
  éléments de type \verb+a_send+ est utilisé pour mémoriser les valeurs intermédiaires $x_j$;
  Il permet donc de temporiser leur emploi par d'autres elements $i$.
  \verb+bool+; le tableau nommé \verb+channels+ de \verb+N+*\verb+N+
  éléments de type \verb+a_send+ est utilisé pour mémoriser les valeurs intermédiaires $x_j$;
  Il permet donc de temporiser leur emploi par d'autres elements $i$.


@@ -143,8 +194,8 @@ chacun un message booléen et utilisé ensuite comme des sémaphores.
 
 %\subsection{PROMELA Processes} 
 Le langage PROMELA exploite la notion de \emph{process} pour modéliser la concurrence
 
 %\subsection{PROMELA Processes} 
 Le langage PROMELA exploite la notion de \emph{process} pour modéliser la concurrence

-au sein de systèmes. Un process est déclaré avec le mot-clé
-\verb+proctype+  et est  instancié soit immédiatement (lorsque sa déclaration est préfixée 
+au sein de systèmes. Un process est  instancié soit immédiatement
+(lorsque sa déclaration est préfixée 

  par le mot-clef  \verb+active+) ou bien au moment de l'exécution de l'instruction 
 \texttt{run}.
 Parmi tous les process,  \verb+init+ est le process  initial qui permet 
  par le mot-clef  \verb+active+) ou bien au moment de l'exécution de l'instruction 
 \texttt{run}.
 Parmi tous les process,  \verb+init+ est le process  initial qui permet 


@@ -249,7 +300,7 @@ active proctype scheduler(){
 }
 \end{lstlisting}
 \end{tiny}
 }
 \end{lstlisting}
 \end{tiny}

-\caption{Process scheduler pour la stratégie pseudo pérodique.
+\caption{Process scheduler pour la stratégie pseudo périodique.

  \label{fig:scheduler}}
 \end{minipage}
 \begin{minipage}[h]{.30\linewidth}
  \label{fig:scheduler}}
 \end{minipage}
 \begin{minipage}[h]{.30\linewidth}


@@ -289,7 +340,7 @@ ces notions est traduite vers un modèle PROMELA.
 \subsection{La stratégie}\label{sub:spin:strat}
 Regardons comment une stratégie pseudo périodique peut être représentée en PROMELA.
 Intuitivement, un process \verb+scheduler+ (comme représenté à la {\sc Figure}~\ref{fig:scheduler}) 
 \subsection{La stratégie}\label{sub:spin:strat}
 Regardons comment une stratégie pseudo périodique peut être représentée en PROMELA.
 Intuitivement, un process \verb+scheduler+ (comme représenté à la {\sc Figure}~\ref{fig:scheduler}) 

-est iterrativement appelé pour construire chaque $s^t$ représentant 
+est itérativement appelé pour construire chaque $s^t$ représentant 

 les éléments possiblement mis à jour à l'itération $t$.
 
 Basiquement, le process est une boucle qui est débloquée lorsque la valeur du sémaphore
 les éléments possiblement mis à jour à l'itération $t$.
 
 Basiquement, le process est une boucle qui est débloquée lorsque la valeur du sémaphore


@@ -304,7 +355,7 @@ suivi par des mises à jour: ceci est réalisé grâce à la modification de la
 La mise à jour de l'ensemble  $s^t=\{s_1,\ldots, s_m\}$  des éléments qui constituent la stratégie
 $(s^t)^{t \in \Nats}$ est implantée à l'aide du process  \verb+update_elems+ fourni à la 
 {\sc Figure}~\ref{fig:proc}.  
 La mise à jour de l'ensemble  $s^t=\{s_1,\ldots, s_m\}$  des éléments qui constituent la stratégie
 $(s^t)^{t \in \Nats}$ est implantée à l'aide du process  \verb+update_elems+ fourni à la 
 {\sc Figure}~\ref{fig:proc}.  

