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diff --git a/ahmad.tex b/ahmad.tex
index 0ebbdb5..b94f1b9 100644
--- a/ahmad.tex
+++ b/ahmad.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-En étudiant le watermarking,
+En étudiant les schémas de watermarking,
 nous avons constaté que très peu de travaux ciblaient les documents PDF
 qui représentent cependant une part non anecdotique des données
 échangées en ligne.
@@ -13,21 +13,126 @@ le positionnements des caractères. D'autres éléments de postionnement
 sont intégrés dans~\cite{WT08}.
 Une attaque qui remodifierait  aléatoirement de manière faible ces positions
  détruirait la marque dans les deux cas.
+La quantification (au sens du traitement du signal) est une réponse
+à ces attaques: des positions modifiées de manière mal intentionnée  
+peuvent grâce cette démarche être rapprochées (abstraites) en des positions
+préétablies et conserver ainsi leur information et donc la marque.
+STDM~\cite{CW01} est une instance de ces schémas de marquage.
 
+Ce chapitre présente une application de STDM au marquage de documents PDFs.
+\JFC{annonce du plan}
+
+\section{Rappels sur la Spread Transform Dither Modulation}
+\label{sec:STDM}
+Les paramètres de ce schéma sont
+\begin{itemize}
+\item le facteur de quantification $\Delta$ qui est un réel positif; plus $\Delta$
+est grand, plus la distortion peut être importante;
+\item le niveau d'indécision  $d_0$ qui est un réel dans
+$[-\dfrac{\Delta}{2},\dfrac{\Delta}{2}]$; plus ce nombre a une valeur absolue
+élevée, plus les erreurs peuvent être corrigées;
+on définit $d_1$ par 
+$$d_1 = \begin{cases} 
+  d_0 + \Delta/2, & \textrm{ si }~~d_0<0 \\  
+  d_0 - \Delta/2, & \textrm{ sinon } 
+\end{cases}
+$$
+\item un nombre $L$ d'éléments dans lequel chaque bit de la marque 
+  est embarqué;
+\item un vecteur $p$ de projection de taille $L$. 
+
+\end{itemize}
+
+Soit donc $x$ un vecteur de taille $L$ dans lequel on souhaite embarquer 
+le bit $m\in\{0,1\}$. 
+Ce vecteur est remplacé par $x'$ défini par 
+ 
+\begin{equation}\label{eq:stdm}
+x' = f(x,m) = x+ ((\lfloor(\frac{(x^T p) -d_m}{\Delta})\rfloor\Delta +d_m )~ - x^T p)p
+\end{equation}
+
+Avec les mêmes paramètres $\Delta$, $d_0$ , $L$ et $p$ le message 
+$\hat{m}$ extrait de 
+$x'$ de taille $L$ est défini par:
+\begin{equation}\label{eq:stdm:ext}
+\hat{m} = arg \min_{ m \in \{0, 1\}} \mid x'^T p - f(x,m) \mid
+\end{equation}
+
+Les auteurs de~\cite{CW01} ont montré que la variance de l'erreur 
+est égale à $\Delta^2/12L$ 
+lorsque chacun des $L$ éléments de $x$ suit une ditribution uniforme 
+$U(\Delta)$. 
+Tous les éléments sont en place pour embarquer une marque 
+dans un fichier PDF selon le schéma STDM.
+
+\section{Application au marquage de documents PDF}
+
+On détaille successivement comment insérer une marque dans un document PDF, 
+puis comment l'extraire.
+
+\subsection{Insertion de la marque}
+
+On cherche à ajouter à un document PDF une marque $m$ de $k$ bits 
+déjà codée (cryptée, correction d'erreurs incluse). 
+L'insertion de celle-ci dans le document s'effectue 
+en quatre étapes.
+
+On considère comme fixés les paramètres  
+$\Delta$,  $d_0$  et la manière de construire le vecteur $p$ pour une taille 
+$L$. 
