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diff --git a/stegoyousra.tex b/stegoyousra.tex
index cfda20f..76a70fb 100644
--- a/stegoyousra.tex
+++ b/stegoyousra.tex
@@ -1,10 +1,10 @@
 La plupart des schÃ©mas de stÃ©ganographie sont conÃ§us de sorte  Ã  minimiser une 
 fonction de distorsion. Dans les exemples du chapitre prÃ©cÃ©dent, 
 ces fonctions de distorsion sont construites dans l'objectif de prÃ©server 
-les caractÃ©ristiques de l'images. 
+les caractÃ©ristiques de l'image. 
 On comprend aisÃ©ment que dans des rÃ©gions uniformes ou sur des bords clairement dÃ©finis,
 une modification mÃªme mineure de l'image est facilement dÃ©tectable.
-Au contraire dans les textures, le bruit ou les rÃ©gions chaotiques 
+Au contraire les textures, le bruit ou les rÃ©gions chaotiques 
 sont  difficiles Ã  modÃ©liser. Les caractÃ©ristiques des images 
 dont ces zones ont Ã©tÃ© modifiÃ©es sont ainsi similaires Ã  celles
 des images initiales.
@@ -17,23 +17,26 @@ pour les courbes de niveau.
 Pour peu qu'on sache dÃ©finir une fonction $P$ 
 qui associe Ã  chaque pixel $(x,y)$ sa valeur $P(x,y)$,
 les pixels tels que les dÃ©rivÃ©es secondes de $P$ ont des valeurs Ã©levÃ©es 
-sont des bon candidats pour contenir un bit du message.
+sont des bons candidats pour contenir un bit du message.
 Cependant, une telle fonction $P$ n'est connue que de maniÃ¨re discrÃ¨te,
 \textit{i.e.}, en un nombre fini de points. 
 Les dÃ©rivÃ©es premiÃ¨res et secondes ne peuvent donc pas Ãªtre Ã©valuÃ©es mathÃ©matiquement.
-Au mieux, on peut construire une fonction qui approxime ces $P$ sur cet ensemble 
+Au mieux, on peut construire une fonction qui approxime les 
+dÃ©rivÃ©es de $P$ sur cet ensemble 
 de pixels. Ordonner alors les pixels selon la matrice hessienne 
 (\textit{i.e.}, la matrice des dÃ©rivÃ©es secondes) n'est pas trivial puisque celle-ci 
 contient de nombreuses valeurs pour un seul pixel donnÃ©. 
 
 On verra dans ce chapitre comment des approximations des dÃ©rivÃ©es 
-premiÃ¨res et secondes pour des images numÃ©riques (Section~\ref{sec:gradient}) on peu Ãªtre
+premiÃ¨res et secondes pour des images numÃ©riques (Section~\ref{sec:gradient}) 
+ont pu Ãªtre
 obtenues.
 Deux propositions de dÃ©rivÃ©es secondes sont ensuite 
 donnÃ©es et prouvÃ©es (Section~\ref{sec:second} et Section~\ref{sec:poly}).
 Une adaptation d'une fonction de distorsion existante est Ã©tudiÃ©e
 en Section~\ref{sec:distortion} et des expÃ©riences sont prÃ©sentÃ©es 
 en Section~\ref{sec:experiments}.
+Ce chapitre a Ã©tÃ© publiÃ© dans~\cite{ccfg16:ip}.
 
 
 
@@ -70,8 +73,9 @@ En un pixel $(x_0,y_0)$, plus les valeurs de cette matrice sont Ã©loignÃ©es de z
 plus le gradient varie en ce point. Ãvaluer ce type de matrice est ainsi primordial
 en stÃ©ganographie. Cependant cette tÃ¢che n'est pas aussi triviale qu'elle n'y 
 paraÃ®t puisque les images naturelles ne sont pas  dÃ©finies Ã  l'aide 
-de fonction diffÃ©rentiables de $\R^+\times \R^+$
-dans $\R^+$. La suite montre comment obtenir des approximations de telles matrices. 
+de fonctions diffÃ©rentiables de $\R^+\times \R^+$
+dans $\R^+$. 
+La suite montre comment obtenir des approximations de telles matrices. 
 
