X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/02fd942d6a30fe7197b732c94450ca466b7a49f5..c1f6ce3a24b92bfb8dd4da3d9092666c73adbcc9:/chaosANN.tex?ds=sidebyside

diff --git a/chaosANN.tex b/chaosANN.tex
index 4ea34b9..143ce23 100644
--- a/chaosANN.tex
+++ b/chaosANN.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 
 Les réseaux de neurones chaotiques ont été étudiés à de maintes reprises 
-par le passé en raison notamment de leurs applications potentielles:
+en raison de leurs applications potentielles:
 %les mémoires associatives~\cite{Crook2007267}  
 les  composants utiles à la  sécurité comme les fonctions de 
 hachage~\cite{Xiao10},
@@ -12,15 +12,17 @@ leur comportement imprévisible et proche de l'aléa.
 
 Les réseaux de neurones chaotiques peuvent être conçus selon plusieurs 
 principes. Des neurones modifiant leur état en suivant une fonction non 
-linéaire son par exemple appelés neurones chaotiques~\cite{Crook2007267}.
+linéaire sont par exemple appelés neurones chaotiques~\cite{Crook2007267}.
 L'architecture de réseaux de neurones de type Perceptron multi-couches
-(MLP) n'itèrent quant à eux, pas nécessairement de fonctions chaotiques.
+(MLP) n'itèrent quant à eux classiquement pas de fonction chaotique:
+leurs fonctions d'activation sont usuellement choisies parmi les sigmoïdes 
+(la fonction tangeante hyperbolique par exemple). 
 Il a cependant été démontré  que ce sont des approximateurs 
 universels~\cite{Cybenko89,DBLP:journals/nn/HornikSW89}.   
 Ils permettent, dans certains cas, de simuler des comportements 
 physiques chaotiques comme le  circuit de Chua~\cite{dalkiran10}.  
 Parfois~\cite{springerlink:10.1007/s00521-010-0432-2},
-la fonction de transfert de cette famille de réseau celle 
+la fonction de transfert de cette famille de réseau et celle 
 d'initialisation sont toutes les deux définies à l'aide de 
 fonctions chaotiques. 
 
@@ -28,7 +30,8 @@ fonctions chaotiques.
 
 Ces réseaux de neurones partagent le fait qu'ils sont qualifiés de 
 ``chaotiques'' sous prétexte qu'ils embarquent une fonction de ce type 
-et ce sans aucune preuve rigoureuse. Ce chapitre caractérise la 
+et ce sans qu'aucune preuve rigoureuse ne soit fournie.
+Ce chapitre caractérise la 
 classe des réseaux de neurones MLP chaotiques. Il  
 s'intéresse ensuite à l'étude de prévisibilité de systèmes dynamiques
 discrets chaotiques par cette famille de MLP.
@@ -38,58 +41,60 @@ chaotique selon Devanay. La section~\ref{S3} présente l'approche duale
 de vérification si un réseau de neurones est chaotique ou non.
 La section~\ref{sec:ann:approx} s'intéresse à étudier pratiquement
 si un réseau de 
-neurones peut approximer des itération unaires chaotiques. Ces itérations
-étant obtenues à partir de fonction générées à l'aide du chapitre précédent.
-
+neurones peut approximer des itérations unaires chaotiques, 
+ces itérations
+étant obtenues à partir de fonctions issues de la démarche détaillée dans 
+le chapitre précédent.
+Ce travail a été publié dans~\cite{bcgs12:ij}.
 
 \section{Un réseau de neurones chaotique au sens de Devaney}
 \label{S2}
 
 On considère une fonction 
-$f:\Bool^n\to\Bool^n$ telle que  $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
+$f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 Ainsi $G_{f_u}$ est chaotique d'après le théorème~\ref{Th:CaracIC}.
 
