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@@ -1,7 +1,28 @@
-\JFC{Dire que c'est une synthèse du chapitre 22 de la thèse de Tof}
+La propriété de transitivité des fonctions chaotiques est à l'origine du marquage de documents numériques: grâce à cette propriété, la marque est diffusée 
+sur tout le support. Ainsi, de tout média, même tronqué,
+on peut la réextraire.
+Dans ce chapitre, le processus d'embarquement d'un message dans 
+un média est formalisé en section~\ref{sec:watermarking:formulation}.
+La sécurité des approches de watermarking est étudiée selon deux critères:
+probabiliste d'une part (section~\ref{sec:watermarking:security:probas}) 
+et chaotique (section~\ref{sec:watermarking:security:chaos}) d'autre part.
+Une proposition d'embarquement dans le domaine fréquentiel est abordée
+en section~\ref{sec:watermarking:frequentiel}.
 
+On remarque cependant que l'algorithme formalisé dans ces sections ne permet
+d'embarquer \textit{in fine} qu'un bit qui est vrai si l'image est marquée 
+et faux dans le cas contraire. 
+Il ne permet pas d'extraire le contenu du message initial à partir de
+l'image marquée. La section~\ref{sec:watermarking:extension}
+propose une solution à ce problème.
 
-\section{Processus de marquage}
+Les trois premières sections de ce chapitre sont une reformulation 
+du chapitre 22 de~\cite{guyeuxphd}. Elles ont été publiées à~\cite{bcg11:ij}.
+L'extension a quant à elle été publiée dans~\cite{bcfg+13:ip}.
+
+
+
+\section{Processus de marquage binaire}\label{sec:watermarking:formulation}
 
 Par la suite, le message numérique qu'on cherche à embarquer est 
 noté $y$ et le support dans lequel se fait l'insertion est noté $x$. 
@@ -9,7 +30,7 @@ noté $y$ et le support dans lequel se fait l'insertion est noté $x$.
 Le processus de marquage est fondé sur les itérations unaires d'une fonction 
 selon une stratégie donnée.  Cette fonction et cette stratégie 
 sont paramétrées par un entier naturel permettant à la méthode d'être
-appliquable à un média de n'importe quelle taille.
+applicable à un média de n'importe quelle taille.
 On parle alors respectivement de \emph{mode} et d'\emph{adapteur de stratégies} 
 
 \subsection{Embarquement}
@@ -31,13 +52,13 @@ dans lui même.
   de  $\Nats$ dans l'ensemble des séquences d'entiers 
   qui associe à chaque entier naturel
   $\mathsf{N}$ la suite 
-  $S \in  \llbracket 1, n\rrbracket^{\mathds{N}}$.
+  $S \in  [\mathsf{N}]^{\mathds{N}}$.
 \end{Def}
 
 
 On définit par exemple  l'adapteur CIIS (\emph{Chaotic Iterations with Independent Strategy})
 paramétré par $(K,y,\alpha,l) \in [0,1]\times [0,1] \times ]0, 0.5[ \times \mathds{N}$
-qui associe à chque entier  $n \in \Nats$  la suite
+qui associe à chaque entier  $\mathsf{N} \in \Nats$  la suite
 $(S^t)^{t \in \mathds{N}}$ définie par:
  \begin{itemize}
  \item $K^0 = \textit{bin}(y) \oplus \textit{bin}(K)$: $K^0$ est le nombre binaire (sur 32 bits)
@@ -45,10 +66,10 @@ $(S^t)^{t \in \mathds{N}}$ définie par:
    entre les décompositions binaires sur 32 bits des réels $y$ et  $K$
    (il est aussi compris entre 0 et 1),
  \item $\forall t \leqslant l, K^{t+1} = F(K^t,\alpha)$,
- \item $\forall t \leqslant l, S^t = \left \lfloor n \times K^t \right \rfloor + 1$,
+ \item $\forall t \leqslant l, S^t = \left \lfloor \mathsf{N} \times K^t \right \rfloor + 1$,
  \item $\forall t > l, S^t = 0$,
  \end{itemize}
-où  est la fonction chaotique linéaire par morceau~\cite{Shujun1}.
+où $F$  est la fonction chaotique linéaire par morceau~\cite{Shujun1}.
 Les paramètres $K$ et $\alpha$ de cet adapteur de stratégie peuvent être vus
 comme des clefs. 
 On remarque que cette stratégie est unaire.
@@ -63,24 +84,24 @@ Ceci se fait à l'aide d'une fonction de signification.
 
 \begin{Def}[Fonction de signification ]
 Une  \emph{fonction de signification } 
-est une fonction $u$ qui a toute 
+est une fonction $u$ qui à toute 
 séquence finie de bit $x$ associe la séquence 
 $(u^k(x))$ de taille $\mid x \mid$ à valeur dans les réels.
 Cette fonction peut dépendre du message $y$ à embarquer, ou non.
 \end{Def}
 
-Pour alléger le discours, par la suite, on nottera $(u^k(x))$ pour $(u^k)$ 
+Pour alléger le discours, par la suite, on notera $(u^k(x))$ pour $(u^k)$ 
 lorsque cela n'est pas ambigüe.
-Il reste à partionner les bits  de $x$ selon qu'ils sont 
+Il reste à partitionner les bits  de $x$ selon qu'ils sont 
 peu, moyennement ou très significatifs. 
 