 \subsection{Approches classiques pour Ã©valuer le gradient dans des images}\label{sub:class:1}
 Dans ce contexte, les approches les plus utilisÃ©es pour Ã©valuer un gradient 
@@ -81,13 +85,13 @@ Chacune de ces  approches applique un produit de convolution $*$ entre un noyau
 $3\times 3$. Le rÃ©sultat 
  $A * K$ est une approximation du gradient horizontal
 \textit{i.e.}, $\dfrac{\partial P}{\partial x}$.
-Soit $K\rl$ le rÃ©sultat de la rotation  d'un angle $\pi/2$ sur $K$.
+Soit $K'$ le rÃ©sultat de la rotation d'un angle $\pi/2$ appliquÃ©e Ã  $K$.
 La composante verticale du gradient,  $\dfrac{\partial P}{\partial y}$ est obtenue 
-de maniÃ¨re similaire en Ã©valuant $A * K\rl$. Lorsqu'on applique ceci sur toute 
-la matrice image, on obtient peu ou prou une matrice de mÃªme taille pour chacune des 
+de maniÃ¨re similaire en Ã©valuant $A * K'$. Lorsqu'on applique ceci sur toute 
+la matrice image, on obtient  une matrice de mÃªme taille pour chacune des 
 dÃ©rivÃ©es partielles. 
 
-Les deux Ã©lÃ©ments de la premiÃ¨re ligne (respectivement de la seconde ligne) 
+Les deux Ã©lÃ©ments de la premiÃ¨re colonne (respectivement de la seconde) 
 de la matrice hessienne
 sont le rÃ©sultat du calcul du gradient sur la matrice $\dfrac{\partial P}{\partial x}$
 (resp. sur la matrice  $\dfrac{\partial P}{\partial y}$).
@@ -121,9 +125,9 @@ de gradient d'images}\label{sub:class:2}
 Il est connu que  
 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} $ est Ã©gal Ã  
 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}$ si 
-les mÃ©thode qui calculent le gradient et le gradient du gradient (la matrice hessienne)
+les mÃ©thodes qui calculent le gradient et le gradient du gradient (la matrice hessienne)
 sont les mÃªmes.
-Le tableau~\ref{table:hessian:usual} rÃ©sume les les noyaux 
+Le tableau~\ref{table:hessian:usual} rÃ©sume les noyaux 
 $K_{x^2}''$ et
 $K_{xy}''$  
 qui permettent de calculer respectivement 
@@ -234,20 +238,21 @@ pour chacun des opÃ©rateurs de gradient rappelÃ©s Ã  la section prÃ©cÃ©dente.
 
 \end{table}
 
-Le noyau $\textit{Ks}_{x^2}''$ permet de dÃ©tecter si le le pixel central 
-pixel central appartient Ã  une bord ``vertical'', mÃªme si celui contient du bruit,
-en considÃ©rant ces voisins verticaux. Ces derniers sont vraiment 
+Le noyau $\textit{Ks}_{x^2}''$ permet de dÃ©tecter si le 
+pixel central appartient Ã  un bord ``vertical'', mÃªme si celui-ci
+ contient du bruit,
+en considÃ©rant ses voisins verticaux. Ces derniers sont vraiment 
 pertinents dans un objectif de dÃ©tecter les bords. Cependant, leur lien avec 
 les lignes de niveau n'est pas direct. De plus tous les pixels qui sont dans la 
 deuxiÃ¨me et la quatriÃ¨me colonne de ce noyau sont ignorÃ©s.
 Le noyau de Prewitt a des propriÃ©tÃ©s similaires.
 Le noyau de diffÃ©rence centrale $\textit{Kc}_{x^2}''$ n'est pas influencÃ© par les 
-voisins verticaux du pixel central et peu paraÃ®tre plus adaptÃ© ici.
+voisins verticaux du pixel central et peut paraÃ®tre plus adaptÃ© ici.
 Cependant, le noyau $\textit{Kc}_{xy}''$ perd aussi les valeurs des pixels 
 qui sont alignÃ©s verticalement et diagonalement avec le pixel central.
 Enfin, le noyau de diffÃ©rence intermÃ©diaire  $\textit{Ki}_{x^2}''$ dÃ©cale
 Ã  gauche la valeur des variations horizontales de $\dfrac{\partial P}{\partial x}$:
-Le pixel central  $(0,0)$ reÃ§oit  exactement la valeur 
+le pixel central  $(0,0)$ reÃ§oit  exactement la valeur 
 $\dfrac{P(0,2)-P(0,1)}{1} - \dfrac{P(0,1)-P(0,0)}{1}$,
 qui est une approximation de 
 $\dfrac{\partial P}{\partial x}(0,1)$ et non de 
@@ -257,7 +262,8 @@ que les pixels du coin supÃ©rieur droit, en perdant toutes les autres informatio
 La section suivante propose une autre approche pour calculer les lignes de niveau avec une prÃ©cision accrue.
 