 On considère ici le schéma unaire défini par l'équation (\ref{eq:asyn}).
 On construit un Perceptron multi-couches associé à la fonction  
 $F_{f_u}$. 
 Plus précisément, pour chaque entrée 
- $(x,s)   \in  \mathds{B}^n \times [n]$,
+ $(x,s)   \in  \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]$,
 la couche de sortie doit générer $F_{f_u}(x,s)$.   
 On peut ainsi lier la couche de sortie avec celle d'entrée pour représenter 
-les dépendance entre deux itérations successives.
+les dépendances entre deux itérations successives.
 On obtient une réseau de neurones dont le comportement est le suivant 
 (voir Figure.~\ref{Fig:perceptron}):
 
 \begin{itemize}
 \item   Le réseau est initialisé avec le vecteur d'entrée
-  $\left(x^0,S^0\right)  \mathds{B}^n \times [n]$      
+  $\left(x^0,S^0\right)  \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]$      
   et calcule le  vecteur de sortie 
   $x^1=F_{f_u}\left(x^0,S^0\right)$. 
-  Ce vecteur est publié comme une sortie et est aussi retournée sur la couche d'entrée 
-  à travers les liens de retours.
-\item Lorsque le réseau est  activé à la $t^{th}$  itération, l'état du 
-  système $x^t  \in \mathds{B}^n$ reçu depuis la couche de sortie ainsi que le 
+  Ce vecteur est publié comme une sortie et est aussi retourné sur la couche d'entrée 
+  à travers les liens de retour.
+\item Lorsque le réseau est  activé à la $t^{\textrm{ème}}$  itération, l'état du 
+  système $x^t  \in \mathds{B}^{\mathsf{N}}$ reçu depuis la couche de sortie ainsi que le 
   premier terme de la  séquence $(S^t)^{t  \in \Nats}$
-  (\textit{i.e.},  $S^0  \in [n]$)  servent à construire le nouveau vecteur de sortie.
+  (\textit{i.e.},  $S^0  \in [{\mathsf{N}}]$)  servent à construire le nouveau vecteur de sortie.
   Ce nouveau vecteur, qui représente le nouvel état du système dynamique, satisfait:
   \begin{equation}
-    x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,S^0) \in \mathds{B}^n \enspace .
+    x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,S^0) \in \mathds{B}^{\mathsf{N}} \enspace .
   \end{equation}
 \end{itemize}
 
 \begin{figure}
   \centering
   \includegraphics[scale=0.625]{images/perceptron}
-  \caption{Un Perceptron équivalent  aux itérations unitaires}
+  \caption{Un Perceptron équivalent  aux itérations unaires}
   \label{Fig:perceptron}
 \end{figure}
 
 Le comportement de ce réseau de neurones est tel que lorsque l'état 
-initial est composé de $x^0~\in~\mathds{B}^n$ et d'une séquence
+initial est composé de $x^0~\in~\mathds{B}^{\mathsf{N}}$ et d'une séquence
  $(S^t)^{t  \in \Nats}$, alors la séquence  contenant les vecteurs successifs 
 publiés $\left(x^t\right)^{t \in \mathds{N}^{\ast}}$ est exactement celle produite 
 par les itérations unaires décrites à la section~\ref{sec:TIPE12}.
-Mathématiquement, cela signifie que si on utilise les mêmes vecteurs d'entrées
+Mathématiquement, cela signifie que si on utilise les mêmes vecteurs d'entrée
 les deux approches génèrent successivement les mêmes sorties.
 En d'autres termes ce réseau de neurones modélise le comportement de  
 $G_{f_u}$,  dont les itérations sont chaotiques sur $\mathcal{X}_u$.
@@ -102,49 +107,52 @@ réseau de neurones de type Perceptron multi-couches
 dont on cherche à savoir s'il est chaotique (parce qu'il a par exemple été 
 déclaré comme tel) au sens de Devaney. 
 On considère de plus que sa topologie est la suivante:
-l'entrée est constituée de  $n$ bits et un entier, la sortie est constituée de $n$ bits
+l'entrée est constituée de  ${\mathsf{N}}$ bits et un entier, 
+la sortie est constituée de ${\mathsf{N}}$ bits
 et chaque sortie est liée à une entrée par une boucle.
 
 \begin{itemize}
-\item Le réseau est initialisé avec  $n$~bits
-   $\left(x^0_1,\dots,x^0_n\right)$ et une valeur entière $S^0 \in [n]$.
+\item Le réseau est initialisé avec  ${\mathsf{N}}$~bits
+   $\left(x^0_1,\dots,x^0_{\mathsf{N}}\right)$ et une valeur entière $S^0 \in [{\mathsf{N}}]$.
 \item  A l'itération~$t$,     le vecteur 
-  $\left(x^t_1,\dots,x^t_n\right)$  permet de construire les $n$~bits 
-  servant de sortie $\left(x^{t+1}_1,\dots,x^{t+1}_n\right)$.
+  $\left(x^t_1,\dots,x^t_{\mathsf{N}}\right)$  permet de construire les ${\mathsf{N}}$~bits 
+  servant de sortie $\left(x^{t+1}_1,\dots,x^{t+1}_{\mathsf{N}}\right)$.
 \end{itemize}
 
