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diff --git a/14Secrypt.tex b/14Secrypt.tex
index b7cb0d3..a04c11e 100644
--- a/14Secrypt.tex
+++ b/14Secrypt.tex
@@ -13,17 +13,17 @@ graphe d'itérations, ce qui revient à supprimer en chaque n{\oe}ud de ce graph
 arête sortante et une arête entrante.
 
 
-This aim of this section is to show 
-that finding DSSC matrices from a hypercube
-is a typical finite domain satisfaction 
-problem, classically denoted as 
-Constraint Logic Programming on Finite Domains (CLPFD). 
-This part is addressed in the first section. Next, we analyse the first
-results to provide a generation of DSSC matrices with small mixing times. 
+% This aim of this section is to show 
+% that finding DSSC matrices from a hypercube
+% is a typical finite domain satisfaction 
+% problem, classically denoted as 
+% Constraint Logic Programming on Finite Domains (CLPFD). 
+% This part is addressed in the first section. Next, we analyse the first
+% results to provide a generation of DSSC matrices with small mixing times. 
 
 \section{Programmation logique par contraintes sur des domaines finis}
 Tout d'abord, soit ${\mathsf{N}}$ le nombre d'éléments. 
-Pour éviter d'avoir à gérér des fractions, on peut considérer que 
+Pour éviter d'avoir à gérer des fractions, on peut considérer que 
 les matrices (d'incidence) à générer ont des lignes et des colonnes dont les 
 sommes valent ${\mathsf{N}}$ à chaque fois.  
 On cherche ainsi toutes les matrices $M$ de taille  $2^{\mathsf{N}}\times 2^{\mathsf{N}}$ telles que 
@@ -37,16 +37,16 @@ configuration $i$ est inférieur à ${\mathsf{N}}$;
 
 \item pour $j \neq i$,  $0 \le M_{ij} \le 1$: on construit l'arc de $i$ à $j$ 
 si et seulement si $M_{ij}$ vaut 1 (et 0 sinon)
-\item pour chque indice de ligne  $i$, $1 \le i\le 2^{\mathsf{N}}$, ${\mathsf{N}} = \sum_{1 \le j\le 2^{\mathsf{N}}} M_{ij}$: 
+\item pour chaque indice de ligne  $i$, $1 \le i\le 2^{\mathsf{N}}$, ${\mathsf{N}} = \sum_{1 \le j\le 2^{\mathsf{N}}} M_{ij}$: 
 la matrice est stochastique à droite; 
-\item pour chque indice de colonne $j$, 
+\item pour chaque indice de colonne $j$, 
   $1 \le j\le 2^{\mathsf{N}}$, ${\mathsf{N}} = \sum_{1 \le i\le 2^{\mathsf{N}}} M_{ij}$: 
   la matrice est stochastique à gauche;
 \item Toutes les éléments de la somme $\sum_{1\le k\le 2^{\mathsf{N}}}M^k$ sont strictement positif, \textit{i.e.}, le graphe $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe;
 \end{enumerate}
 Ce problème s'exprime sur des domaines finis entiers avec des opérateurs  
-arithmétiques simples (sommes et poduits). il pourrait théoriquement être 
-traité par desdémarches de programation logique par contrainte
+arithmétiques simples (sommes et produits). il pourrait théoriquement être 
+traité par des démarches de programmation logique par contrainte
 sur des domaines finis (comme en PROLOG).
 L'algorithme donné en Figure~\ref{fig:prolog}
 est en effet le c{\oe}ur du programme PROLOG 
@@ -83,10 +83,10 @@ bistoc(X):-
   allpositive(S4).
 \end{lstlisting}
 \end{scriptsize}
-\caption{Prolog Problem to Find DSSC Matrix when $n=2$}\label{fig:prolog}
+\caption{Code PROLOG permettant de trouver toutes les matrices DSSC pour $n=2$}\label{fig:prolog}
 \end{figure}
 
-Enfin, on définit la relation $\mathcal{R}$, qui est établie pourles deux 
+Enfin, on définit la relation $\mathcal{R}$, qui est établie pour les deux 
 fonctions  $f$ et $g$ si leur graphes 
 respectifs  $\textsf{giu}(f)$ et $\textsf{giu}(g)$ 
 sont isomorphes.
@@ -105,10 +105,10 @@ Cependant, l'approche ne permet pas d'engendrer toutes les solutions
 pour $n=4$.
 Cette approche, basée sur une démarche de type \emph{générer, tester} ne peut 
 pas être retenue pour $n$ de grande taille, même 
-en s'appuyant sur l'éfficience de l'algorithme de backtrack natif de PROLOG.
+en s'appuyant sur l'efficience de l'algorithme de backtrack natif de PROLOG.
 
 Cependant, pour des valeurs de $n$ petites, nous avons 
-comparé les fonctions non équivalantes selon leur proportion
+comparé les fonctions non équivalentes selon leur proportion
 à engendrer des temps de mélange petits (cf. équation~\ref{eq:mt:ex}).
 
