-% \section{Introduction}
-% \label{S1}
Les réseaux de neurones chaotiques ont été étudiés à de maintes reprises
-par le passé en raison notamment de leurs applications potentielles:
+en raison de leurs applications potentielles:
%les mémoires associatives~\cite{Crook2007267}
-les composants utils à la sécurité comme les fonctions de
+les composants utiles à la sécurité comme les fonctions de
hachage~\cite{Xiao10},
le tatouage numérique~\cite{1309431,Zhang2005759}
ou les schémas de chiffrement~\cite{Lian20091296}.
Dans tous ces cas, l'emploi de fonctions chaotiques est motivé par
-leur comportement imprévisibile et proche de l'aléa.
+leur comportement imprévisible et proche de l'aléa.
Les réseaux de neurones chaotiques peuvent être conçus selon plusieurs
principes. Des neurones modifiant leur état en suivant une fonction non
linéaire son par exemple appelés neurones chaotiques~\cite{Crook2007267}.
L'architecture de réseaux de neurones de type Perceptron multi-couches
-(MLP) n'iterent quant à eux, pas nécesssairement de fonctions chaotiques.
+(MLP) n'itèrent quant à eux, pas nécessairement de fonctions chaotiques.
Il a cependant été démontré que ce sont des approximateurs
universels~\cite{Cybenko89,DBLP:journals/nn/HornikSW89}.
Ils permettent, dans certains cas, de simuler des comportements
physiques chaotiques comme le circuit de Chua~\cite{dalkiran10}.
Parfois~\cite{springerlink:10.1007/s00521-010-0432-2},
-la fonction de transfert de cette famille de réseau celle
+la fonction de transfert de cette famille de réseau et celle
d'initialisation sont toutes les deux définies à l'aide de
fonctions chaotiques.
-
-
Ces réseaux de neurones partagent le fait qu'ils sont qualifiés de
``chaotiques'' sous prétexte qu'ils embarquent une fonction de ce type
-et ce sans aucune preuve rigoureuse. Ce chapitre caractérise la
+et ce sans aucune preuve rigoureuse ne soit fournie.
+Ce chapitre caractérise la
classe des réseaux de neurones MLP chaotiques. Il
s'intéresse ensuite à l'étude de prévisibilité de systèmes dynamiques
discrets chaotiques par cette famille de MLP.
-\JFC{revoir plan}
-
-The remainder of this research work is organized as follows. The next
-section is devoted to the basics of Devaney's chaos. Section~\ref{S2}
-formally describes how to build a neural network that operates
-chaotically. Section~\ref{S3} is devoted to the dual case of checking
-whether an existing neural network is chaotic or not. Topological
-properties of chaotic neural networks are discussed in Sect.~\ref{S4}.
-The Section~\ref{section:translation} shows how to translate such
-iterations into an Artificial Neural Network (ANN), in order to
-evaluate the capability for this latter to learn chaotic behaviors.
-This ability is studied in Sect.~\ref{section:experiments}, where
-various ANNs try to learn two sets of data: the first one is obtained
-by chaotic iterations while the second one results from a non-chaotic
-system. Prediction success rates are given and discussed for the two
-sets. The paper ends with a conclusion section where our contribution
-is summed up and intended future work is exposed.
-
+La section~\ref{S2} définit la construction d'un réseau de neurones
+chaotique selon Devanay. La section~\ref{S3} présente l'approche duale
+de vérification si un réseau de neurones est chaotique ou non.
+La section~\ref{sec:ann:approx} s'intéresse à étudier pratiquement
+si un réseau de
+neurones peut approximer des itération unaires chaotiques. Ces itérations
+étant obtenues à partir de fonctions issues de la démarche détaillée dans
+le chapitre précédent.
+Ce travail a été publié dans~\cite{bcgs12:ij}.
\section{Un réseau de neurones chaotique au sens de Devaney}
\label{S2}
On considère une fonction
-$f:\Bool^n\to\Bool^n$ telle que $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
+$f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
Ainsi $G_{f_u}$ est chaotique d'après le théorème~\ref{Th:CaracIC}.
On considère ici le schéma unaire défini par l'équation (\ref{eq:asyn}).