-Ce process actif attend jusqu'à ce qu'il soit débloqué par le process
+Ce processus actif attend jusqu'à ce qu'il soit débloqué par le process

 \verb+scheduler+  à l'aide du sémaphore \verb+unlock_elements_update+.
 L'implantation se déroule en cinq étapes:
 
 \verb+scheduler+  à l'aide du sémaphore \verb+unlock_elements_update+.
 L'implantation se déroule en cinq étapes:
 


@@ -384,7 +435,7 @@ inline F(){
 \item elle mémorise dans  \texttt{Xd} la valeurs disponible pour chaque élément  grâce à  la fonction \texttt{fetch\_values}; cette fonction est détaillée 
 dans la section suivante;
 \item  une boucle %sur les  \texttt{ar\_len} éléments qui peuvent être modifiés
 \item elle mémorise dans  \texttt{Xd} la valeurs disponible pour chaque élément  grâce à  la fonction \texttt{fetch\_values}; cette fonction est détaillée 
 dans la section suivante;
 \item  une boucle %sur les  \texttt{ar\_len} éléments qui peuvent être modifiés

-  met à jour iterrativement la valeur de $j$ (grâce à l'appel de fonction \texttt{f(j)})
+  met à jour itérativement la valeur de $j$ (grâce à l'appel de fonction \texttt{f(j)})

   pour peu que celui-ci doive être modifié,  \textit{i.e.},   pour peu qu'il soit renseigné dans
   \texttt{mods[count]}; le code source de \texttt{F} est donné en {\sc Figure}~\ref{fig:p} et est une 
   traduction directe de l'application $f$;
   pour peu que celui-ci doive être modifié,  \textit{i.e.},   pour peu qu'il soit renseigné dans
   \texttt{mods[count]}; le code source de \texttt{F} est donné en {\sc Figure}~\ref{fig:p} et est une 
   traduction directe de l'application $f$;


@@ -502,7 +553,7 @@ Il y a deux cas.
 Les valeurs des éléments sont ajoutées dans ce canal au travers de la fonction  \verb+diffuse_values+. L'objectif de cette fonction 
 est de stocker les valeurs de $x$  (représenté
 dans le modèle par \verb+Xp+) dans le canal  \verb+channels+.
 Les valeurs des éléments sont ajoutées dans ce canal au travers de la fonction  \verb+diffuse_values+. L'objectif de cette fonction 
 est de stocker les valeurs de $x$  (représenté
 dans le modèle par \verb+Xp+) dans le canal  \verb+channels+.

-Il permet au modèle-checker SPIN  d'exécuter 
+Il permet au model-checker SPIN  d'exécuter 

 le modèle PROMELA   comme s'il pouvait y avoir des délais entre processus
 Il y a deux cas différents pour la valeur de $X_{j}$:
 \begin{itemize}
 le modèle PROMELA   comme s'il pouvait y avoir des délais entre processus
 Il y a deux cas différents pour la valeur de $X_{j}$:
 \begin{itemize}


@@ -514,7 +565,7 @@ n'y a pas d'arc de $j$ à $i$ dans le graphe d'incidence;
 
 L'introduction de l'indéterminisme  à la fois dans les fonctions \verb+fetch_values+ 
 et \verb+diffuse_values+ est nécessaire dans notre contexte. Si celui-ci n'était 
 
 L'introduction de l'indéterminisme  à la fois dans les fonctions \verb+fetch_values+ 
 et \verb+diffuse_values+ est nécessaire dans notre contexte. Si celui-ci n'était 

-présent que dans la fonction \verb+fetch_values+, nous ne pourrions pas par exemple récupérer *
+présent que dans la fonction \verb+fetch_values+, nous ne pourrions pas par exemple récupérer 

 la valeur $x_i^{(t)}$ sans considérer la valeur $x_i^{(t-1)}$.  
 De manière duale, si le  non déterminisme  était uniquement
 utilisé dans la fonction \verb+diffuse_values+, alors chaque fois qu'une valeur serait 
 la valeur $x_i^{(t)}$ sans considérer la valeur $x_i^{(t-1)}$.  
 De manière duale, si le  non déterminisme  était uniquement
 utilisé dans la fonction \verb+diffuse_values+, alors chaque fois qu'une valeur serait 


@@ -572,20 +623,25 @@ Toutes les preuves sont déplacées en
 annexes~\ref{anx:promela}.
 
 
 annexes~\ref{anx:promela}.
 