 \section{Des noyaux pour des lignes de niveau}\label{sec:second}
-On ne restreint pas aux noyaux de taille fixe (comme  $3\times3$ or $5 \times 5$ 
+On ne se 
+restreint pas aux noyaux de taille fixe (comme  $3\times3$ or $5 \times 5$ 
 dans les schÃ©mas prÃ©cÃ©dents). Au contraire, on considÃ¨re des noyaux de taille variable  
 $(2n+1)\times (2n+1)$, $n \in \{1,2,\dots,N\}$, oÃ¹
 $N$ est un paramÃ¨tre de l'approche.
@@ -287,10 +293,10 @@ qui reprÃ©sente en effet les variation horizontales de la partie horizontale
 du gradient autour du pixel central. On obtient donc bien une approximation de 
 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}$.
 Lorsque $n$ vaut 1, ce noyau est une version centrÃ©e du noyau horizontal de diffÃ©rence 
-intermÃ©diaires. $\textit{Ki}_{x^2}''$ Ã  un facteur  $1/2$ prÃ¨s).
+intermÃ©diaire. $\textit{Ki}_{x^2}''$ Ã  un facteur  $1/2$ prÃ¨s).
 Lorsque $n$ vaut 2, on retrouve $\textit{Kc}_{x^2}''$.
 
-Les variations verticales du gradient sont aussi obtenus en faisant subir 
+Les variations verticales du gradient sont aussi obtenues en faisant subir 
 Ã  $\textit{Ky}_{x^2}''$ une rotation d'angle  $\pi/2$.
 Les variations diagonales sont obtenues Ã  l'aide du gradient 
 $\textit{Ky}_{xy}''$ dÃ©fini par:
@@ -370,17 +376,17 @@ $\dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}$
 et de 
 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial y^2}$.
 
-La section suivante Ã©tudie la pertinence d'interpoler une image par un polynome 
-lorsqu'on cherche a obtenir ces dÃ©rivÃ©es secondes.
+La section suivante Ã©tudie la pertinence d'interpoler une image par un polynÃ´me 
+lorsqu'on cherche Ã  obtenir ces dÃ©rivÃ©es secondes.
 
 
 \section{Interpolation polynomiale pour le calcul de la matrice hessienne}\label{sec:poly}
 Soit $P(x,y)$ la  valeur du pixel $(x,y)$ et soit  $n$, $1 \le n \le N$, 
-tel que l'objectif est de trouver un polynome d'interpolation dans la fenÃªtre de taille  
+tel que l'objectif est de trouver un polynÃ´me d'interpolation dans la fenÃªtre de taille  
 $(2n+1)\times(2n+1)$ dont le pixel central a pour indice $(0,0)$.  
 Il existe un unique polynÃ´me $L : \R\times \R \to \R$ 
 de degrÃ© $(2n+1)\times(2n+1)$ tel que  $L(x,y)=P(x,y)$ pour chaque pixel  
-$(x,y)$ de cette fenÃªtre et ce polynome est dÃ©fini par  
+$(x,y)$ de cette fenÃªtre et ce polynÃ´me est dÃ©fini par  
 \begin{equation}
 \begin{array}{l}
 L(x,y) =  
@@ -396,7 +402,7 @@ L(x,y) =
 \right)
 \end{array}
 \end{equation}
-On peut facilement prouver que les dÃ©rivÃ©es partielles  de $L$ selon $x$ est 
+On peut facilement prouver que la dÃ©rivÃ©e partielle  de $L$ selon $x$ est 
 \begin{equation}
 \begin{array}{l}
 \dfrac{\partial L}{\partial x} =  
@@ -453,7 +459,7 @@ P(i,j)
 \label{eq:deriv:poly:yx}
 \end{eqnarray}
 Ces dÃ©rivÃ©es secondes sont calculÃ©es pour chaque pixel central, \textit{i.e.} le pixel dont l'indice est  $(0,0)$ dans la fenÃªtre.
-En considÃ©rant cette particularisation, l'Ã©quation~(\ref{eq:deriv:poly:x2}) peut 
+En considÃ©rant cette particularisation, l'Ã©quation~(\ref{eq:deriv:poly:x2}) 
 se simplifie en 
 