 Le comportement de ce type de réseau de neurones peut être prouvé comme 
-étant chaotique en suivant la démarche énoncée maintenant.
-On nomme tout d'abord $F:    \mathds{B}^n  \times [n] \rightarrow
-\mathds{B}^n$     la      fonction qui associe  
+étant chaotique en suivant la démarche suivante.
+On nomme tout d'abord $F:    \mathds{B}^{\mathsf{N}}  \times [{\mathsf{N}}] \rightarrow
+\mathds{B}^{\mathsf{N}}$     la      fonction qui associe  
 au vecteur 
-$\left(\left(x_1,\dots,x_n\right),s\right)    \in   \mathds{B}^n \times[n]$ 
+$\left(\left(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),s\right)    \in   \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times[{\mathsf{N}}]$ 
 le vecteur 
-$\left(y_1,\dots,y_n\right)       \in       \mathds{B}^n$, où
-$\left(y_1,\dots,y_n\right)$  sont les sorties du réseau neuronal
+$\left(y_1,\dots,y_{\mathsf{N}}\right)       \in       \mathds{B}^{\mathsf{N}}$, où
+$\left(y_1,\dots,y_{\mathsf{N}}\right)$  sont les sorties du réseau neuronal
 après l'initialisation de la couche d'entrée avec 
-$\left(s,\left(x_1,\dots, x_n\right)\right)$.  Ensuite, on définie $f:
-\mathds{B}^n       \rightarrow      \mathds{B}^n$  telle que 
-$f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)$ est égal à 
+$\left(s,\left(x_1,\dots, x_{\mathsf{N}}\right)\right)$.  Ensuite, on définie $f:
+\mathds{B}^{\mathsf{N}}       \rightarrow      \mathds{B}^{\mathsf{N}}$  telle que 
+$f\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right)$ est égal à 
 \begin{equation}
-\left(F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right),1\right),\dots,
-  F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right),n\right) \enspace .
+\left(
+  F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),1\right),\dots,
+  F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),{\mathsf{N}}\right) 
+\right).
 \end{equation}
-Ainsi pour chaque $j$, $1 \le j \le n$, on a 
-$f_j\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right) = 
-F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right),j\right)$.
+Ainsi pour chaque $j$, $j \in [{\mathsf{N}}]$, on a 
+$f_j\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right) = 
+F\left(\left(x_1,x_2,\dots,x_{\mathsf{N}}\right),j\right)$.
 Si ce réseau de neurones est initialisé avec 
-$\left(x_1^0,\dots,x_n^0\right)$   et $S   \in    [n]^{\mathds{N}}$, 
-il produit exactement les même sorties que les itérations de  $F_{f_u}$ avec une 
-condition initiale $\left((x_1^0,\dots,  x_n^0),S\right)  \in  \mathds{B}^n \times [n]^{\mathds{N}}$.
+$\left(x_1^0,\dots,x_{\mathsf{N}}^0\right)$   et $S   \in    [{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$, 
+il produit exactement les mêmes sorties que les itérations de  $F_{f_u}$ avec une 
+condition initiale $\left((x_1^0,\dots,  x_{\mathsf{N}}^0),S\right)  \in  \mathds{B}^{\mathsf{N}} \times [{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$.
 Les itérations de $F_{f_u}$ 
-sont donc un modèle formel de cette classe de réseau de neurones.
+sont donc un modèle formel de cette classe de réseaux de neurones.
 Pour vérifier si un de ces représentants est chaotique, il suffit ainsi 
 de vérifier si le graphe d'itérations
 $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 
 
-\section{Un réseau de neurones peut-il approximer
+\section[Approximation des itérations unaires chaotiques par RN]{Un réseau de neurones peut-il approximer
 des itération unaires chaotiques?}\label{sec:ann:approx}
 
 Cette section s'intéresse à étudier le comportement d'un réseau de neurones 
@@ -152,17 +160,17 @@ face à des itérations unaires chaotiques, comme définies à
 la section~\ref{sec:TIPE12}.
 Plus précisément, on considère dans cette partie une fonction  dont le graphe 
 des itérations unaires est fortement connexe et une séquence dans 
-$[n]^{\mathds{N}}$. On cherche à construire un réseau de neurones
+$[{\mathsf{N}}]^{\mathds{N}}$. On cherche à construire un réseau de neurones
 qui approximerait les itérations de la fonction $G_{f_u}$ comme définie 
 à l'équation~(\ref{eq:sch:unaire}).
 