+
+
+\begin{enumerate}
+\item Le vecteur hôte $x$ de taille $N$ 
+  est constitué de l'abscice (flottante) 
+  de chaque caractère rencontré dans le document PDF. 
+  La dimension $L$ est calculée comme la partie entière de $N/k$.
+
+\item Un générateur pseudo aléatoire (initialisé par une clef) 
+construit $k$ ensembles $M_1$, \ldots, $M_k$ 
+de taille $L$ mutuellement disjoints dans $[1,N]$. Ainsi 
+$\bigcup_{1\le i \le k} M_i \subseteq [N]$. 
+
+
+\item Pour chacun des ensembles $M_i$, $ 1 \le i \le k$, 
+  de l'étape précédente,  le vecteur $\dot{x} = (x_{j_1}, \ldots ,x_{j_L})$,
+  est construit où $\{j_1, \ldots, j_L\} = M_i$.
+  Le vecteur $\dot{x'} = f(\dot{x},m_i)$ est
+  construit selon l'équation~(\ref{eq:stdm}).
+  Dans $x$, chacun des $x_{j_1}, \ldots, x_{j_L}$ est remplacé par 
+  $\dot{x'}_{j_1}, \ldots, \dot{x'}_{j_L}$.
+
+\item L'abscisse de chaque caractère est ainsi redéfini 
+  selon le nouveau vecteur de positions ${x'}$. 
+\end{enumerate}
+
+Voyons comment extraire une marque d'une document PDF.
+
+\subsection{Exctraction de la marque}
+
+On considère comme connue la taille de la marque: c'est $k$ bits.
+Les paramètres $\Delta$,  $d_0$ et la manière de construire 
+$p$ en fonction de $L$ sont les mêmes qu'à l'étape précédente d'insertion de 
+marque.
+
+\begin{enumerate}
+\item on récupère le vecteur $x'$ (de taille $N$ lui aussi) des abscices des
+  caractères du document PDF comme dans la phase d'insertion. 
+  la valeur de $L$ est définie comme précédement.
+
+\item le même générateur pseudo aléatoire (initialisé avec la même clef) 
+construit les $k$ mêmes ensembles $M_1$, \ldots, $M_k$ 
+de taille $L$ mutuellement disjoints dans $[1,N]$. 
+
+\item Pour chacun des ensembles $M_i$, $ 1 \le i \le k$, 
+  de l'étape précédente,  le vecteur $\dot{x'} = (x'_{j_1}, \ldots, x'_{j_L})$,
+  est construit où $\{j_1, \ldots, j_L\} = M_i$.
+  Le bit $\hat{m}_i$  est défini selon l'équation~(\ref{eq:stdm:ext})
+  en remplaçant $x'$ par $\dot{x'}$ .
+\end{enumerate}
+
+\section{Choix des paramètres}
+Le schéma de marquage est paramétré par $\Delta$,  $d_0$ et la manière de construire le vecteur $p$ pour une taille $L$. 
+Les travaux réalisés se sont focalisés sur l'influence du paramètre 
+$\Delta$ dans l'algorithme.
 
-Substitutive   Quantization  Index   Modulation  (QIM)   methods  were
-introduced  by Chen  and Wornell~\cite{CW01}. The  Spread Transform  Dither
-Modulation (STDM) is an implementation of  this scheme and it has been
-considered  robust  under  different watermarking
-attacks~\cite{DM10,WLSYNW13,CW99}.
-
-In this  paper, the goal  is to  present a blind  digital watermarking
-scheme for PDF documents based on  a variant of the Quantization Index
-Modulation   method   called   Spread  Transform   Dither   Modulation
-(STDM). The main difficulty in PDF  documents is to find a significant
-watermarking  space in  order  to  embed the  secret  message under  a
-sufficient Transparency-Robustness tradeoff. Our contribution consists
-in using  the $x$-coordinates of a  group of characters to  embed each
-bit  of  the  secret  message  while  choosing  the  appropriate  mean
-distortion value which gives  the strong tradeoff between transparency
-and robustness.
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