 \begin{equation}
@@ -494,7 +500,7 @@ P(i,0)
 
 
 \begin{table}[ht]
-\caption{ Noyaux pour les dÃ©rivÃ©ees secondes en $x$ et $y$ lors de l'interpolation polynomiale\label{table:sod:diag:poly}
+\caption{ Noyaux pour les dÃ©rivÃ©es secondes en $x$ et $y$ lors de l'interpolation polynomiale\label{table:sod:diag:poly}
 }
 \centering
 %\scriptsize
@@ -541,7 +547,7 @@ On remarque que pour $n=1$, le noyau est Ã©gal Ã  $Kc''_{xy}$.
 
 \section{Fonction de distorsion}\label{sec:distortion}
 Une fonction de distorsion associe Ã  chaque pixel  $(i,j)$ 
-le coÃ»t $\rho_{ij}$ du modification  par $\pm 1$. L'objectif est d'associer une 
+le coÃ»t $\rho_{ij}$ de modification  par $\pm 1$. L'objectif est d'associer une 
 valeur faible aux pixels dont toutes les dÃ©rivÃ©es secondes sont Ã©loignÃ©es de 0 
 et une valeur rÃ©dhibitoire sinon.
 Dans WOW comme dans  UNIWARD la fonction de distorsion est dÃ©finie par 
@@ -555,7 +561,7 @@ Dans WOW comme dans  UNIWARD la fonction de distorsion est dÃ©finie par
 \]
 oÃ¹ $p$ est un nombre nÃ©gatif et  
 $\xi_{ij}^h$ (resp. $\xi_{ij}^v$ et $\xi_{ij}^d$)
-reprÃ©sentent la pertinence horizontale (resp. verticale et diagonale) de modification.
+reprÃ©sente la pertinence horizontale (resp. verticale et diagonale) de modification.
 Une faible pertinence dans une direction signifie que l'embarquement 
 dans ce pixel est inappropriÃ©.
 La fonction de distorsion que l'on a retenu est une particularisation ($p=-1$) 
@@ -570,7 +576,7 @@ de cette derniÃ¨re:
 \]
 
 
-\section{Experimentations}\label{sec:experiments}
+\section{ExpÃ©rimentations}\label{sec:experiments}
 
 Tout d'abord, l'ensemble du code est accessible en ligne\footnote{\url{https://github.com/stego-content/SOS}}.
 La Figure~\ref{fig:oneimage} reprÃ©sente les rÃ©sultats d'embarquement de donnÃ©es dans 
@@ -611,10 +617,9 @@ concentrent les changements.
 Les deux mÃ©thodes prÃ©sentÃ©es ici dÃ©pendent de noyaux dont la taille va jusqu'Ã   
 $(2N+1)\times(2N+1)$. Cette section montre comment Ã©valuer $N$ pour maximiser 
 le niveau de sÃ©curitÃ©.
-Pour chaque approche, 1,000 images stegos avec  
-$N=2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ et $14$ et dont les supports appartiennent 
-Ã  l'ensemble des 10000 images du challenge BOSS. 
-LA sÃ©curitÃ© de l'approche a Ã©tÃ© Ã©valuÃ©e avec le stÃ©ganalyseur 
+Pour chaque approche ($N=2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ et $14$),
+1000 images stÃ©gos du challenge BOSS ont Ã©tÃ© selectionnÃ©es.
+La sÃ©curitÃ© de l'approche a Ã©tÃ© Ã©valuÃ©e avec le stÃ©ganalyseur 
 Ensemble Classifier~\cite{DBLP:journals/tifs/KodovskyFH12}.
 Pour un taux d'embarquement   $\alpha$ Ã©gal soit Ã   $0.1$ ou soit Ã   $0.4$, 
 l'erreur moyenne de test (exprimÃ©e en pourcentage) a Ã©tÃ© calculÃ©e. 
@@ -622,7 +627,7 @@ Le tableau~\ref{table:choice:parameter} synthÃ©tise les rÃ©sultats.
 On observe que la taille $N=4$ (respectivement $N=12$) 
 permet d'obtenir des erreurs suffisamment Ã©levÃ©es pour l'approche basÃ©e sur $Ky$  
 (resp. pour celle basÃ©e sur  $Ko$). 
-Ces deux valeurs de paramÃ¨tre sont retenues par la suite.
+Ces deux valeurs de paramÃ¨tres sont retenues par la suite.
 