 Sans perte de généralité, on considère dans ce qui suit une instance
-de de fonction à quatre éléments.
+ de fonction à quatre éléments.
 
 \subsection{Construction du réseau} 
 \label{section:translation}
 
-On considère par exemple les deux fonctions $f$ and $g$ de $\Bool^4$
+On considère par exemple les deux fonctions $f$ et $g$ de $\Bool^4$
 dans $\Bool^4$ définies par:
 
 \begin{eqnarray*}
@@ -191,11 +199,11 @@ mémoriser des configurations. On en considère deux principalement.
 Dans le premier cas, on considère une entrée booléenne par élément
 tandis que dans le second cas, les configurations  sont mémorisées comme 
 des entiers naturels. Dans ce dernier cas, une approche naïve pourrait 
-consister à attribuer à chaque configuration de $\Bool^n$ 
-l'entier naturel naturel correspondant.
+consister à attribuer à chaque configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$ 
+l'entier naturel correspondant.
 Cependant, une telle représentation rapproche 
 arbitrairement des configurations diamétralement
-opposées dans le $n$-cube comme  une puissance de
+opposées dans le ${\mathsf{N}}$-cube comme  une puissance de
 deux et la configuration immédiatement précédente: 10000 serait modélisée 
 par 16 et  et 01111 par 15 alors que leur distance de Hamming est 15.
 De manière similaire, ce codage éloigne des configurations qui sont 
@@ -207,55 +215,56 @@ Concentrons nous sur la traduction de la stratégie.
 Il n'est naturellement pas possible de traduire une stratégie 
 infinie quelconque à l'aide d'un nombre fini d'éléments.
 On se restreint donc à des stratégies de taille 
-$l \in \llbracket 2,k\rrbracket$, où $k$ est un paramètre défini
+$l$, $2 \le l \le k$, où $k$ est un paramètre défini
 initialement. 
 Chaque stratégie est mémorisée comme un entier naturel exprimé en base 
-$n+1$: à chaque itération, soit aucun élément n'est modifié, soit un 
+${\mathsf{N}}+1$: à chaque itération, soit aucun élément n'est modifié, soit un 
 élément l'est. 
-Enfin, on donne une dernière entrée: $m  \in \llbracket
-1,l-1\rrbracket$, qui est le nombre d'itérations successives que l'on applique 
+Enfin, on donne une dernière entrée: $m  \in [l-1]
+$, qui est le nombre d'itérations successives que l'on applique 
 en commençant à $x$. 
 Les sorties (stratégies et configurations) sont mémorisées 
 selon les mêmes règles.
 
 Concentrons nous sur la complexité du problème.
-Chaque entrée, de l'entrée-sortie de l'outil est un triplet 
+Chaque entrée de l'entrée-sortie de l'outil est un triplet 
 composé d'une configuration $x$, d'un extrait  $S$ de la stratégie à 
-itérer de taille $l \in \llbracket 2, k\rrbracket$ et d'un nombre $m \in  \llbracket 1, l-1\rrbracket$ d'itérations à exécuter.
-Il y a  $2^n$  configurations $x$ et  $n^l$ stratégies de
+itérer de taille $l$, $2 \le l \le  k$ et d'un nombre $m \in [l-1]$ d'itérations à exécuter.
+Il y a  $2^{\mathsf{N}}$  configurations $x$ et  ${\mathsf{N}}^l$ stratégies de
 taille $l$. 
 De plus, pour une  configuration donnée, il y a 
-$\omega = 1 \times n^2 +  2 \times n^3 + \ldots+ (k-1) \times n^k$
+$\omega = 1 \times {\mathsf{N}}^2 +  2 \times {\mathsf{N}}^3 + \ldots+ (k-1) \times {\mathsf{N}}^k$
 manières d'écrire le couple $(m,S)$. Il n'est pas difficile d'établir que 
 \begin{equation}
-\displaystyle{(n-1) \times \omega = (k-1)\times n^{k+1} - \sum_{i=2}^k n^i} \nonumber
+\displaystyle{({\mathsf{N}}-1) \times \omega = (k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1} - \sum_{i=2}^k {\mathsf{N}}^i} \nonumber
 \end{equation}
 donc
 \begin{equation}
 \omega =
-\dfrac{(k-1)\times n^{k+1}}{n-1} - \dfrac{n^{k+1}-n^2}{(n-1)^2} \enspace . \nonumber
+\dfrac{(k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1}}{{\mathsf{N}}-1} - \dfrac{{\mathsf{N}}^{k+1}-{\mathsf{N}}^2}{({\mathsf{N}}-1)^2} \enspace . \nonumber
 \end{equation}
 \noindent
-Ainsi le nombre de paire d'entrée-sortie pour les réseaux de neurones considérés
+Ainsi le nombre de paires d'entrée-sortie pour les réseaux de neurones considérés
 est 
 $$
-2^n \times \left(\dfrac{(k-1)\times n^{k+1}}{n-1} - \dfrac{n^{k+1}-n^2}{(n-1)^2}\right) \enspace .
+2^{\mathsf{N}} \times \left(\dfrac{(k-1)\times {\mathsf{N}}^{k+1}}{{\mathsf{N}}-1} - \dfrac{{\mathsf{N}}^{k+1}-{\mathsf{N}}^2}{({\mathsf{N}}-1)^2}\right) \enspace .
 $$
 Par exemple, pour $4$   éléments binaires et une stratégie d'au plus 
 $3$~termes on obtient 2304 couples d'entrée-sortie.
 