-On construit un perceptron multi-couche associé à la fonction
+On construit un Perceptron multi-couches associé à la fonction
$F_{f_u}$.
Plus précisément, pour chaque entrée
- $(x,s) \in \mathds{B}^n \times [n]$,
+ $(x,s) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]$,
la couche de sortie doit générer $F_{f_u}(x,s)$.
On peut ainsi lier la couche de sortie avec celle d'entrée pour représenter
les dépendance entre deux itérations successives.
\begin{itemize}
\item Le réseau est initialisé avec le vecteur d'entrée
- $\left(x^0,S^0\right) \mathds{B}^n \times [n]$
+ $\left(x^0,S^0\right) \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]$
et calcule le vecteur de sortie
$x^1=F_{f_u}\left(x^0,S^0\right)$.
- Ce vecteur est publié comme une sortie et est aussi retournée sur la couche d'entrée
+ Ce vecteur est publié comme une sortie et est aussi retourné sur la couche d'entrée
à travers les liens de retours.
\item Lorsque le réseau est activé à la $t^{th}$ itération, l'état du
- système $x^t \in \mathds{B}^n$ reçu depuis la couche de sortie ainsi que le
- premier terme de la sequence $(S^t)^{t \in \Nats}$
- (\textit{i.e.}, $S^0 \in [n]$) servent à construire le nouveau vecteur de sortie.
+ système $x^t \in \mathds{B}^{\mathsf{N}}$ reçu depuis la couche de sortie ainsi que le
+ premier terme de la séquence $(S^t)^{t \in \Nats}$
+ (\textit{i.e.}, $S^0 \in [{\mathsf{N}}]$) servent à construire le nouveau vecteur de sortie.
Ce nouveau vecteur, qui représente le nouvel état du système dynamique, satisfait:
\begin{equation}
- x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,S^0) \in \mathds{B}^n \enspace .
+ x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,S^0) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}} \enspace .
\end{equation}
\end{itemize}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.625]{images/perceptron}
- \caption{Un perceptron équivalent aux itérations unitaires}
+ \caption{Un Perceptron équivalent aux itérations unitaires}
\label{Fig:perceptron}
\end{figure}
Le comportement de ce réseau de neurones est tel que lorsque l'état
-initial est composé de $x^0~\in~\mathds{B}^n$ et d'une séquence
+initial est composé de $x^0~\in~\mathds{B}^{\mathsf{N}}$ et d'une séquence
$(S^t)^{t \in \Nats}$, alors la séquence contenant les vecteurs successifs
publiés $\left(x^t\right)^{t \in \mathds{N}^{\ast}}$ est exactement celle produite
par les itérations unaires décrites à la section~\ref{sec:TIPE12}.
\section{Vérifier si un réseau de neurones est chaotique}
\label{S3}
On s'intéresse maintenant au cas où l'on dispose d'un
-réseau de neurones de type perceptron multi-couches
+réseau de neurones de type Perceptron multi-couches
dont on cherche à savoir s'il est chaotique (parce qu'il a par exemple été
déclaré comme tel) au sens de Devaney.
On considère de plus que sa topologie est la suivante:
-l'entrée est constituée de $n$ bits et un entier, la sortie est constituée de $n$ bits
+l'entrée est constituée de ${\mathsf{N}}$ bits et un entier,
+la sortie est constituée de ${\mathsf{N}}$ bits
et chaque sortie est liée à une entrée par une boucle.
\begin{itemize}
-\item Le réseau est initialisé avec $n$~bits
- $\left(x^0_1,\dots,x^0_n\right)$ et une valeur entière $S^0 \in [n]$.
+\item Le réseau est initialisé avec ${\mathsf{N}}$~bits
+ $\left(x^0_1,\dots,x^0_{\mathsf{N}}\right)$ et une valeur entière $S^0 \in [{\mathsf{N}}]$.
\item A l'itération~$t$, le vecteur
- $\left(x^t_1,\dots,x^t_n\right)$ permet de construire les $n$~bits
- servant de sortie $\left(x^{t+1}_1,\dots,x^{t+1}_n\right)$.