 \begin{Def}[Signification des bits]\label{def:msc,lsc}
 Soit $u$ une fonction de signification, 
 $m$ et  $M$ deux réels  t.q. $m < M$.  Alors:
-$u_M$, $u_m$ et $u_p$ sont les vecteurs finis respectivements des 
+$u_M$, $u_m$ et $u_p$ sont les vecteurs finis respectivement des 
 \emph{bits les plus significatifs  (MSBs)} de $x$,
 \emph{bits les moins significatifs (LSBs)} de $x$ 
-\emph{bits passifs} of $x$ définis par:
+\emph{bits passifs} de $x$ définis par:
 \begin{eqnarray*}
   u_M &=& \left( k ~ \big|~ k \in \mathds{N} \textrm{ et } u^k 
     \geqslant M \textrm{ et }  k \le \mid x \mid \right) \\
@@ -91,7 +112,7 @@ u^k \in ]m;M[ \textrm{ et }  k \le \mid x \mid \right)
 \end{eqnarray*}
  \end{Def}
 
-On peut alors définir une fonction de décompostion  
+On peut alors définir une fonction de décomposition  
 puis de recomposition pour un hôte $x$:
 
 
@@ -110,7 +131,7 @@ avec
 La fonction qui associe $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$
 pour chaque hôte $x$ est la  \emph{fonction de décomposition}, plus tard notée 
 $\textit{dec}(u,m,M)$ puisqu'elle est paramétrée par 
-$u$, $m$ and $M$. 
+$u$, $m$ et $M$. 
 \end{Def} 
 
 
@@ -125,7 +146,7 @@ $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p}) \in
 \mathfrak{B} 
 $ tel que
 \begin{itemize}
-\item les ensembles $u_M$, $u_m$ et  $u_p$ forment une partition de  $[n]$;
+\item les ensembles $u_M$, $u_m$ et  $u_p$ forment une partition de  $[\mathsf{N}]$;
 \item $|u_M| = |\varphi_M|$, $|u_m| = |\varphi_m|$ et $|u_p| = |\varphi_p|$.  
 \end{itemize}
 Soit la base canonique sur l'espace vectoriel $\mathds{R}^{\mid x \mid}$ composée des vecteurs 
@@ -164,12 +185,12 @@ On peut étendre l'algorithme dhCI~\cite{gfb10:ip} d'embarquement de message com
 
 \begin{Def}[Embarquement dhCI étendu]
  \label{def:dhCI:ext}
-Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une function de décomposition,
+Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une fonction de décomposition,
 $f$ un mode, 
 $\mathcal{S}$ un adapteur de stratégie,
 $x$ un hôte, 
 $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ 
-sont image par  $\textit{dec}(u,m,M)$,
+son image par  $\textit{dec}(u,m,M)$,
 $q$ un entier naturel positif
 et $y$ un média numérique de taille $l=|u_m|$.
 
@@ -180,7 +201,7 @@ $\hat{y}$ dans $x$, t. q.:
 \begin{itemize}
 \item le mode $f$ est instancié avec le paramètre $l=|u_m|$, engendrant la 
   fonction $f_{l}:\Bool^{l} \rightarrow \Bool^{l}$;
-\item l'adapteur de stratégie $\mathcal{S}$ est intancié avec le paramètre
+\item l'adapteur de stratégie $\mathcal{S}$ est instancié avec le paramètre
 $y$, engendrant une stratégie $S_y \in [l]$;
 \item on itère la fonction $G_{f_l}$ en prenant la configuration
   initiale $(S_y,\phi_{m})$ selon le schéma défini 
@@ -196,298 +217,429 @@ La figure~\ref{fig:organigramme} synthétise la démarche.
 \centering
 %\includegraphics[width=8.5cm]{organigramme2.pdf}
 \includegraphics[width=8.5cm]{organigramme22}
-\caption{The dhCI dissimulation scheme}
+\caption{Le schéma de marquage dhCI}
 \label{fig:organigramme}
 \end{figure}
 
 
 
 
-\subsection{Détection d'un media marqué}\label{sub:wmdecoding}
+\subsection{Détection d'un média marqué}\label{sub:wmdecoding}
 
 On caractérise d'abord ce qu'est un média marqué selon la méthode énoncée 
 à la section précédente. On considère que l'on connaît
-la marque à embarquer $y$, le support $x$ et que l'on a face à soit un média 
+la marque à embarquer $y$, le support $x$ et que l'on a face à soi un média 
 $z$.
 
 
-\begin{definition}[Média marqué]
-Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une fonction de décomposition
+\begin{Def}[Média marqué]
+Soit $\textit{dec}(u,m,M)$ une fonction de décomposition,
 $f$ un  mode, 
-$\mathcal{S}$ un adapteur de stratégie
+$\mathcal{S}$ un adapteur de stratégie,
 $q$ un entier naturel strictement positif,
 $y$ un média digital et soit  
 $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\phi_{m},\phi_{p})$ l'image par 
 $\textit{dec}(u,m,M)$  du média  $x$. 
 Alors, $z$ est \emph{marqué} avec $y$ si l'image 
-par $\textit{dec}(u,m,M)$ of $z$ is 
+par $\textit{dec}(u,m,M)$ de $z$ est 
 $(u_M,u_m,u_p,\phi_{M},\hat{y},\phi_{p})$, où
 $\hat{y}$ est le second membre de  $G_{f_l}^q(S_y,\phi_{m})$.
-\end{definition}
+\end{Def}
 
 % Plusieurs stratégies peuvent être utilisées pour déterminer si une image $z$ 
 % est marquée, en particulier si l'image a été attaquée entre temps.
 % On s'intéressera aux mesures de similarité entre $x$ et $z$.
 