 \subsection{Expérimentations}
-\label{section:experiments}
-On se focalise dans cette section sur l'entraînement d'un Perceptron 
-multi-couches pour apprendre des itérations chaotiques. Ce type de réseau
+\label{section:ann:experiments}
+On se focalise dans cette section sur l'entraînement d'un MLP
+pour apprendre des itérations chaotiques. Ce type de réseau
 ayant déjà été évalué avec succès dans la prédiction de 
 séries chaotiques temporelles. En effet, les auteurs de~\cite{dalkiran10} 
 ont montré qu'un MLP pouvait apprendre la dynamique du circuit de Chua.
 Ce réseau avec rétropropagation est composé de  deux couches 
 et entraîné à l'aide d'une  propagation arrière Bayesienne.
 
-Le choix de l'architecture du réseau ainsi que de la méthode d'apprentissage 
-ont été détaillé dans~\cite{bcgs12:ij}.
+Les choix de l'architecture de réseau ainsi que ceux concernant les
+ méthodes d'apprentissage 
+ont été détaillés dans~\cite{bcgs12:ij}.
 En pratique, nous avons considéré des configurations de
 quatre éléments booléens 
 et une stratégie fixe de longueur 3.
@@ -274,39 +283,40 @@ section précédente.
 \hline
 \hline
 \multicolumn{2}{|c||}{Neurones cachés} & \multicolumn{3}{c|}{10 neurones} \\
-\cline{3-5} 
+\hline
 \multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\ 
 \hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$ }}&Entrée~(1) & 90.92\% & 91.75\% & 91.82\% \\ 
-& Entrée~(2) & 69.32\% & 78.46\% & 82.15\% \\
-& Entrée~(3) & 68.47\% & 78.49\% & 82.22\% \\
-& Entrée~(4) & 91.53\% & 92.37\% & 93.4\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$ }}&Sortie~(1) & 90.92\% & 91.75\% & 91.82\% \\ 
+& Sortie~(2) & 69.32\% & 78.46\% & 82.15\% \\
+& Sortie~(3) & 68.47\% & 78.49\% & 82.22\% \\
+& Sortie~(4) & 91.53\% & 92.37\% & 93.4\% \\
 & Config. & 36.10\% & 51.35\% & 56.85\% \\
 & Stratégie~(5) & 1.91\% & 3.38\% & 2.43\% \\
 \hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic $f$}}&Entrée~(1) & 97.64\% & 98.10\% & 98.20\% \\
-& Entrée~(2) & 95.15\% & 95.39\% & 95.46\% \\
-& Entrée~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\
-& Entrée~(4) & 97.47\% & 97.90\% & 97.99\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotic $f$}}&Sortie~(1) & 97.64\% & 98.10\% & 98.20\% \\
+& Sortie~(2) & 95.15\% & 95.39\% & 95.46\% \\
+& Sortie~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\
+& Sortie~(4) & 97.47\% & 97.90\% & 97.99\% \\
 & Config. & 90.52\% & 91.59\% & 91.73\% \\
 & Stratégie~(5) & 3.41\% & 3.40\% & 3.47\% \\
 \hline
 \hline
 \multicolumn{2}{|c||}{Neurones cachés} & \multicolumn{3}{c|}{25 neurones} \\
-\cline{3-5} \\%& \multicolumn{3}{|c|}{40 neurons} \\
+%\cline{3-5} \\%& \multicolumn{3}{|c|}{40 neurons} \\
+\hline
 \multicolumn{2}{|c||}{Epochs} & 125 & 250 & 500 \\ %& 125 & 250 & 500 \\ 