 

-\begin{theorem}[Correction]\label{Theo:sound}
+\begin{restatable}[Correction de la traduction vers Promela]{theorem}{promelasound}
+\label{Theo:sound}
+%

   Soit $\phi$ un modèle de système dynamique discret et $\psi$ sa traduction PROMELA.  
   Si $\psi$ vérifie
   la propriété  LTL  (\ref{eq:ltl:conv})  sous hypothèse d'équité faible,  alors
   les itérations de $\phi$ sont universellement convergentes.
   Soit $\phi$ un modèle de système dynamique discret et $\psi$ sa traduction PROMELA.  
   Si $\psi$ vérifie
   la propriété  LTL  (\ref{eq:ltl:conv})  sous hypothèse d'équité faible,  alors
   les itérations de $\phi$ sont universellement convergentes.

-\end{theorem}
-
+\end{restatable}

 
 
 
 

-\begin{theorem}[Complétude]\label{Theo:completeness}
+\begin{restatable}[Complétude de la traduction vers Promela]{theorem}{promelacomplete}
+\label{Theo:completeness}
+%

   Soit $\phi$ un modèle de système dynamique discret et $\psi$ sa traduction.  Si $\psi$ ne vérifie pas 
   la propriété LTL (\ref{eq:ltl:conv}) sous hypothèse d'équité faible,
   alors les itérations de  $\phi$ ne sont pas universellement convergentes.
   Soit $\phi$ un modèle de système dynamique discret et $\psi$ sa traduction.  Si $\psi$ ne vérifie pas 
   la propriété LTL (\ref{eq:ltl:conv}) sous hypothèse d'équité faible,
   alors les itérations de  $\phi$ ne sont pas universellement convergentes.

-\end{theorem}
+\end{restatable}
+
+

 
 
 
 
 
 


@@ -602,7 +658,7 @@ puis présente ensuite les expérimentations issues de ce travail.
   de l'exécution en SPIN de $\psi$ est bornée par $2^{m(\delta_0+1)+n(n+2)}$.
 \end{theorem}
 \begin{Proof}
   de l'exécution en SPIN de $\psi$ est bornée par $2^{m(\delta_0+1)+n(n+2)}$.
 \end{theorem}
 \begin{Proof}

-  Une configuration est une valuation des variables globales.
+  Une configuration est une évaluation des variables globales.

   Leur nombre ne dépend que de celles qui ne sont pas constantes.
 
   Les  variables  \verb+Xp+ et \verb+X+ engendrent  $2^{2n}$ états.
   Leur nombre ne dépend que de celles qui ne sont pas constantes.
 
   Les  variables  \verb+Xp+ et \verb+X+ engendrent  $2^{2n}$ états.


@@ -615,11 +671,11 @@ puis présente ensuite les expérimentations issues de ce travail.
   Le nombre de configurations est donc borné par $2^{m(\delta_0+1)+n(n+2)}$.
   On remarque que cette borne est traitable par SPIN pour des valeurs raisonnables de  $n$, 
   $m$ et $\delta_0$.
   Le nombre de configurations est donc borné par $2^{m(\delta_0+1)+n(n+2)}$.
   On remarque que cette borne est traitable par SPIN pour des valeurs raisonnables de  $n$, 
   $m$ et $\delta_0$.

-  \JFC{Donner un ordre de grandeur de cet ordre de grandeur}
+  %\JFC{Donner un ordre de grandeur de cet ordre de grandeur}

   
 \end{Proof}
 
   
 \end{Proof}
 

-La méthode détaillée ici a pu être appliquée sur l'exemple jouet
+La méthode détaillée ici a pu être appliquée sur l'exemple

 pour prouver formellement sa convergence universelle.
 