-\section{Analyse de sécurité}\label{sec:security}
-
-
-
-
-As far as we know, Cachin~\cite{Cachin2004}
-produces the first fundamental work in information hiding security:
-in the context of steganography, the attempt of an attacker to distinguish 
-between an innocent image and a stego-content is viewed as an hypothesis 
-testing problem.
-Mittelholzer~\cite{Mittelholzer99} next proposed the first theoretical 
-framework for analyzing the security of a watermarking scheme.
-Clarification between  robustness and security 
-and classifications of watermarking attacks
-have been firstly presented by Kalker~\cite{Kalker2001}.
-This work has been deepened by Furon \emph{et al.}~\cite{Furon2002}, who have translated Kerckhoffs' principle (Alice and Bob shall only rely on some previously shared secret for privacy), from cryptography to data hiding. 
-
-More recently~\cite{Cayre2005,Perez06} classified the information hiding  
-attacks into categories, according to the type of information the attacker (Eve)
-has access to:
-\begin{itemize}
-\item in Watermarked Only Attack (WOA) she only knows embedded contents $z$;
-\item in Known Message Attack (KMA) she knows pairs $(z,y)$ of embedded
-  contents and corresponding messages;
-\item in Known Original Attack (KOA) she knows several pairs $(z,x)$ 
-  of embedded contents and their corresponding original versions;
-\item in Constant-Message Attack (CMA) she observes several embedded
-  contents $z^1$,\ldots,$z^k$ and only knows that the unknown 
-  hidden message $y$ is the same in all contents.
-\end{itemize}
-
-To the best of our knowledge, 
-KMA, KOA, and CMA have not already been studied
-due to the lack of theoretical framework.
-In the opposite, security of data hiding against WOA can be evaluated,
-by using a probabilistic approach recalled below.
-
-
-
-
-\subsection{Stego-security}\label{sub:stegosecurity}
-%\input{stegosecurity}
+\section{Analyse de sécurité (probabilistes)}\label{sec:watermarking:security:probas}
 
 
-In the Simmons' prisoner problem~\cite{Simmons83}, Alice and Bob are in jail and
-they want to,  possibly, devise an escape plan by  exchanging hidden messages in
-innocent-looking  cover contents.  These  messages  are to  be  conveyed to  one
-another by a common warden named Eve, who eavesdrops all contents and can choose
-to interrupt the communication if they appear to be stego-contents.
+Récemment~\cite{Cayre2005,Perez06} ont proposé des classes de sécurité pour le
+marquage d'information. Parmi celles-ci, la stego-sécurité a été au centre 
+des travaux puisqu'elle représente la classe la plus élevée dans le contexte où
+l'attaquant n'a accès qu'à l'hôte marqué $z$.
 
-Stego-security,  defined in  this well-known  context, is  the  highest security
-class in Watermark-Only  Attack setup, which occurs when Eve  has only access to
-several marked contents~\cite{Cayre2008}.
+Cette définition probabiliste est rappelée ci-après.
+Soit $\mathds{K}$ un ensemble de clefs, $p(X)$ un modèle probabiliste 
+de $N_0$ hôtes,  et $p(Y|K)$ le modèle probabiliste de $N_0$ contenus marqués avec la 
+même clé $K$ et le même algorithme d'embarquement.
 
+\begin{Def}[Stégo-Sécurité~\cite{Cayre2008}]
+\label{Def:Stego-security} 
+La fonction d'embarquement est \emph{stégo-sécure}
+si la propriété $\forall K \in \mathds{K}, p(Y|K)=p(X)$ est établie.
+\end{Def}
 
-Let $\mathds{K}$ be the set of embedding keys, $p(X)$ the probabilistic model of
-$N_0$ initial  host contents,  and $p(Y|K)$ the  probabilistic model  of $N_0$
-marked contents s.t. each host  content has  been marked
-with the same key $K$ and the same embedding function.
-
-\begin{definition}[Stego-Security~\cite{Cayre2008}]
-\label{Def:Stego-security}  The embedding  function  is \emph{stego-secure}
-if  $\forall K \in \mathds{K}, p(Y|K)=p(X)$ is established.
-\end{definition}
+Il a déjà été démontré~\cite{guyeuxphd,gfb10:ip}
+que l'algorithme de marquage dont le mode est la fonction 
+négation est stégo-sécure. 
+Un des intérêts de l'algorithme présenté ici est qu'il est paramétré par un mode.
+Lorsque celui-ci a les même propriétés que celles vues pour la création de PRNG (\textit{i.e.} graphe des itérations fortement connexes et matrice de Markov doublement 
+stochastique), on a un marquage qui peut être rendu stégo-sécure à $\varepsilon$ près,
+ce que précise le théorème suivant. La preuve de ce théorème est donnée 
+en annexes~\ref{anx:marquage}.
 
 
+\begin{restatable}[$\varepsilon$-stego sécurité]{theorem}{theoremstegoscureepsilon}
+\label{th:stego}
+Soit  $\varepsilon$ un nombre positif, 
+$l$ un nombre de LSBs, 
+$X   \sim \mathbf{U}\left(\mathbb{B}^l\right)$,
+un adapteur de stratégie uniformément distribué indépendant de $X$
+$f_l$ un mode tel que  
+$\textsc{giu}(f_l)$ est fortement connexe et la 
+matrice de Markov associée à  $f_l$ est doublement stochastique.
+Il existe un nombre $q$ d'itérations tel que 
+$|p(Y|K)- p(X)| < \varepsilon$. 
+\end{restatable}
 
 
 
-%Let $\mathds{K}$ be the set of embedding keys, $p(X)$ the probabilistic model of
-%$N_0$ initial  host contents,  and $p(Y|K)$ the  probabilistic model  of $N_0$
-%marked contents s.t. each host  content has  been marked
-%with the same key $K$ and the same embedding function.
+\section{Analyse de sécurité (chaos)}\label{sec:watermarking:security:chaos}
+On rappelle uniquement la définition de chaos-sécurité
+introduite dans~\cite{guyeuxphd}.
 
