X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/1b923f193392e3ce847882c24a128eff4bee9992..35f9a1f25d6fb4d3d2993aa5d75b474742eb8ac6:/annexePromelaProof.tex diff --git a/annexePromelaProof.tex b/annexePromelaProof.tex index 8c95761..70981a9 100644 --- a/annexePromelaProof.tex +++ b/annexePromelaProof.tex @@ -1,2 +1,294 @@ \JFC{Voir section~\ref{sec:spin:proof}} +Cette section donne les preuves des deux théorèmes de correction et complétude +du chapitre~\ref{chap:promela}. + + +\begin{lemma}[Strategy Equivalence]\label{lemma:strategy} + Soit $\phi$ un système dynamique discret de stratégie $(S^t)^{t \in \Nats}$ + et $\psi$ sa traduction en promela. + Il existe une exécution de $\psi$ sous hypothèse d'équité faible telle + le le scheduler met à jour les elements of $S^t$ + donnés par \verb+update_elems+ à l'iteration $t$. +\end{lemma} +\begin{Proof} + La preuve est directe pour $t=0$. + Supposons qu'elle est établie jusqu'en $t$ vallant un certain $t_0$. + On considère des stratégies pseudo périodiques. + Grâce à l'hypothèse d'équité faible, \verb+update_elems+ modifie + les éléments de $S^t$ à l'iteration $t$. +\end{Proof} + +Dans ce qui suit, soit $Xd^t_{ji}$ la valeur de +\verb+Xd[+$j$\verb+].v[+$i$\verb+]+ après le $t^{\text{th}}$ appel +à la fonction +\verb+fetch_values+. +De plus, soit $Y^k_{ij}$ l'élément à l'indice $k$ +dans le canal \verb+channels[i].sent[j]+ de taille $m$, $m \le +\delta_0$; $Y^0_{ij}$ et $Y^{m-1}_{ij}$ sont respectivement la tête et la queue +du canal. +De plus, soit $(M_{ij}^t)^{t \in \{1, 1.5, 2, 2.5,\ldots\}}$ une séquence telle que +$M_{ij}^t$ est une fonction partielle qui associe à chaque +$k$, $0 \le k \le m-1$, le tuple $(Y^k_{ij},a^k_{ij},c^k_{ij})$ en entrant +dans la fonction \verb+update_elems+ à l'itération $t$ où +% \begin{itemize} +% \item + $Y^k_{ij}$ est la valeur du cannal \verb+channels[i].sent[j]+ + à l'indice $k$, +%\item +$a^k_{ij}$ est la date (antérieure à $t$) mémorisant quand $Y^k_{ij}$ est ajouté et +%\item +$c^k_{ij}$ est le premier temps où cette valeur est accessible à $j$. +La valeur est supprimée du canal $i\rightarrow j$ à la date $c^k_{ij}+1$. +%\end{itemize} +$M_{ij}^t$ a la signature suivante: +\begin{equation*} +\begin{array}{rrcl} +M_{ij}^t: & +\{0,\ldots, \textit{max}-1\} &\rightarrow & E_i\times \Nats \times \Nats \\ +& k \in \{0,\ldots, m-1\} & \mapsto & M_{ij}(k)= (Y^k_{ij},a^k_{ij},c^k_{ij}). +\end{array} +\end{equation*} + +Intuitivement, $M_{ij}^t$ est la mémoire du cannal +\verb+channels[i].sent[j]+ à l'iterations $t$. +On note que le domaine de chaque $M_{ij}^1$ est $\{0\}$ et +$M_{ij}^1(0)=(\verb+Xp[i]+,0,0)$: en effet le processus +\verb+init+ initialise \verb+channels[i].sent[j]+ avec \verb+Xp[i]+. + +Montrons comment l'indéterminisme des deux fonctions +\verb+fetch_values+ et \verb+diffuse_values+ +permet de modéliser l'équation \Equ{eq:async}. +La function $M_{ij}^{t+1}$ est obtenue à l'aide de mises à jour successives +de $M_{ij}^{t}$ au travers des deux functions \verb+fetch_values+ and +\verb+diffuse_values+. Par abus, soit $M_{ij}^{t+1/2}$ +la valeur de $M_{ij}^{t}$ après la première fonctions pendant l'itération + $t$. + +Dans ce qui suit, on considère les éléments $i$ et $j$ +dans $\llbracket n \rrbracket$. +A l'itération $t$, $t \geq 1$, soit +$(Y^0_{ij},a^0_{ij},c^0_{ij})$ la valeur de $M_{ij}^t(0)$ en entrant +dans la fonction +\verb+fetch_values+. +Si $t$ est égal à $c^0_{ij}+1$ alors on exécute +l'instruction qui affecte $Y^0_{ij}$ (\textit{i.e.