 On peut remarquer que SPIN n'impose l'équité faible qu'entre les process
 pour prouver formellement sa convergence universelle.
 
 On peut remarquer que SPIN n'impose l'équité faible qu'entre les process


@@ -640,7 +696,7 @@ Cependant en raison de l'explosion de la taille du produit entre
 l'automate de Büchi issu de cette formule et celui issu du programme  PROMELA,
 SPIN n'arrive pas à vérifier si la convergence universelle est établie 
 ou non sur des exemples 
 l'automate de Büchi issu de cette formule et celui issu du programme  PROMELA,
 SPIN n'arrive pas à vérifier si la convergence universelle est établie 
 ou non sur des exemples 

-simples\JFC{faire référence à un tel exemple}. 
+simples.%\JFC{faire référence à un tel exemple}. 

 
 Ce problème a été pratiquement résolu en laissant SPIN 
 générer toutes les traces d'exécution,
 
 Ce problème a été pratiquement résolu en laissant SPIN 
 générer toutes les traces d'exécution,


@@ -664,7 +720,8 @@ Dans le cas contraire on doit analyser le contre exemple produit par SPIN.
 
 
 La méthode détaillée ici a été appliquée sur des exemples pour prouver formellement 
 
 
 La méthode détaillée ici a été appliquée sur des exemples pour prouver formellement 

-leur convergence ou leur divergence (\Fig{fig:async:exp}).
+leur convergence ou leur divergence (\Fig{fig:exp:promela}) 
+avec ou sans délais.

 Dans ces expériences, les délais ont été bornés par $\delta_0=10$.
 Dans ce tableau,  $P$ est vrai ($\top$) si et seulement si la convergence 
 universelle 
 Dans ces expériences, les délais ont été bornés par $\delta_0=10$.
 Dans ce tableau,  $P$ est vrai ($\top$) si et seulement si la convergence 
 universelle 


@@ -674,95 +731,93 @@ $T$ est le temps d'exécution sur un  Intel Centrino Dual Core 2 Duo @1.8GHz ave
 pour établir un verdict.
 
 
 pour établir un verdict.
 
 