-%\begin{definition}[Stego-Security]
-%\label{Def:Stego-security}  The embedding  function  is \emph{stego-secure}
-%if  $\forall K \in \mathds{K}, p(Y|K)=p(X)$ is established.
-%\end{definition}
 
- Stego-security  states that  the knowledge  of  $K$ does  not help  to make  the
- difference  between $p(X)$ and  $p(Y)$.  This  definition implies  the following
- property:
- $$p(Y|K_1)= \cdots = p(Y|K_{N_k})=p(Y)=p(X)$$ 
- This property is equivalent to  a zero Kullback-Leibler divergence, which is the
- accepted definition of the "perfect secrecy" in steganography~\cite{Cachin2004}.
+\begin{Def}[Chaos-sécurité]
+\label{DefinitionChaosSecure}
+Un schéma de marquage $S$ est chaos-sécure sur un espace topologique
+$(\mathcal{X},\tau)$
+si sa version itérative 
+a un comportement chaotique sur celui-ci.
+\end{Def}
 
+Tout repose ainsi sur la capacité que l'on a à produire des fonctions 
+dont le graphe des itérations unaires sera fortement connexe.
+Ceci a déjà été traité au chapitre~\ref{chap:carachaos}.
+La seule complexité est l'adaptabilité de la fonction au  nombre $l$ de LSBs.
+
+On considère par exemple le  mode
+$f_l: \Bool^l \rightarrow \Bool^l$ t.q. le $i^{\textrm{ème}}$ composant 
+est défini par 
+\begin{equation}
+{f_l}(x)_i =
+\left\{
+\begin{array}{l}
+\overline{x_i} \textrm{ si $i$ est impair} \\
+x_i \oplus x_{i-1} \textrm{ si $i$ est pair}
+\end{array}
+\right.
+\end{equation}\label{eq:fqq}
+
+on peut déduire immédiatement du théorème~\ref{th:Adrien} (chap.~\ref{chap:carachaos})
+que le graphe $\textsc{giu}(f_l)$ est fortement connexe.
+La preuve de double-stochasticité de la matrice associée 
+à $f_l$ est donnée en annexe~\ref{anx:marquage:dblesto}.
+On dispose ainsi d'un nouvel algorithme de marquage $\varepsilon$-stégo-sécure et 
+chaos-sécure.
+
+\section{Applications aux domaines fréquentiels}\label{sec:watermarking:frequentiel}
+Le schéma d'algorithme présenté dans ce chapitre a été appliqué au marquage d'images 
+dans les coefficients DCT et les DWT.
+
+\subsection{Fonction de signification pour l'embarquement dans les DCT} 
+ 
+On considère un hôte $x$ de taille $H \times L$ dans le domaine fréquentiel DCT.
+Dans chaque bloc de taille $8\times 8$, à chaque bit
+la fonction de signification $u$ associe
 
-\subsection{The negation mode is stego-secure}
-To make this article self-contained, this section recalls theorems and proofs of stego-security for negation mode published in~\cite{gfb10:ip}.
+\begin{itemize}
+\item 1 si c'est un bit apparaissant dans la représentation binaire de la valeur d'un coefficient dont les coordonnées appartiennent à $\{(1,1),(2,1),(1,2)\}$,
+\item 1 si c'est un bit apparaissant dans la représentation binaire de la valeur 
+  d'un coefficient dont les 
+  coordonnées appartiennent à $\{(3,1),(2,2),(1,3)\}$ et qui n'est pas un des trois 
+  bits de poids faible de cette représentation,
+\item -1 si c'est un bit apparaissant dans la représentation binaire
+de la valeur d'un coefficient dont les 
+  coordonnées appartiennent à $\{(3,1),(2,2),(1,3)\}$ et qui est un des 
+ trois bits de poids faible  de cette valeur,
+\item 0 sinon.
+\end{itemize}
+Le choix de l'importance de chaque coefficient est défini grâce aux seuils  
+$(m,M)=(-0.5,0.5)$ 
+permettant d'engendrer les MSBs, LSBs, et bits passifs.
 
-\begin{proposition} \emph{dhCI dissimulation}  of Definition \ref{def:dhCI} with
-negation mode and  CIIS strategy-adapter is stego-secure, whereas  it is not the
-case when using CIDS strategy-adapter.
-\end{proposition}
 
+\subsection{Fonction de signification pour l'embarquement dans les DWT} 
 
-\begin{proof}   On   the    one   hand,   let   us   suppose    that   $X   \sim
-\mathbf{U}\left(\mathbb{B}^n\right)$  when  using  \linebreak CIIS$(K,\_,\_,l)$.
-We  prove  by  a
-mathematical   induction   that   $\forall    t   \in   \mathds{N},   X^t   \sim
-\mathbf{U}\left(\mathbb{B}^n\right)$.
+On considère un hôte dans le domaine des DWT. La fonction de signification 
+se concentre sur les seconds niveaux de détail (\textit{i.e.}, LH2, HL2 et HH2).
+Pour chaque bit, on dit qu'il est peu significatif si c'est un des trois bits de 
+poids faible d'un coefficient de  LH2, HL2 ou de  HH2.
+Formellement  à chaque bit
+la fonction de signification $u$ associe
 