}, la valeur de tête du +\verb+channels[i].sent[j]+) à $Xd_{ji}^t$. Dans ce cas, la fonction +$M_{ij}^t$ est mise à jour comme suit: $M_{ij}^{t+1/2}(k) = M_{ij}^{t}(k+1)$ pour chaque $k$, $0 \le k \le m-2$ et $m-1$ est supprimée du domaine de $M_{ij}^{t+1/2}$. +Sinon, (\textit{i.e.}, lorsque $t < c^0_{ij}+1$ ou lorsque le domaine de $M_{ij}$ +est vide) l'instruction \verb+skip+ est exécutée et $M_{ij}^{t+1/2} = +M_{ij}^{t}$. + +Dans la fonction \verb+diffuse_values+, +s'il existe un $\tau$, $\tau\ge t$ +tel que \mbox{$D^{\tau}_{ji} = t$}, soit alors $c_{ij}$ défini par $ \min\{l \mid +D^{l}_{ji} = t \} $. Dans ce cas, on exécution l'instruction qui +ajoute la valeur \verb+Xp[i]+ dans la queue du cannal +\verb+channels[i].sent[j]+. Alors, +$M_{ij}^{t+1}$ est défini en étendant $M_{ij}^{t+1/2}$ à $m$ de sorte que +$M_{ij}^{t+1}(m)$ est $(\verb+Xp[i]+,t,c_{ij})$. +Sinon, (\textit{i.e.}, lorsque $\forall l +\, . \, l \ge t \Rightarrow D^{l}_{ji} \neq t$ est établie) l'instruction +\verb+skip+ +est exécutée et $M_{ij}^{t+1} = M_{ij}^{t+1/2}$. + + +\begin{lemma}[Existence d'une exécution SPIN]\label{lemma:execution} + Pour chaque sequence $(S^t)^{t \in \Nats}$,\linebreak $(D^t)^{t \in \Nats}$, + pour chaque fonction $F$, + il existe une exécution SPIN telle que pour toute itération $t$, $t + \ge 1$, et pour chaque $i$ et $j$ in $\llbracket n \rrbracket$ + on a la propriété suivante: + +\noindent Si le domaine de $M_{ij}^t$ n'est pas vide, alors +\begin{equation} + \left\{ + \begin{array}{rcl} + M_{ij}^1(0) & = & \left(X_i^{D_{ji}^{0}}, 0,0 \right) \\ + \textrm{sit $t \geq 2$ alors }M_{ij}^t(0) & = & + \left(X_i^{D_{ji}^{c}},D_{ji}^{c},c \right) \textrm{, } + c = \min\{l | D_{ji}^l > D_{ji}^{t-2} \} + \end{array} + \right. + \label{eq:Mij0} +\end{equation} +\noindent De plus, on a : +\begin{equation} + \forall t'\, .\, 1 \le t' \le t \Rightarrow Xd^{t'}_{ji} = X^{D^{t'-1}_{ji}}_i + \label{eq:correct_retrieve} +\end{equation} +\noindent Enfin, pour chaque $k\in S^t$, la valeurde +la variable \verb+Xp[k]+ en sortant du processus +\verb+update_elems+ est égale à +$X_k^{t}$ \textit{i.e.}, $F_{k}\left( X_1^{D_{k\,1}^{t-1}},\ldots, + X_{n}^{D_{k\,{n}}^{t-1}}\right)$ à la fin de la $t^{\text{th}}$ itération. +\end{lemma} +\begin{Proof} +La preuve est faite par induction sur le nombre d'itérations. + +\paragraph{Situation initiale:} +Pour le premier item, par definition de $M_{ij}^t$, on a $M_{ij}^1(0) = \left( + \verb+Xp[i]+, 0,0 \right)$ qui est égal à $\left(X_i^{D_{ji}^{0}}, + 0,0 \right)$. +Ensuite, lepremier appel à la fonction \verb+fetch_value+ +soit affecte à la tête de \verb+channels[i].sent[j]+ à \verb+Xd[j].v[i]+ soit ne modifie par +\verb+Xd[j].v[i]+. +Grâce au processus \verb+init+ process, +les deux cas sont égaux à +\verb+Xp[i]+, \textit{i.e.}, $X_i^0$. L'equation (\ref{eq:correct_retrieve}) est ainsi établie. + +Pour le dernier item, soit $k$, $0 \le k \le n-1$. +A la fin de la première exécution du processus \verb+update_elems+, +la valur de +\verb+Xp[k]+ est $F(\verb+Xd[+k\verb+].v[0]+, \ldots, +\verb+Xd[+k\verb+].v[+n-1\verb+]+)$. +Ainsi par définition de $Xd$, ceci est égal à +$F(Xd^1_{k\,0}, \ldots,Xd^1_{k\,n-1})$. Grâce à l'équation \Equ{eq:correct_retrieve}, +on peut conclure la preuve. + + + +\paragraph{Induction:} +Supposons maintenant que le lemme~\ref{lemma:execution} est établi jusqu'à +l'itération $l$. + +Tout d'abord, si le domaine de définition de la fonction $M_{ij}^l$ +n'est pas vide, par hypothèse d'induction $M_{ij}^{l}(0)$ est +$\left(X_i^{D_{ji}^{c}}, D_{ji}^{c},c +\right)$ où $c$ est $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-2} \}$. + +A l'itération $l$, si $l < c + 1$ alors \verb+skip+ statement is executed in +the \verb+fetch_values+ function. Thus, $M_{ij}^{l+1}(0)$ is equal to +$M_{ij}^{l}(0)$. Since $c > l-1$ then $D_{ji}^c > D_{ji}^{l-1}$ and hence, $c$ +is $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. Obviously, this implies also that +$D_{ji}^c > D_{ji}^{l-2}$ and $c=\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-2} \}$. + +We now consider that at iteration $l$, $l$ is $c + 1$. In other words, $M_{ij}$ +is modified depending on the domain $\dom(M^l_{ij})$ of $M^l_{ij}$: +\begin{itemize} +\item if $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$ and $\forall k\, . \, k\ge l \Rightarrow + D^{k}_{ji} \neq l$ is established then $\dom(M_{ij}^{l+1})$ is empty and the + first item of the lemma is established; +\item if $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$ and $\exists k\, . \, k\ge l \land D^{k}_{ji} + = l$ is established then $M_{ij}^{l+1}(0)$ is $(\verb+Xp[i]+,l,c_{ij})$ that + is added in the \verb+diffuse_values+ function s.t.\linebreak $c_{ij} = + \min\{k \mid D^{k}_{ji} = l \} $. Let us prove that we can express + $M_{ij}^{l+1}(0)$ as $\left(X_i^{D_{ji}^{c'}},D_{ji}^{c'},c' \right)$ where + $c'$ is $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. First, it is not hard to + establish that $D_{ji}^{c_{ij}}= l \geq D_{ji}^{l} > D_{ji}^{l-1}$ and thus + $c_{ij} \geq c'$. Next, since $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$, then between + iterations $D_{ji}^{c}+1$ and $l-1$, the \texttt{diffuse\_values} function has + not updated $M_{ij}$. Formally we have +$$ +\forall t,k \, .\, D_{ji}^c < t < l \land k \geq t \Rightarrow D_{ji}^k \neq +t.$$ + +Particularly, $D_{ji}^{c'} \not \in \{D_{ji}^{c}+1,\ldots,l-1\}$. We can apply +the third item of the induction hypothesis to deduce +$\verb+Xp[i]+=X_i^{D_{ji}^{c'}}$ and we can conclude. + +\item if $\{0,1\} \subseteq \dom(M_{ij}^{l})$ then $M_{ij}^{l+1}(0)$ is + $M_{ij}^{l}(1)$. Let $M_{ij}^{l}(1)= \left(\verb+Xp[i]+, a_{ij} , c_{ij} + \right)$. By construction $a_{ij}$ is $\min\{t' | t' > D_{ji}^c \land + (\exists k \, .\, k \geq t' \land D_{ji}^k = t')\}$ and $c_{ij}$ is $\min\{k | + D_{ji}^k = a_{ij}\}$. Let us show $c_{ij}$ is equal to $\min\{k | D_{ji}^k > + D_{ji}^{l-1} \}$ further referred as $c'$. First we have $D_{ji}^{c_{ij}} = + a_{ij} > D_{ji}^c$. Since $c$ by definition is greater or equal to $l-1$ , + then $D_{ji}^{c_{ij}}> D_{ji}^{l-1}$ and then $c_{ij} \geq c'$. Next, since + $c$ is $l-1$, $c'$ is $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{c} \}$ and then $a_{ij} + \leq D_{ji}^{c'}$. Thus, $c_{ij} \leq c'$ and we can conclude as in the + previous part. +\end{itemize} + + +The case where the domain $\dom(M^l_{ij})$ is empty but the formula $\exists k +\, .\, k \geq l \land D_{ji}^k = l$ is established is equivalent to the second +case given above and then is omitted. + + +Secondly, let us focus on the formula~(\ref{eq:correct_retrieve}). At iteration +$l+1$, let $c'$ be defined as $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. Two cases +have to be considered depending on whether $D_{ji}^{l}$ and $D_{ji}^{l-1}$ are +equal or not. +\begin{itemize} +\item If $D_{ji}^{l} = D_{ji}^{l-1}$, since $D_{ji}^{c'} > D_{ji}^{l-1}$, then + $D_{ji}^{c'} > D_{ji}^{l}$ and then $c'$ is distinct