-\begin{figure}
-\begin{center}
-\begin{tiny}
-\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
-\cline{2-7}
-\multicolumn{1}{c|}{ }
-&\multicolumn{3}{|c|}{Parallèles} & \multicolumn{3}{|c|}{Chaotiques} \\
-\cline{2-7}
-\multicolumn{1}{c|}{ }& 
-P & M & T&
-P & M & T \\
-\hline %\cline{2-7}
-\textit{RE}  &
-$\top$ & 2.7 & 0.01s & 
-$\bot$ & 369.371 & 0.509s \\ 
-\hline %\cline{2-7}
-\cite{RC07} &
-$\bot$ & 2.5 & 0.001s & % RC07_sync.spin
-$\bot$ & 2.5 & 0.01s \\ % RC07_sync_chao_all.spin
-\hline
-\cite{BM99} &
-$\top$ & 36.7 & 12s & % BM99_sync_para.spin
-$\top$ &  &  \\ % BM99_sync_chao.spin
-\hline
-\end{tabular}
-\end{tiny}
-\end{center}
-\caption{Expérimentations avec des itérations synchrones}\label{fig:sync:exp}
-\end{figure} 
-
-
-
-\begin{figure}
-\begin{center}
-\tiny
-\begin{tabular}{|*{13}{c|}}
-\cline{2-13}
-\multicolumn{1}{c|}{ }
-&\multicolumn{6}{|c|}{Mixed Mode} & \multicolumn{6}{|c|}{Only Bounded} \\
-\cline{2-13}
-\multicolumn{1}{c|}{ }
-&\multicolumn{3}{|c|}{Parallel} & \multicolumn{3}{|c|}{Pseudo-Periodic} &
-\multicolumn{3}{|c|}{Parallel} & \multicolumn{3}{|c|}{Pseudo-Periodic} \\
-\cline{2-13}
-\multicolumn{1}{c|}{ }
-&P & M & T &
-P & M & T &
-P & M & T&
-P & M & T \\
-\hline %cline{2-13}
-\textit{RE} & 
-$\top$ & 409 & 1m11s&
-$\bot$ & 370 & 0.54 &
-$\bot$ & 374 & 7.7s&
-$\bot$ & 370 & 0.51s \\
-\hline %\cline{2-13}
-AC2D 
-&$\bot$ & 2.5 & 0.001s  % RC07_async_mixed.spin
-&$\bot$ & 2.5 & 0.01s   % RC07_async_mixed_all.spin
-&$\bot$ & 2.5 & 0.01s   % RC07_async.spin
-&$\bot$ & 2.5 & 0.01s  \\ % RC07_async_all.spin 
-\hline %\cline{2-13}
-\cite{BM99}
-&$\top$ &  &   %BM99_mixed_para.spin 
-&$\top$ &  &    % RC07_async_mixed_all.spin
-&$\bot$ &  &    % RC07_async.spin
-&$\bot$ &  &   \\ % RC07_async_all.spin 
-\hline %\cline{2-13}
-\end{tabular}
-\end{center}
-\caption{Expérimentations avec des itérations asynchrones}\label{fig:async:exp}
+\begin{figure}[ht]
+  \begin{center}
+    \begin{tiny}
+      \subfigure[Sans délais]{
+        \begin{tabular}{|*{7}{c|}}
+          \cline{2-7}
+          \multicolumn{1}{c|}{ }
+          &\multicolumn{3}{|c|}{Synchrones} & \multicolumn{3}{|c|}{Généralisées} \\
+          \cline{2-7}
+          \multicolumn{1}{c|}{ }& 
+          P & M & T&
+          P & M & T \\
+          \hline %\cline{2-7}
+          \textit{RE}  &
+          $\top$ & 2.7 & 0.01s & 
+          $\bot$ & 369.371 & 0.509s \\ 
+          \hline %\cline{2-7}
+          \cite{RC07} &
+          $\bot$ & 2.5 & 0.001s & % RC07_sync.spin
+          $\bot$ & 2.5 & 0.01s \\ % RC07_sync_chao_all.spin
+          \hline
+          \cite{BM99} &
+          $\top$ & 36.7 & 12s & % BM99_sync_para.spin
+          $\top$ &  &  \\ % BM99_sync_chao.spin
+          \hline
+        \end{tabular}
+        \label{fig:sync:exp}  
+      }
+    
+      \subfigure[Avec délais]{
+        \begin{tabular}{|*{13}{c|}}
+          \cline{2-13}
+          \multicolumn{1}{c|}{ }
+          &\multicolumn{6}{|c|}{Mode Mixe} & \multicolumn{6}{|c|}{Seulement borné} \\
+          \cline{2-13}
+          \multicolumn{1}{c|}{ }
+          &\multicolumn{3}{|c|}{Synchrones} & \multicolumn{3}{|c|}{Pseudo-Périodique} &
+          \multicolumn{3}{|c|} {Synchrones} & \multicolumn{3}{|c|}{Pseudo-Périodique} \\
+          \cline{2-13}
+          \multicolumn{1}{c|}{ }
+          &P & M & T &
+          P & M & T &
+          P & M & T&
+          P & M & T \\
+          \hline %cline{2-13}
+          \textit{RE} & 
+          $\top$ & 409 & 1m11s&
+          $\bot$ & 370 & 0.54 &
+          $\bot$ & 374 & 7.7s&
+          $\bot$ & 370 & 0.51s \\
+          \hline %\cline{2-13}
+          AC2D 
+          &$\bot$ & 2.5 & 0.001s  % RC07_async_mixed.spin
+          &$\bot$ & 2.5 & 0.01s   % RC07_async_mixed_all.spin
+          &$\bot$ & 2.5 & 0.01s   % RC07_async.spin
+          &$\bot$ & 2.5 & 0.01s  \\ % RC07_async_all.spin 
+          \hline %\cline{2-13}
+          \cite{BM99}
+          &$\top$ &  &   %BM99_mixed_para.spin 
+          &$\top$ &  &    % RC07_async_mixed_all.spin
+          &$\bot$ &  &    % RC07_async.spin
+          &$\bot$ &  &   \\ % RC07_async_all.spin 
+          \hline %\cline{2-13}
+        \end{tabular}
+        \label{fig:async:exp}
+      }
+    \end{tiny}
+  \end{center}
+  \caption{Résultats des simulations Promela des SDDs}\label{fig:exp:promela}