-The     base     case     is     immediate,     as     $X^0     =     X     \sim
-\mathbf{U}\left(\mathbb{B}^n\right)$. Let us now suppose that the statement $X^t
-\sim  \mathbf{U}\left(\mathbb{B}^n\right)$  holds  until for  some $t$. 
-Let  $e  \in
-\mathbb{B}^n$   and   \linebreak   $\mathbf{B}_k=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)   \in
-\mathbb{B}^n$ (the digit $1$ is in position $k$).
+\begin{itemize}
+\item 1 si c'est un bit apparaissant dans la représentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LL2, 
+\item 1 si c'est un bit apparaissant dans la représentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LH2, HL2, HH2 et qui n'est pas un des trois 
+  bits de poids faible de cette représentation,
+\item 0 si c'est un bit apparaissant dans la représentation binaire de la valeur d'un coefficient de type LH2, HL2, HH2 et qui est un des trois 
+  bits de poids faible de cette représentation,
+\item -1 sinon.
+\end{itemize}
+Le choix de l'importance de chaque coefficient est encore défini grâce aux seuils  
+$(m,M)=(-0.5,0.5)$ 
+permettant d'engendrer les MSBs, LSBs, et bits passifs.
+
+
+\subsection{Etude de robustesse}
+Cette partie synthétise une étude de robustesse de la démarche présentée ci-avant.
+Dans ce qui suit, {dwt}(neg), 
+{dwt}(fl), {dct}(neg), {dct}(fl) 
+correspondant respectivement aux embarquements en fréquentiels 
+dans les domaines  DWT et  DCT 
+avec le mode de négation et celui issu de la fonction $f_l$
+détaillée à l'équation~\ref{eq:fqq}.
+
+A chaque série d'expériences, un ensemble de 50 images est choisi aléatoirement 
+de la base du concours BOSS~\cite{Boss10}. Chaque hôte est une image 
+en $512\times 512$ en niveau de gris et la marque $y$ est une suite de
+4096 bits.
+La résistance à la robustesse est évaluée en appliquant successivement
+sur l'image marquée des attaques de découpage, de compression, de 
+transformations géométriques. 
+Si les différences entre  $\hat{y}$ and $\varphi_m(z)$.
+sont en dessous d'un seuil (que l'on définit), 
+l'image est dite marquée (et non marquée dans le cas contraire).
+Cette différence exprimée en pourcentage est rappelée pour chacune des attaques
+à la figure~\ref{fig:atq:dhc}.
 
-So    
-$P\left(X^{t+1}=e\right)=\sum_{k=1}^n
-P\left(X^t=e\oplus\mathbf{B}_k,S^t=k\right)$ where  
-$\oplus$ is again the bitwise exclusive or. 
-These  two events are  independent when
-using CIIS strategy-adapter 
-(contrary to CIDS, CIIS is not built by using $X$),
- thus:
-$$P\left(X^{t+1}=e\right)=\sum_{k=1}^n
-P\left(X^t=e\oplus\mathbf{B}_k\right) \times  P\left(S^t=k\right).$$ 
 
-According to the
-inductive    hypothesis:   $P\left(X^{n+1}=e\right)=\frac{1}{2^n}   \sum_{k=1}^n
-P\left(S^t=k\right)$.  The set  of events $\left \{ S^t=k \right  \}$ for $k \in
-\llbracket  1;n \rrbracket$  is  a partition  of  the universe  of possible,  so
-$\sum_{k=1}^n                  P\left(S^t=k\right)=1$.                  Finally,
-$P\left(X^{t+1}=e\right)=\frac{1}{2^n}$,   which    leads   to   $X^{t+1}   \sim
-\mathbf{U}\left(\mathbb{B}^n\right)$.   This  result  is  true  for all  $t  \in
-\mathds{N}$ and then for $t=l$.
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \subfigure[Découpage]{
+    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{atq-dec}\label{Fig:atq:dec:curves}
+  }
+  \subfigure[Compression JPEG]{
+    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-jpg}\label{Fig:atq:jpg:curves}
+  }
+  \subfigure[Compression JPEG 2000]{
+    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-jp2}\label{Fig:atq:jp2:curves}
+  }
+  \subfigure[Modification du contraste]{
+    % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-contrast.pdf}\label{Fig:atq:cont:curve}}
+    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-contrast}\label{Fig:atq:cont:curve}
+  }
+  \subfigure[Accentuation des bords]{
+    % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-flou.pdf}\label{Fig:atq:sh:curve}}
+    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-flou}\label{Fig:atq:sh:curve}
+  }
+  \subfigure[Rotation]{
+    % \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-rot.pdf}\label{Fig:atq:rot:curve}}
+    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{atq-rot}\label{Fig:atq:rot:curve}
+  }
+\caption{Illustration de la robustesse}\label{fig:atq:dhc}
+\end{figure}
 
-Since $P(Y|K)$ is $P(X^l)$ that is proven to be equal to $P(X)$,
-we thus  have established that, 
-$$\forall K  \in [0;1], P(Y|K)=P(X^{l})=P(X).$$ 
-So   dhCI   dissimulation   with   CIIS
-strategy-adapter is stego-secure.
 
-On  the  other  hand,  due  to  the  definition  of  CIDS,  we  have  \linebreak
-$P(Y=(1,1,\cdots,1)|K)=0$. 
-%\JFC{Pourquoi? Justifier davantage là ou dans la def de CIDS}
-So   there  is   no  uniform  repartition   for  the stego-contents $Y|K$.
-\end{proof}
+\subsection{Évaluation de l'embarquement}\label{sub:roc}
+Pour évaluer le seuil qui permet de dire avec la plus grande précision 
+si une image est marquée ou non, nous avons appliqué la démarche suivante.
+A partir d'un ensemble de 100 images du challenge BOSS, les trois 
+ensembles suivants sont construits: celui des images marquées $W$,
+celui contenant des images marquées puis attaquée $\textit{WA}$,
+et celui des images uniquement attaquées $A$. Les attaques sont choisies parmi 
+celles données ci dessus.
 