 
@@ -156,7 +156,8 @@ Cependant, le graphe $\textsc{giu}(f^*)$
 (donné à la Figure~\ref{fig:iteration:f*})
 est le $3$-cube dans lequel le cycle 
 $000,100,101,001,011,111,110,010,000$ 
-a été enlevé.
+a été enlevé. Dans cette figure, le le graphe $\textsc{giu}(f)$ est
+en continu tandis que le cycle est en pointillés.
 Ce cycle qui visite chaque n{\oe}ud exactement une fois est un  
 \emph{cycle hamiltonien}.
 La matrice de Markov correspondante est donnée à 
@@ -173,7 +174,7 @@ On s'intéresse  par la suite à la génération de ce genre de cycles.
     \label{fig:iteration:f*}]{
       \begin{minipage}{0.55\linewidth}
         \centering
-        \includegraphics[width=\columnwidth]{images/iter_f0c}%
+        \includegraphics[width=\columnwidth]{images/iter_f0d}%
       \end{minipage}
     }%
     \subfigure[Matrice de Markov associée à $\textsc{giu}(f^*)$
@@ -379,18 +380,191 @@ pouvant être produits.  Les  cas 7 et 8 ne sont que  des bornes minimales basé
 sur des sous-ensembles des partitionnements possibles.
 
 \begin{table}[ht]
-  %\begin{center}
+  \begin{center}
     \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
       \hline
       $n$              & 4 & 5 & 6    & 7      & 8      \\
       \hline
-      nb. de fonctions & 1 & 2 & 1332 & > 2300 & > 4500 \\
+      nb. de fonctions & 1 & 2 & 1332 & $>$ 2300 & $>$ 4500 \\
       \hline
     \end{tabular}
-  %\end{center}
-\caption{Nombre de générateurs selon le nombre de bits.}\label{table:nbFunc}
+  \end{center}
+\caption{Nombre de codes de Gray équilibrés selon le nombre de bits.}\label{table:nbFunc}
 \end{table}
 