 \end{figure} 
 
 
 
 \end{figure} 
 
 
 

-L'exemple \textit{RE} est l'exemple jouet de ce chapitre,
+L'exemple \textit{RE} est l'exemple de ce chapitre,

 \cite{RC07} concerne un réseau composé de deux gènes
 à valeur dans $\{0,1,2\}$,
 AC2D est un automate cellulaire  avec 9 elements prenant des
 valeurs booléennes en fonction de 
 de 4 voisins et
 \cite{BM99} consiste en  10 process
 \cite{RC07} concerne un réseau composé de deux gènes
 à valeur dans $\{0,1,2\}$,
 AC2D est un automate cellulaire  avec 9 elements prenant des
 valeurs booléennes en fonction de 
 de 4 voisins et
 \cite{BM99} consiste en  10 process

-qui modifient leur valeur booléennes dans un graphe d'adjacence proche 
+qui modifient leurs valeurs booléennes dans un graphe d'adjacence proche 

 du graphe complet.
 
 
 du graphe complet.
 
 

-L'exemple jouet \textit{RE} a été prouvé comme universellement convergent.
+L'exemple  \textit{RE} a été prouvé comme universellement convergent.

 \JFC{statuer sur AC2D}
 \JFC{statuer sur AC2D}

-Comme la convergence n'est déjà pas établie pour les itérations parallèles
+Comme la convergence n'est déjà pas établie pour les itérations synchrones

 de~\cite{RC07}, il en est donc 
 de même pour les itérations asynchrones.
 La {\sc Figure}~\ref{fig:RC07CE} donne une trace de la sortie de SPIN de menant à la violation 
 de~\cite{RC07}, il en est donc 
 de même pour les itérations asynchrones.
 La {\sc Figure}~\ref{fig:RC07CE} donne une trace de la sortie de SPIN de menant à la violation 


@@ -812,28 +867,7 @@ lorsque pour $\delta_0$ vaut 1. Il ne peut donc y avoir convergence universelle.
  
 \section{Conclusion}
 \label{sec:spin:concl}
  
 \section{Conclusion}
 \label{sec:spin:concl}

-Des méthodes de simulation basées sur des stratégies et des délais générés aléatoirement 
-ont déjà été présentées~\cite{BM99,BCV02}.
-Cependant, comme ces implantations ne sont pas exhaustives, elles ne donnent un résultat 
-formel que lorsqu'elles fournissent un contre-exemple. Lorsqu'elles exhibent une convergence,  
-cela ne permet que donner une intuition de convergence, pas  une preuve.
-Autant que nous sachions, aucune démarche de preuve formelle automatique 
-de convergence n'a jamais été établie. 
-Dans le travail théorique~\cite{Cha06}, Chandrasekaran a montré que les itérations asynchrones sont convergentes 
-si et seulement si on peut construire une fonction de Lyaponov décroissante, mais il ne donne pas de méthode 
-automatique pour construire cette fonction.

 
 

-\JFC{Déplacer ceci dans les perspective}
-Among drawbacks of the method,  one can argue that bounded delays is only 
-realistic in practice for close systems. 
-However, in real large scale distributed systems where bandwidth is weak, 
-this restriction is too strong. In that case, one should only consider that 
-matrix $s^{t}$ follows the  iterations of the system, \textit{i.e.},
-for all $i$, $j$, $1 \le i \le j \le n$,  we have$
-\lim\limits_{t \to \infty} s_{ij}^t = + \infty$. 
-One challenge of this work should consist in weakening this constraint. 
-We plan as future work to take into account other automatic approaches 
-to discharge proofs notably by deductive analysis~\cite{CGK05}.