+Pour chaque entier $t$ entre 5 et 55 
+et chaque  image $x \in \textit{WA} \cup A$,
+on calcule la différence entre  $\hat{y}$ et $\varphi_m(z)$.
+L'image est dite marquée si cette différence est en dessous du seuil $t$  considéré  
+\begin{itemize}
+\item si elle est dite marquée et si $x$ appartient  à $\textit{WA}$
+  c'est un vrai cas positif (TP);
+\item si elle est dite non marquée et si $x$ appartient cependant à $\textit{WA}$
+  c'est un faux cas négatif (FN);
+\item si elle est dite marquée et si $x$ appartient cependant à $\textit{A}$
+  c'est un faux cas positif (FP);
+\item enfin si elle est dite non marquée et si $x$ appartient à $\textit{A}$
+  c'est un vrai cas négatif (TN).
+\end{itemize}
 
 
-To sum up, Alice  and Bob can counteract Eve's attacks in  WOA setup, when using
-dhCI dissimulation with  CIIS strategy-adapter.  To our best  knowledge, this is
-the second time an information hiding scheme has been proven to be stego-secure:
-the   former  was   the  spread-spectrum   technique  in   natural  marking
-configuration with $\eta$ parameter equal to 1 \cite{Cayre2008}.
+\begin{figure}[ht]
+\begin{center}
+\includegraphics[width=7cm]{ROC}
+\end{center}
+\caption{Courbes ROC de seuils de détection}\label{fig:roc:dwt}
+\end{figure}
 
+La courbe ROC construite à partir des points de coordonnées (TP,FP) issus 
+de ces seuils est 
+donnée à la figure~\ref{fig:roc:dwt}. 
+Pour la fonction $f_l$ et pour la fonction négation respectivement, 
+la détection est optimale pour le seuil de 45\% correspondant au point (0.01, 0.88)
+et pour le seuil de  46\%  correspondant au point (0.04, 0.85) 
+dans le domaine DWT.
+Pour les deux modes dans le domaine DCT, 
+la détection est optimale pour le seuil de 44\% 
+(correspondant aux points (0.05, 0.18) et (0.05, 0.28)).
+On peut alors donner des intervalles de confiance pour les attaques évaluées.
+L'approche est résistante:
+\begin{itemize}
+\item à tous les découpages où le pourcentage est inférieur à 85\%;
+\item aux compression dont le ratio est supérieur à 82\% dans le domaine 
+  DWT et  67\% dans celui des DCT;
+\item aux modifications du contraste lorsque le renforcement est dans 
+  $[0.76,1.2]$ dans le domaine DWT et  $[0.96,1.05]$ dans le domaine DCT;
+\item à toutes les rotations dont l'angle est inférieur à 20 degrés dans le domaine DCT et 
+  celles dont l'angle est inférieur à 13 degrés dans le domaine DWT.
+\end{itemize}
 
 
+\section{Embarquons davantage qu'1 bit}\label{sec:watermarking:extension}
+L'algorithme présenté dans les sections précédentes
+ne  permet de savoir, \textit{in fine}, 
+que si l'image est marquée ou pas. Cet algorithme ne permet pas
+de retrouver le contenu de la marque à partir de l'image marquée.
+C'est l'objectif de l'algorithme présenté dans cette section et introduit 
+dans~\cite{fgb11:ip}.
+Pour des raisons de lisibilité, il n'est pas 
+présenté dans le formalisme de la première section et
+est grandement synthétisé.
+Il a cependant été prouvé comme étant chaos-sécure~\cite{fgb11:ip}.
 
 
-\subsection{A new class of $\varepsilon$-stego-secure schemes}
 
-Let us prove that,
-\begin{theorem}\label{th:stego}
-Let $\epsilon$ be positive,
-$l$ be any size of LSCs, 
-$X   \sim \mathbf{U}\left(\mathbb{B}^l\right)$,
-$f_l$ be an image mode s.t. 
-$\Gamma(f_l)$ is strongly connected and 
-the Markov matrix associated to $f_l$ 
-is doubly stochastic. 
-In the instantiated \emph{dhCI dissimulation} algorithm 
-with any uniformly distributed (u.d.) strategy-adapter 
-that is independent from $X$,  
-there exists some positive natural number $q$ s.t.
-$|p(X^q)- p(X)| < \epsilon$. 
-\end{theorem}
-
-
-\begin{proof}   
-Let $\textit{deci}$ be the bijection between $\Bool^{l}$ and 
-$\llbracket 0, 2^l-1 \rrbracket$ that associates the decimal value
-of any  binary number in $\Bool^{l}$.
-The probability $p(X^t) = (p(X^t= e_0),\dots,p(X^t= e_{2^l-1}))$ for $e_j \in \Bool^{l}$ is thus equal to 
-$(p(\textit{deci}(X^t)= 0,\dots,p(\textit{deci}(X^t)= 2^l-1))$ further denoted by $\pi^t$.
-Let $i \in \llbracket 0, 2^l -1 \rrbracket$, 
-the probability $p(\textit{deci}(X^{t+1})= i)$  is 
-\[
- \sum\limits^{2^l-1}_{j=0}  
-\sum\limits^{l}_{k=1} 
-p(\textit{deci}(X^{t}) = j , S^t = k , i =_k j , f_k(j) = i_k ) 
-\]
-\noindent 
-where $ i =_k j $ is true iff the binary representations of 
-$i$ and $j$ may only differ for the  $k$-th element,
-and where 
-$i_k$ abusively denotes, in this proof, the $k$-th element of the binary representation of 
-$i$.
-
-Next, due to the proposition's hypotheses on the strategy,
-$p(\textit{deci}(X^t) = j , S^t = k , i =_k j, f_k(j) = i_k )$ is equal to  
-$\frac{1}{l}.p(\textit{deci}(X^t) = j ,  i =_k j, f_k(j) = i_k)$.
-Finally, since $i =_k j$ and $f_k(j) = i_k$ are constant during the 
-iterative process  and thus does not depend on $X^t$, we have 
-\[
-\pi^{t+1}_i = \sum\limits^{2^l-1}_{j=0}
-\pi^t_j.\frac{1}{l}  
-\sum\limits^{l}_{k=1} 
-p(i =_k j, f_k(j) = i_k ).
-\]
+Commençons par quelques conventions de notations: 
+\begin{itemize}
+\item $\mathbb{S}_\mathsf{k}$ est l'ensemble des stratégies unairesx sur $[k]$;
+\item $m^0 \in \mathbb{B}^{\mathsf{P}}$ est un vecteur de $\mathsf{P}$ bits
+  représentant la marque;
+\item comme précédemment, 
+  $x^0 \in \mathbb{B}^\mathsf{N}$ est le vecteurs des
+   $\mathsf{N}$ bits sélectionnés où la marque est embarquée.
+ \item $S_p \in \mathbb{S}_\mathsf{N}$ 
+   est la \emph{stratégie de place} et définit quel 
+   élément de $x$ est modifié à chaque itération;
+  \item $S_c \in \mathbb{S}_\mathsf{P}$ est la \textbf{stratégie de  choix}
+    qui définit quel indice du vecteur de marque est embarqué à chaque 
+    itération;
+  \item $S_m \in \mathbb{S}_\mathsf{P}$ est la \textbf{stratégie de mélange}
+    qui précise quel élément de la marque est inversé à chaque itération.
+\end{itemize}
 