+ $\left(x^t_1,\dots,x^t_{\mathsf{N}}\right)$ permet de construire les ${\mathsf{N}}$~bits
+ servant de sortie $\left(x^{t+1}_1,\dots,x^{t+1}_{\mathsf{N}}\right)$.
\end{itemize}
Le comportement de ce type de réseau de neurones peut être prouvé comme
-étant chaotique en suivant la démarche énoncée maintenant.
-On nomme tout d'abord $F: \mathds{B}^n \times [n] \rightarrow
-\mathds{B}^n$ la fonction qui associe
+étant chaotique en suivant la démarche suivante.
+On nomme tout d'abord $F: \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}] \rightarrow
+\mathds{B}^{\mathsf{N}}$ la fonction qui associe
au vecteur
-$\left(\left(x_1,\dots,x_n\right),s\right) \in \mathds{B}^n \times[n]$
+$\left(\left(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),s\right) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times[{\mathsf{N}}]$
le vecteur
-$\left(y_1,\dots,y_n\right) \in \mathds{B}^n$, où
-$\left(y_1,\dots,y_n\right)$ sont les sorties du réseau neuronal
-àaprès l'initialisation de la couche d'entrée avec
-$\left(s,\left(x_1,\dots, x_n\right)\right)$. Ensuite, on définie $f:
-\mathds{B}^n \rightarrow \mathds{B}^n$ telle que
-$f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)$ est égal à
+$\left(y_1,\dots,y_{\mathsf{N}}\right) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}}$, où
+$\left(y_1,\dots,y_{\mathsf{N}}\right)$ sont les sorties du réseau neuronal
+après l'initialisation de la couche d'entrée avec
+$\left(s,\left(x_1,\dots, x_{\mathsf{N}}\right)\right)$. Ensuite, on définie $f:
+\mathds{B}^{\mathsf{N}} \rightarrow \mathds{B}^{\mathsf{N}}$ telle que
+$f\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right)$ est égal à
\begin{equation}
-\left(F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right),1\right),\dots,
- F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right),n\right) \enspace .
+\left(
+ F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),1\right),\dots,
+ F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),{\mathsf{N}}\right)
+\right).
\end{equation}
-Ainsi pour chaque $j$, $1 \le j \le n$, on a
-$f_j\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) =
-F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right),j\right)$.
+Ainsi pour chaque $j$, $j \in [{\mathsf{N}}]$, on a
+$f_j\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right) =
+F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),j\right)$.
Si ce réseau de neurones est initialisé avec
-$\left(x_1^0,\dots,x_n^0\right)$ et $S \in [n]^{\mathds{N}}$,
+$\left(x_1^0,\dots,x_{\mathsf{N}}^0\right)$ et $S \in [{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$,
il produit exactement les même sorties que les itérations de $F_{f_u}$ avec une
-condition initiale $\left((x_1^0,\dots, x_n^0),S\right) \in \mathds{B}^n \times [n]^{\mathds{N}}$.
+condition initiale $\left((x_1^0,\dots, x_{\mathsf{N}}^0),S\right) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$.
Les itérations de $F_{f_u}$
sont donc un modèle formel de cette classe de réseau de neurones.
Pour vérifier si un de ces représentants est chaotique, il suffit ainsi
$\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
-\section{Un réseau de neurones peut-il approximer
-des itération unaires chaotiques?}
+\section[Approximation des itérations unaires chaotiques par RN]{Un réseau de neurones peut-il approximer
+des itération unaires chaotiques?}\label{sec:ann:approx}
Cette section s'intéresse à étudier le comportement d'un réseau de neurones
face à des itérations unaires chaotiques, comme définies à
la section~\ref{sec:TIPE12}.
-Plus précésment, on considère dans cette partie une fonction dont le graphe
+Plus précisément, on considère dans cette partie une fonction dont le graphe
des itérations unaires est fortement connexe et une séquence dans
-$[n]^{\mathds{N}}$. On cherche à construire un réseau de neurones
+$[{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$. On cherche à construire un réseau de neurones
qui approximerait les itérations de la fonction $G_{f_u}$ comme définie
à l'équation~(\ref{eq:sch:unaire}).