 \hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$}}&Entrée~(1) & 91.65\% & 92.69\% & 93.93\% \\ %& 91.94\% & 92.89\% & 94.00\% \\
-& Entrée~(2) & 72.06\% & 88.46\% & 90.5\% \\ %& 74.97\% & 89.83\% & 91.14\% \\
-& Entrée~(3) & 79.19\% & 89.83\% & 91.59\% \\ %& 76.69\% & 89.58\% & 91.84\% \\
-& Entrée~(4) & 91.61\% & 92.34\% & 93.47\% \\% & 82.77\% & 92.93\% & 93.48\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Chaotique $g$}}&Sortie~(1) & 91.65\% & 92.69\% & 93.93\% \\ %& 91.94\% & 92.89\% & 94.00\% \\
+& Sortie~(2) & 72.06\% & 88.46\% & 90.5\% \\ %& 74.97\% & 89.83\% & 91.14\% \\
+& Sortie~(3) & 79.19\% & 89.83\% & 91.59\% \\ %& 76.69\% & 89.58\% & 91.84\% \\
+& Sortie~(4) & 91.61\% & 92.34\% & 93.47\% \\% & 82.77\% & 92.93\% & 93.48\% \\
 & Config. & 48.82\% & 67.80\% & 70.97\% \\%& 49.46\% & 68.94\% & 71.11\% \\
 & Stratégie~(5) & 2.62\% & 3.43\% & 3.78\% \\% & 3.10\% & 3.10\% & 3.03\% \\
 \hline
-\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotique $f$}}&Entrée~(1) & 97.87\% & 97.99\% & 98.03\% \\ %& 98.16\% \\
-& Entrée~(2) & 95.46\% & 95.84\% & 96.75\% \\ % & 97.4\% \\
-& Entrée~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\%& 100\% \\
-& Entrée~(4) & 97.77\% & 97.82\% & 98.06\% \\%& 98.31\% \\
+\multirow{6}{*}{\rotatebox{90}{Non-chaotique $f$}}&Sortie~(1) & 97.87\% & 97.99\% & 98.03\% \\ %& 98.16\% \\
+& Sortie~(2) & 95.46\% & 95.84\% & 96.75\% \\ % & 97.4\% \\
+& Sortie~(3) & 100\% & 100\% & 100\% \\%& 100\% \\
+& Sortie~(4) & 97.77\% & 97.82\% & 98.06\% \\%& 98.31\% \\
 & Config. & 91.36\% & 91.99\% & 93.03\% \\%& 93.98\% \\
 & Stratégie~(5) & 3.37\% & 3.44\% & 3.29\% \\%& 3.23\% \\
 \hline
@@ -360,8 +370,8 @@ apprendre le comportement de la stratégie.
 
 Les résultats concernant le second codage  (\textit{i.e.},  avec les codes
 de   Gray) sont synthétisés dans le tableau~\ref{tab2}. On constate 
-que le réseau apprend cinq fois mieux les comportement non chaotiques
-que ceux qui le sont. Ceci est est illustré au travers des 
+que le réseau apprend cinq fois mieux les comportements non chaotiques
+que ceux qui le sont. Ceci est  illustré au travers des 
 figures~\ref{Fig:chaotic_predictions} et~\ref{Fig:non-chaotic_predictions}.
 De plus, comme dans le codage précédent, les stratégies ne peuvent pas être 
 prédites.  
@@ -411,8 +421,9 @@ Nous avons enfin montré en pratique qu'il est difficile pour un
 réseau de neurones d'apprendre le comportement global d'itérations
 chaotiques.
 Comme il est difficile (voir impossible) d'apprendre le comportement 
-de telles fonction, il paraît naturelle de savoir si celles ci peuvent être 
-utilisées pour générer des nombres pseudo aléatoires.
+de telles fonctions, il paraît naturel de savoir si celles ci peuvent être 
+utilisées pour générer des nombres pseudo-aléatoires, ce que propose la partie
+suivante.
 
 
 % \appendix{}