-Since 
-$\frac{1}{l}  
-\sum\limits^{l}_{k=1} 
-p(i =_k j, f_k(j) = i_k ) 
-$ is equal to $M_{ji}$ where  $M$ is the Markov matrix associated to
- $f_l$ we thus have
-\[
-\pi^{t+1}_i = \sum\limits^{2^l-1}_{j=0}
-\pi^t_j. M_{ji} \textrm{ and thus }
-\pi^{t+1} = \pi^{t} M.
-\]
+% In what follows, $x^0$ and $m^0$ are sometimes replaced by
+% $x$ and $m$ for the sake of brevity, 
+% when such abridge does not introduce confusion. 
+
+
+% \subsection{The $\CID$ scheme}\label{sub:ci2:scheme}
+Le processus itératif modifiant $x$ est défini comme suit.
+Pour chaque $(n,i,j) \in  
+\mathds{N}^{\ast} \times \llbracket 0;\mathsf{N}-1\rrbracket \times \llbracket
+0;\mathsf{P}-1\rrbracket$, on a:
+\begin{equation*}
+\left\{
+\begin{array}{l}
+x_i^n=\left\{
+\begin{array}{ll}
+x_i^{n-1} & \text{ si }S_p^n\neq i \\
+m_{S_c^n}^{n-1} & \text{ si }S_p^n=i.
+\end{array}
+\right.
+\\
+\\
+m_j^n=\left\{
+\begin{array}{ll}
+m_j^{n-1} & \text{ si }S_m^n\neq j \\
+ & \\
+\overline{m_j^{n-1}} & \text{ si }S_m^n=j.
+\end{array}
+\right.
+\end{array}
+\right.
+\end{equation*}
+%\end{Def}
+\noindent où $\overline{m_j^{n-1}}$ est la négation booléenne de $m_j^{n-1}$.
+On impose de plus la contrainte suivante.
+Soit $\Im(S_p) = \{S^1_p, S^2_p, \ldots,  S^l_p\}$ 
+l'ensemble de cardinalité $k \leq l$ (les doublons sont supprimés).  
+qui contient la liste des indices $i$, $1 \le i \le p$,
+tels que $x_i$ a été modifié.
+On considère $\Im(S_c)_{|D}= \{S^{d_1}_c, S^{d_2}_c, \ldots,  S^{d_k}_c\}$
+où  
+$d_i$ est la dernière date où l'élément $i \in \Im(S_p)$ a été modifié.   
+Cet ensemble doit être égal à $\llbracket 0 ;\mathsf{P} -1 \rrbracket$.
+
+Pour peu que l'on sache satisfaire la contrainte précédente,
+on remplace $x $ par $x^l \in \mathbb{B}^{\mathsf{N}}$ dans
+l'hôte et on obtient un contenu marqué.
+
+
+Sans attaque, le schéma doit garantir qu'un utilisateur qui dispose des bonnes 
+clefs de création des stratégies est capable d'extraire une marque et que 
+celle-ci est la marque insérée.
+Ceci correspond respectivement aux propriétés de complétude et de correction
+de l'approche.
+L'étude de ces propriétés est l'objectif de la section qui suit.
+
+
+
+
+
+
+\subsection{Correction et complétude du schéma}\label{sub:ci2:discussion}
+
+On ne donne ici que le théorème. La preuve est placée en annexes~\ref{anx:preuve:marquage:correctioncompletue}.
+
+\begin{restatable}[Correction et complétude du marquage]{theorem}{marquagecorrectioncompl}
+La condition de l'algorithme de marquage est nécessaire et suffisante
+pour permettre l'extraction du message du média marqué.
+\end{restatable}
+
+Sous ces hypothèse, on peut donc extraire un message.
+De plus,  le cardinal $k$ de  
+$\Im(S_p)$ est supérieur ou égal à  $\mathsf{P}$.
+Ainsi le bit  $j$ du message original $m^0$ peut être 
+embarqué plusieurs fois dans $x^l$. 
+Or, en comptant le nombre de fois où ce  bit a été inversé dans 
+$S_m$, la valeur de $m_j$ peut se déduire en plusieurs places. 
+Sans attaque, toutes ces valeurs sont identiques 
+et le message est obtenu immédiatement.
+Si attaque il y a, la valeur de $m_j$ peut s'obtenir en prenant la valeur 
+moyenne de toutes les valeurs obtenues. 
+
+\subsection{Détecter si le média est marqué}\label{sub:ci2:distances}
+On considère un média $y$ marqué par un message $m$. 
+Soit $y'$ une version altérée de $y$, c.-à-d. une version  
+où certains bits ont été modifiés et soit
+$m'$ le message extrait de   $y'$. 
+
+Pour mesurer la distance entre $m'$ et $m$, on 
+considère respectivement 
+$M$ et $M'$ l'ensemble des indices de $m$ et de $m'$ 
+où $m_i$ vaut 1 et ou $m'_1$ vaut 1.
+
+Beaucoup de mesures de similarité~\cite{yule1950introduction,Anderberg-Cluster-1973,Rifqi:2000:DPM:342947.342970}, dépendent des ensembles
+$a$, $b$, $c$ et $d$ définis par
+$a = |M \cap M' |$, 
+$b = |M \setminus M' |$,
+$c = |M' \setminus M|$ et 
+$d = |\overline{M} \cap \overline{M'}|$
+
+Selon ~\cite{rifq/others03} la mesure de Fermi-Dirac $S_{\textit{FD}}$
+est celle dont le pouvoir de discrimination est le plus fort, 
+c.-à-d. celle qui permet la séparation la plus forte entre des vecteurs 
+corrélés et des des vecteurs qui ne le sont pas.
+La distance entre $m$ et $m'$ est construite selon cette mesure 
+et produit un réel dans $[0;1]$. Si elle est inférieure à un certain 
+seuil (à définir), le média $y'$ est déclaré 
+comme marqué et le message doit pouvoir être extrait.
+
+\subsection{Etude de robustesse}\label{sec:watermarking:robustesse} 
+La méthode d'expérimentation de robustesse appliquée à la section précédente 
+pourrait être réappliquée ici et nous pourrions obtenir, grâce aux courbes de 
+ROC une valeur seuil pour déterminer si une marque est présente ou pas.
+Dans~\cite{bcfg+13:ip}, nous n'avons cependant pas poussé
+la démarche plus loin que dans la direction de l'embarquement 
+dans les bits de poids faible en spatial et l'on sait que ceci est 
+particulièrement peu robuste. 
+
+
+\section{Conclusion}
+Grâce à la formalisation du processus de watermarking par itérations discrètes, nous avons pu dans ce chapitre montrer que le processus possédait les propriétés
+attendues, à savoir stego-sécurité, chaos sécurité et une robustesse relative.
+Pour étendre le champ applicatif, nous avons proposé un second algorithme
+permettant de particulariser la marque à embarquer et donc à extraire.
+Le chapitre suivant s'intéresse au marquage, mais dans un autre domaine que celui des images.
 