Dans le premier cas, on considère une entrée booléenne par élément
tandis que dans le second cas, les configurations sont mémorisées comme
des entiers naturels. Dans ce dernier cas, une approche naïve pourrait
-consister à attribuer à chaque configuration de $\Bool^n$
+consister à attribuer à chaque configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$
l'entier naturel naturel correspondant.
Cependant, une telle représentation rapproche
arbitrairement des configurations diamétralement
-opposées dans le $n$-cube comme une puissance de
+opposées dans le ${\mathsf{N}}$-cube comme une puissance de
deux et la configuration immédiatement précédente: 10000 serait modélisée
-par 16 et et 01111 par 15 alros que leur distance de Hamming est 15.
+par 16 et et 01111 par 15 alors que leur distance de Hamming est 15.
De manière similaire, ce codage éloigne des configurations qui sont
très proches: par exemple 10000 et 00000 ont une distance de Hamming
de 1 et sont respectivement représentées par 16 et 0.
Pour ces raisons, le codage retenu est celui des codes de Gray~\cite{Gray47}.
Concentrons nous sur la traduction de la stratégie.
-Il n'est naturellement pas possible de traduire une stragtégie
+Il n'est naturellement pas possible de traduire une stratégie
infinie quelconque à l'aide d'un nombre fini d'éléments.
On se restreint donc à des stratégies de taille
-$l \in \llbracket 2,k\rrbracket$, où $k$ est un parametre défini
+$l$, $2 \le l \le k$, où $k$ est un paramètre défini
initialement.
Chaque stratégie est mémorisée comme un entier naturel exprimé en base
-$n+1$: à chaque itération, soit aucun élément n'est modifié, soit un
+${\mathsf{N}}+1$: à chaque itération, soit aucun élément n'est modifié, soit un
élément l'est.
-Enfin, on donne une dernière entrée: $m \in \llbracket
-1,l-1\rrbracket$, qui est le nombre d'itérations successives que l'on applique
+Enfin, on donne une dernière entrée: $m \in [l-1]
+$, qui est le nombre d'itérations successives que l'on applique
en commençant à $x$.
Les sorties (stratégies et configurations) sont mémorisées
selon les mêmes règles.
-Concentrons nous sur la complexité du problèmew.
+Concentrons nous sur la complexité du problème.
Chaque entrée, de l'entrée-sortie de l'outil est un triplet
composé d'une configuration $x$, d'un extrait $S$ de la stratégie à
-itérer de taille $l \in \llbracket 2, k\rrbracket$ et d'un nombre $m \in \llbracket 1, l-1\rrbracket$ d'itérations à exécuter.
-Il y a $2^n$ configurations $x$ et $n^l$ stratégies de
+itérer de taille $l$, $2 \le l \le k$ et d'un nombre $m \in [l-1]$ d'itérations à exécuter.
+Il y a $2^{\mathsf{N}}$ configurations $x$ et ${\mathsf{N}}^l$ stratégies de
taille $l$.
De plus, pour une configuration donnée, il y a
-$\omega = 1 \times n^2 + 2 \times n^3 + \ldots+ (k-1) \times n^k$
+$\omega = 1 \times {\mathsf{N}}^2 + 2 \times {\mathsf{N}}^3 + \ldots+ (k-1) \times {\mathsf{N}}^k$
manières d'écrire le couple $(m,S)$. Il n'est pas difficile d'établir que
\begin{equation}
-\displaystyle{(n-1) \times \omega = (k-1)\times n^{k+1} - \sum_{i=2}^k n^i} \nonumber
+\displaystyle{({\mathsf{N}}-1) \times \omega = (k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1} - \sum_{i=2}^k {\mathsf{N}}^i} \nonumber
\end{equation}
donc
\begin{equation}
\omega =
-\dfrac{(k-1)\times n^{k+1}}{n-1} - \dfrac{n^{k+1}-n^2}{(n-1)^2} \enspace . \nonumber
+\dfrac{(k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1}}{{\mathsf{N}}-1} - \dfrac{{\mathsf{N}}^{k+1}-{\mathsf{N}}^2}{({\mathsf{N}}-1)^2} \enspace . \nonumber
\end{equation}
\noindent
Ainsi le nombre de paire d'entrée-sortie pour les réseaux de neurones considérés
est
$$
-2^n \times \left(\dfrac{(k-1)\times n^{k+1}}{n-1} - \dfrac{n^{k+1}-n^2}{(n-1)^2}\right) \enspace .