from $l$. Thus, the SPIN + execution detailed above does not modify $Xd_{ji}^{l+1}$. It is obvious to + establish that $Xd_{ji}^{l+1} = Xd_{ji}^{l} = X_i^{D_{ji}^{l-1}} = + X_i^{D_{ji}^{l}}$. +\item Otherwise $D_{ji}^{l}$ is greater than $D_{ji}^{l-1}$ and $c$ is thus $l$. + According to \Equ{eq:Mij0} we have proved, we have + $M_{ij}^{l+1}(0)=(X_i^{D_{ji}^{l}},D_{ji}^{l},l)$. Then the SPIN execution + detailed above assigns $X_i^{D_{ji}^{l}}$ to $Xd_{ji}^{l+1}$, which ends the + proof of (\ref{eq:correct_retrieve}). +\end{itemize} + +We are left to prove the induction of the third part of the lemma. Let $k$, $k +\in S^{l+1}$. % and $\verb+k'+ = k-1$. +At the end of the first execution of the \verb+update_elems+ process, we have +$\verb+Xp[+k\verb+]+= F(\verb+Xd[+k\verb+][0]+, +\ldots,\verb+Xd[+k\verb+][+n\verb+-1]+)+$. By definition of $Xd$, it is equal +to $F(Xd^{l+1}_{k\,0}, \ldots,Xd^{l+1}_{k\,n-1})$. Thanks to +\Equ{eq:correct_retrieve} we have proved, we can conclude the proof. +\end{Proof} + + +\begin{lemma} + Bounding the size of channels to $\textit{max} = \delta_0$ is sufficient when + simulating a DDN where delays are bounded by $\delta_0$. +\end{lemma} + +\begin{Proof} + For any $i$, $j$, at each iteration $t+1$, thanks to bounded delays (by + $\delta_0$), element $i$ has to know at worst $\delta_0$ values that are + $X_j^{t}$, \ldots, $X_j^{t-\delta_0+1}$. They can be stored into any channel + of size $\delta_0$. +\end{Proof} + + +\promelasound* +\begin{Proof} +% For the case where the strategy is finite, one notice that property +% verification is achieved under weak fairness property. Instructions that +% write or read into \verb+channels[j].sent[i]+ are continuously enabled leading +% to convenient available dates $D_{ji}$. It is then easy to construct +% corresponding iterations of the DDN that are convergent. +% \ANNOT{quel sens donnes-tu a \emph{convenient} ici ?} + + Let us show the contraposition of the theorem. The previous lemmas have shown + that for any sequence of iterations of the DDN, there exists an execution of + the PROMELA model that simulates them. If some iterations of the DDN are + divergent, then they prevent the PROMELA model from stabilizing, \textit{i.e.}, not + verifying the LTL property (\ref{eq:ltl:conv}). +\end{Proof} + + +% \begin{Corol}[Soundness wrt universall convergence property]\label{Theo:sound} +% Let $\phi$ be a DDN model where strategy, $X^(0)$ +% are only constrained to be pseudo-periodic and +% in $E$ respectively. +% Let $\psi$ be its translation. +% If all the executions of $\psi$ converge, +% then iterations of $\phi$ are universally convergent. +% \end{Corol} + + +\promelacomplete* + +\begin{Proof} + For models $\psi$ that do not verify the LTL property (\ref{eq:ltl:conv}) it + is easy to construct corresponding iterations of the DDN, whose strategy is + pseudo-periodic since weak fairness property is taken into account. + +% i.e. iterations that are divergent. Executions are +% performed under weak fairness property; we then detail what are continuously +% enabled: +% \begin{itemize} +% \item if the strategy is not defined as periodic, elements $0$, \ldots, $n$ are +% infinitely often updated leading to pseudo-periodic strategy; +% \item instructions that write or read into \verb+channels[j].sent[i]+ are +% continuously enabled leading to convenient available dates $D_{ji}$. +% \end{itemize} +% The simulated DDN does not stabilize and its iterations are divergent. + \end{Proof} +