 \begin{table}[ht]
 \caption{Erreur moyenne de test en fonction de la taille du noyau}
@@ -654,7 +659,7 @@ Comme dans ce qui prÃ©cÃ¨de, la base du challenge BOSS a Ã©tÃ© retenue.
 Ici c'est cependant l'ensemble des 10000 images qui a Ã©tÃ© utilisÃ© pour Ã©valuer 
 la sÃ©curitÃ©.
 C'est aussi les caractÃ©ristiques SRM et Ensemble Classifier qui ont Ã©tÃ© utilisÃ©es 
-pour Ã©valuer la sÃ©curitÃ© de l'approche..
+pour Ã©valuer la sÃ©curitÃ© de l'approche.
 Quatre taux d'embarquement  0.1, 0.2, 0.3 et  0.4
 ont Ã©tÃ© retenus. Pour chaque expÃ©rience, 
 l'aire sous la courbe de ROC (AUC),
@@ -736,23 +741,16 @@ compte des variations dans celle-ci. Les dÃ©rivÃ©es secondes sont certes faciles
 %\end{figure}
 
 
-% \section{Conclusion}
-
-% The first contribution of this paper is to propose of a distortion
-% function which is based on second order derivatives. These
-% partial derivatives allow to accurately compute 
-% the level curves and thus to look favorably on pixels
-% without clean level curves. 
-% Two approaches to build these derivatives have been proposed.
-% The first one is based on revisiting kernels usually embedded 
-% in edge detection algorithms. 
-% The second one is based on the polynomial approximation
-% of the bitmap image.
-% These two methods have been completely implemented.
-% The first experiments have shown that the security level 
-% is slightly inferior the one of the most stringent approaches. These first promising results encourage us to deeply investigate this research direction. 
-
-% Future works aiming at improving the security of this proposal are planned as follows. The authors want first to focus on other approaches to provide second order derivatives with larger discrimination power.
-% Then, the objective will be to deeply investigate whether the H\"older norm is optimal when the objective is to avoid null second order derivatives, and to give priority to the largest second order values.
-
-
+\section{Conclusion}
+La principale contribution de ce chapitre est de proposer des 
+fonctions de distorsion basÃ©es sur des approximations de dÃ©rivÃ©es 
+secondes, l'idÃ©e sous-jacente Ã©tant qu'une zone oÃ¹ les lignes de niveau 
+ne sont pas clairement dÃ©finies est peu prÃ©visible.
+Deux approches d'approximation ont Ã©tÃ© prÃ©sentÃ©es.
+La premiÃ¨re  basÃ©e 
+sur un produit de convolution, exploite des noyaux dÃ©jÃ  intÃ©grÃ©s dans des
+algorithmes de dÃ©tection de bords.
+La seconde s'appuie sur une interpolation polynomiale de l'image.
+Ces deux mÃ©thodes ont Ã©tÃ© complÃ¨tement implantÃ©es et leur sÃ©curitÃ© 
+face Ã  des stÃ©ganalyseurs a Ã©tÃ© Ã©tudiÃ©e. Les rÃ©sultats encouragent 
+Ã  poursuivre dans cette direction.
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