+2^{\mathsf{N}} \times \left(\dfrac{(k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1}}{{\mathsf{N}}-1} - \dfrac{{\mathsf{N}}^{k+1}-{\mathsf{N}}^2}{({\mathsf{N}}-1)^2}\right) \enspace .
$$
Par exemple, pour $4$ éléments binaires et une stratégie d'au plus
-$3$~termes on obtient 2304 couples d'entrée-sorties.
+$3$~termes on obtient 2304 couples d'entrée-sortie.
\subsection{Expérimentations}
-\label{section:experiments}
-On se focalise dans cette section sur l'entraînement d'un perceptron
-multi-couche pour apprendre des itérations chaotiques. Ce type de réseau
+\label{section:ann:experiments}
+On se focalise dans cette section sur l'entraînement d'un MLP
+pour apprendre des itérations chaotiques. Ce type de réseau
ayant déjà été évalué avec succès dans la prédiction de
séries chaotiques temporelles. En effet, les auteurs de~\cite{dalkiran10}
ont montré qu'un MLP pouvait apprendre la dynamique du circuit de Chua.
Ce réseau avec rétropropagation est composé de deux couches
-et entrainé à l'aide d'une propagation arrière Bayesienne.
+et entraîné à l'aide d'une propagation arrière Bayesienne.
-Le choix de l'achitecture du réseau ainsi que de la méthode d'apprentissage
+Le choix de l'architecture du réseau ainsi que de la méthode d'apprentissage
ont été détaillé dans~\cite{bcgs12:ij}.
En pratique, nous avons considéré des configurations de
quatre éléments booléens
\hline
\hline
\multicolumn{2}{|c||}{Neurones cachés} & \multicolumn{3}{c|}{10 neurones} \\
-\cline{3-5}
+\hline
\multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\
\hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$ }}&Entrée~(1) & 90.92\% & 91.75\% & 91.82\% \\
-& Entrée~(2) & 69.32\% & 78.46\% & 82.15\% \\
-& Entrée~(3) & 68.47\% & 78.49\% & 82.22\% \\
-& Entrée~(4) & 91.53\% & 92.37\% & 93.4\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$ }}&Sortie~(1) & 90.92\% & 91.75\% & 91.82\% \\
+& Sortie~(2) & 69.32\% & 78.46\% & 82.15\% \\
+& Sortie~(3) & 68.47\% & 78.49\% & 82.22\% \\
+& Sortie~(4) & 91.53\% & 92.37\% & 93.4\% \\
& Config. & 36.10\% & 51.35\% & 56.85\% \\
& Stratégie~(5) & 1.91\% & 3.38\% & 2.43\% \\
\hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic $f$}}&Entrée~(1) & 97.64\% & 98.10\% & 98.20\% \\
-& Entrée~(2) & 95.15\% & 95.39\% & 95.46\% \\
-& Entrée~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\
-& Entrée~(4) & 97.47\% & 97.90\% & 97.99\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic $f$}}&Sortie~(1) & 97.64\% & 98.10\% & 98.20\% \\
+& Sortie~(2) & 95.15\% & 95.39\% & 95.46\% \\
+& Sortie~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\
+& Sortie~(4) & 97.47\% & 97.90\% & 97.99\% \\
& Config. & 90.52\% & 91.59\% & 91.73\% \\
& Stratégie~(5) & 3.41\% & 3.40\% & 3.47\% \\
\hline
\hline
\multicolumn{2}{|c||}{Neurones cachés} & \multicolumn{3}{c|}{25 neurones} \\
-\cline{3-5} \\%& \multicolumn{3}{|c|}{40 neurons} \\
+%\cline{3-5} \\%& \multicolumn{3}{|c|}{40 neurons} \\
+\hline
\multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\ %& 125 & 250 & 500 \\
\hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$}}&Entrée~(1) & 91.65\% & 92.69\% & 93.93\% \\ %& 91.94\% & 92.89\% & 94.00\% \\
-& Entrée~(2) & 72.06\% & 88.46\% & 90.5\% \\ %& 74.97\% & 89.83\% & 91.14\% \\