-% The calculus of $p(X^{t+1} = e)$ is thus equal to 
-% $\pi^{t+1}_i$. 
-
-First of all, 
-since the graph $\Gamma(f)$ is strongly connected,
-then for all vertices $i$ and $j$, a path can
-be  found to  reach $j$  from $i$  in at  most $2^l$  steps.  
-There  exists thus $k_{ij} \in \llbracket 1,  2^l \rrbracket$ s.t.
-${M}_{ij}^{k_{ij}}>0$.  
-As all the multiples $l \times k_{ij}$ of $k_{ij}$ are such that 
-${M}_{ij}^{l\times  k_{ij}}>0$, 
-we can  conclude that, if
-$k$ is the least common multiple of $\{k_{ij}  \big/ i,j  \in \llbracket 1,  2^l \rrbracket  \}$ thus 
-$\forall i,j  \in \llbracket  1, 2^l \rrbracket,  {M}_{ij}^{k}>0$ and thus 
-$M$ is a regular stochastic matrix.
-
-
-Let us now recall the following stochastic matrix theorem:
-\begin{theorem}[Stochastic Matrix]
-  If $M$ is a regular stochastic matrix, then $M$ 
-  has an unique stationary  probability vector $\pi$. Moreover, 
-  if $\pi^0$ is any initial probability vector and 
-  $\pi^{t+1} = \pi^t.M $ for $t = 0, 1,\dots$ then the Markov chain $\pi^t$
-  converges to $\pi$ as $t$ tends to infinity.
-\end{theorem}
-
-Thanks to this theorem, $M$ 
-has an unique stationary  probability vector $\pi$. 
-By hypothesis, since $M$ is doubly stochastic we have 
-$(\frac{1}{2^l},\dots,\frac{1}{2^l}) = (\frac{1}{2^l},\dots,\frac{1}{2^l})M$
-and thus $\pi =  (\frac{1}{2^l},\dots,\frac{1}{2^l})$.
-Due to the matrix theorem, there exists some 
-$q$ s.t. 
-$|\pi^q- \pi| < \epsilon$
-and the proof is established.
-Since $p(Y| K)$ is $p(X^q)$ the method is then $\epsilon$-stego-secure
-provided the strategy-adapter is uniformly distributed.
- \end{proof}
-
-This section has focused on security with regards to probabilistic behaviors. 
-Next section studies it in the perspective of topological ones.
-
-
-
-%\subsection{Security in KMA, KOA and CMA setups}
-%\input{KMOA.tex}