X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/1211b0e6440c89499806c173f2907ddb4f00afc1..3759a997c005ffb313be135f98820410cb6061b4:/annexePreuveMixage.tex diff --git a/annexePreuveMixage.tex b/annexePreuveMixage.tex index 8132c68..71c1c8e 100644 --- a/annexePreuveMixage.tex +++ b/annexePreuveMixage.tex @@ -8,28 +8,28 @@ s'il existe un chemin de longueur $\alpha$ \class{q}. \begin{lemma} - Il existe un processus de renommage qui effecte un nouvel identifiant aux - élément $i\in$ \class{p} et $j \in$ \class{q} tel que + Il existe un processus de renommage qui affecte un nouvel identifiant aux + éléments $i\in$ \class{p} et $j \in$ \class{q} tel que $i \le j$ si et seulement si \class{p} $\preceq$ \class{q}. \begin{proof} - Tout d'abord, soit \class{p_1}, \ldots, \class{p_l} des classes + Tout d'abord, soient \class{p_1}, \ldots, \class{p_l} des classes contenant respectivement les éléments $n_1$,\ldots, $n_l$ qui ne dépendent d'aucune autre classe. Les éléments de \class{p_1} sont renommés par $1$, \ldots, $n_1$, - les elements de \class{p_i}, $2 \le i \le l$ sont renommés par + les éléments de \class{p_i}, $2 \le i \le l$ sont renommés par $1+ \Sigma_{k=1}^{i-1} n_k$, \ldots, $\Sigma_{k=1}^{i} n_k$. On considère maintenant les classes \class{p_1}, \ldots, \class{p_{l'}} dont les éléments ont été renommés et soit - $m$ le plus grand indice des elements de \class{p_1}, \ldots, + $m$ le plus grand indice des éléments de \class{p_1}, \ldots, \class{p_{l'}}. Soit une autre classe \class{p} qui dépend exclusivement d'une classe - \class{p_i}, $1 \le i \le l'$ et qui contient $k$ elements. + \class{p_i}, $1 \le i \le l'$ et qui contient $k$ éléments. Les éléments de \class{p} sont renommés par $m+1$, \ldots, $m+k$. Ce processus a été appliqué sur $l'+1$ classes. Il se termine - puisqu'il diminue le nombre d'elements auquel il reste + puisqu'il diminue le nombre d'éléments auquel il reste à affecter un numéro. Il reste à montrer que cette méthode de renommage vérifie la propriété @@ -41,7 +41,7 @@ s'il existe un chemin de longueur $\alpha$ dépend immédiatement de \class{p}, \textit{i.e.} le chemin le plus long entre les éléments de \class{p} et les - elements de \class{q} est de longueur 1. + éléments de \class{q} est de longueur 1. En raison de la méthode renommage, chaque numéro d'élément \class{q} est plus grand que tous ceux de \class{p} et la preuve est établie. @@ -81,20 +81,20 @@ On peut remarquer que ce processus de renommage est inspiré des \emph{graphes fini d'itérations. %pseudo periods. % [[JFC : borner m1/n1]]. Ainsi toutes les \emph{classes sources} (indépendantes de toutes les autres classes) vont aussi converger - dans le mode mixe. - On peut ainsi supposer que le mode d'itération mixe avec délais + dans le mode mixte. + On peut ainsi supposer que le mode d'itération mixte avec délais uniformes fait converger les classes \class{b_1}, \ldots, \class{b_k} en un temps $t_k$. Par construction, la classe \class{b_{k+1}} dépend uniquement de certaines classes de \class{b_1}, \ldots, \class{b_k} et éventuellement d'elle-même. - Il existe un nombre d'iteration suffisamment grand - $t_0$ tel que $D^{t_0}_{p_{k+1}p_j}$ est suppérieur ou égal à $t_k$ + Il existe un nombre d'itérations suffisamment grand + $t_0$ tel que $D^{t_0}_{p_{k+1}p_j}$ est supérieur ou égal à $t_k$ pour chaque $p_{k+1} \in$ \class{b_{k+1}} et $p_j \in$ \class{b_j}, $1 \le j \le k$. Il ne reste donc que des itérations synchrones entre les - elements of \class{b_{k+1}} en démarant dans des configurations + éléments de \class{b_{k+1}} en démarrant dans des configurations où tous les éléments de \class{b_j}, $1 \le j \le k$, ont des valeurs constantes. D'après les hypothèses du théorème, cela converge.