-& Entrée~(3) & 79.19\% & 89.83\% & 91.59\% \\ %& 76.69\% & 89.58\% & 91.84\% \\
-& Entrée~(4) & 91.61\% & 92.34\% & 93.47\% \\% & 82.77\% & 92.93\% & 93.48\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$}}&Sortie~(1) & 91.65\% & 92.69\% & 93.93\% \\ %& 91.94\% & 92.89\% & 94.00\% \\
+& Sortie~(2) & 72.06\% & 88.46\% & 90.5\% \\ %& 74.97\% & 89.83\% & 91.14\% \\
+& Sortie~(3) & 79.19\% & 89.83\% & 91.59\% \\ %& 76.69\% & 89.58\% & 91.84\% \\
+& Sortie~(4) & 91.61\% & 92.34\% & 93.47\% \\% & 82.77\% & 92.93\% & 93.48\% \\
& Config. & 48.82\% & 67.80\% & 70.97\% \\%& 49.46\% & 68.94\% & 71.11\% \\
& Stratégie~(5) & 2.62\% & 3.43\% & 3.78\% \\% & 3.10\% & 3.10\% & 3.03\% \\
\hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotique $f$}}&Entrée~(1) & 97.87\% & 97.99\% & 98.03\% \\ %& 98.16\% \\
-& Entrée~(2) & 95.46\% & 95.84\% & 96.75\% \\ % & 97.4\% \\
-& Entrée~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\%& 100\% \\
-& Entrée~(4) & 97.77\% & 97.82\% & 98.06\% \\%& 98.31\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotique $f$}}&Sortie~(1) & 97.87\% & 97.99\% & 98.03\% \\ %& 98.16\% \\
+& Sortie~(2) & 95.46\% & 95.84\% & 96.75\% \\ % & 97.4\% \\
+& Sortie~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\%& 100\% \\
+& Sortie~(4) & 97.77\% & 97.82\% & 98.06\% \\%& 98.31\% \\
& Config. & 91.36\% & 91.99\% & 93.03\% \\%& 93.98\% \\
& Stratégie~(5) & 3.37\% & 3.44\% & 3.29\% \\%& 3.23\% \\
\hline
figures~\ref{Fig:chaotic_predictions} et~\ref{Fig:non-chaotic_predictions}.
De plus, comme dans le codage précédent, les stratégies ne peuvent pas être
prédites.
-On constate que ce second codage réduit certe le nombre de sorties, mais est
+On constate que ce second codage réduit certes le nombre de sorties, mais est
largement moins performant que le premier.
On peut expliquer ceci par le fait
que ce second codage garantit que deux entiers successifs correspondent
-à deux configurations voisines, \textit{ie.e}, qui ne diffèrent que d'un
+à deux configurations voisines, \textit{i.e.}, qui ne diffèrent que d'un
élément.
La réciproque n'est cependant pas établie et deux configurations voisines
-peuvent être traduitent par des entiers très éloignés et ainsi difficils
-àapprendre.
+peuvent être traduites par des entiers très éloignés et ainsi difficiles
+ à apprendre.
\begin{figure}[ht]
\section{Conclusion}
-Dans ce chapitre, nous avons établi une simlilitude entre les itérations
-chaotiques et une famille de perceptrons multicouches.
+Dans ce chapitre, nous avons établi une similitude entre les itérations
+chaotiques et une famille de Perceptrons multi-couches.
Nous avons d'abord montré comment construire un réseau de neurones
ayant un comportement chaotique.
Nous avons présenté ensuite comment vérifier si un réseau de neurones
Nous avons enfin montré en pratique qu'il est difficile pour un
réseau de neurones d'apprendre le comportement global d'itérations
chaotiques.
+Comme il est difficile (voir impossible) d'apprendre le comportement
+de telles fonction, il paraît naturelle de savoir si celles ci peuvent être
+utilisées pour générer des nombres pseudo aléatoires, ce que propose la partie
+suivante.
+
+
% \appendix{}
% \begin{Def} \label{def2}