 
+Ces fonctions étant générée, on s'intéresse à étudier à quelle vitesse 
+un générateur les embarquant converge vers la distribution uniforme.
+C'est l'objectif de la section suivante. 
+
 \section{Quantifier l'écart par rapport à la distribution uniforme} 
-%15 Rairo
\ No newline at end of file
+On considère ici une fonction construite comme à la section précédente.
+On s'intéresse ici à étudier de manière théorique les 
+itérations définies à l'équation~(\ref{eq:asyn}) pour une 
+stratégie donnée.
+Tout d'abord, celles-ci peuvent être interprétées comme une marche le long d'un 
+graphe d'itérations $\textsc{giu}(f)$ tel que le choix de tel ou tel arc est donné par la 
+stratégie.
+On remarque que ce graphe d'itération est toujours un sous graphe 
+du   ${\mathsf{N}}$-cube augmenté des 
+boucles sur chaque sommet, \textit{i.e.}, les arcs
+$(v,v)$ pour chaque $v \in \Bool^{\mathsf{N}}$. 
+Ainsi, le travail ci dessous répond à la question de 
+définir la longueur du chemin minimum dans ce graphe pour 
+obtenir une distribution uniforme.
+Ceci se base sur la théorie des chaînes de Markov.
+Pour une référence 
+générale à ce sujet on pourra se référer 
+au livre~\cite{LevinPeresWilmer2006},
+particulièrement au chapitre sur les temps d'arrêt.
+
+
+
+
+\begin{xpl}
+On considère par exemple le graphe $\textsc{giu}(f)$ donné à la 
+\textsc{Figure~\ref{fig:iteration:f*}.} et la fonction de 
+probabilités $p$ définie sur l'ensemble des arcs comme suit:
+$$
+p(e) \left\{
+\begin{array}{ll}
+= \frac{2}{3} \textrm{ si $e=(v,v)$ avec $v \in \Bool^3$,}\\
+= \frac{1}{6} \textrm{ sinon.}
+\end{array}
+\right.  
+$$
+La matrice $P$ de la chaîne de Markov associée à  $f^*$ 
+est  
+\[
+P=\dfrac{1}{6} \left(
+\begin{array}{llllllll}
+4&1&1&0&0&0&0&0 \\
+1&4&0&0&0&1&0&0 \\
+0&0&4&1&0&0&1&0 \\
+0&1&1&4&0&0&0&0 \\
+1&0&0&0&4&0&1&0 \\
+0&0&0&0&1&4&0&1 \\
+0&0&0&0&1&0&4&1 \\
+0&0&0&1&0&1&0&4 
+\end{array}
+\right)
+\]
+\end{xpl}
+
+
+
+
+Tout d'abord, soit $\pi$ et $\mu$ deux distributions sur 
+$\Bool^{\mathsf{N}}$. 
+La distance de \og totale variation\fg{} entre  $\pi$ et $\mu$ 
+est notée  $\tv{\pi-\mu}$ et est définie par 
+$$\tv{\pi-\mu}=\max_{A\subset \Bool^{\mathsf{N}}} |\pi(A)-\mu(A)|.$$ 
+On sait que 
+$$\tv{\pi-\mu}=\frac{1}{2}\sum_{X\in\Bool^{\mathsf{N}}}|\pi(X)-\mu(X)|.$$
+De plus, si 
+$\nu$ est une distribution on $\Bool^{\mathsf{N}}$, on a 
+$$\tv{\pi-\mu}\leq \tv{\pi-\nu}+\tv{\nu-\mu}.$$
+
+Soit $P$ une matrice d'une chaîne de Markov sur $\Bool^{\mathsf{N}}$. 
+$P(X,\cdot)$ est la distribution induite par la  $X^{\textrm{ème}}$ colonne
+de  $P$. 
+Si la chaîne de  Markov induite par 
+$P$ a une  distribution stationnaire $\pi$, on définit alors 
+$$d(t)=\max_{X\in\Bool^{\mathsf{N}}}\tv{P^t(X,\cdot)-\pi}$$
+
+et
+
+$$t_{\rm mix}(\varepsilon)=\min\{t \mid d(t)\leq \varepsilon\}.$$
+
+Un résultat classique est
+
+$$t_{\rm mix}(\varepsilon)\leq \lceil\log_2(\varepsilon^{-1})\rceil t_{\rm mix}(\frac{1}{4})$$
+
+
+
+
+Soit $(X_t)_{t\in \mathbb{N}}$ une suite de  variables aléatoires de 
+$\Bool^{\mathsf{N}}$.
+une variable aléatoire $\tau$ dans $\mathbb{N}$ est un  
+\emph{temps d'arrêt} pour la suite
+$(X_i)$ si pour chaque $t$ il existe $B_t\subseteq
+(\Bool^{\mathsf{N}})^{t+1}$ tel que 
+$\{\tau=t\}=\{(X_0,X_1,\ldots,X_t)\in B_t\}$. 
+En d'autres termes, l'événement $\{\tau = t \}$ dépend uniquement des valeurs 
+de  
+$(X_0,X_1,\ldots,X_t)$, et non de celles de $X_k$ pour $k > t$. 
+ 
+
+Soit $(X_t)_{t\in \mathbb{N}}$ une chaîne de Markov et 
+$f(X_{t-1},Z_t)$  une représentation fonctionnelle de celle-ci. 
+Un \emph{temps d'arrêt aléatoire} pour la chaîne de 
+Markov  est un temps d'arrêt pour 
+$(Z_t)_{t\in\mathbb{N}}$.
+Si la chaîne de Markov  est irréductible et a $\pi$
+comme distribution stationnaire, alors un 
+\emph{temps stationnaire} $\tau$ est temps d'arrêt aléatoire
+(qui peut dépendre de la configuration initiale $X$),
+tel que la distribution de $X_\tau$ est $\pi$:
+$$\P_X(X_\tau=Y)=\pi(Y).$$
+
+
+Un temps d'arrêt  $\tau$ est qualifié de  \emph{fort} si  $X_{\tau}$ 
+est indépendant de  $\tau$.  On a les deux théorèmes suivants, dont les 
+démonstrations sont données en annexes~\ref{anx:generateur}.
+
+
+\begin{theorem}
+Si $\tau$ est un temps d'arrêt fort, alors $d(t)\leq \max_{X\in\Bool^{\mathsf{N}}}
+\P_X(\tau > t)$.
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem} \label{prop:stop}
+If $\ov{h}$ is bijective et telle que if for every $X\in \Bool^{\mathsf{N}}$,
+$\ov{h}(\ov{h}(X))\neq X$, alors
+$E[\ts]\leq 8{\mathsf{N}}^2+ 4{\mathsf{N}}\ln ({\mathsf{N}}+1)$. 
+\end{theorem}
+
+Sans entrer dans les détails de la preuve, on remarque que le calcul 
+de cette borne ne tient pas en compte le fait qu'on préfère enlever des 
+chemins hamiltoniens équilibrés. 
+En intégrant cette contrainte, la borne supérieure pourrait être réduite.
+
+\section{Et les itérations généralisées?}
+Le chaptire précédent a présenté un algorithme de 
+PRNG construit à partir d'itérations unaires. 
+On pourrait penser que cet algorithme est peu efficace puisqu'il 
+dispose d'une fonction $f$ de $\Bool^n$ dans lui même mais il ne modifie à 
+chaque itération qu'un seul élément de $[n]$.
+On pourrait penser à un algorithme basé sur les itérations généralisées, 
+c'est-à-dire qui modifierait une partie des éléments de $[n]$ à chaque 
+itération.
+C'est l'algorithme~\ref{CI Algorithm:prng:g}.
+
+\begin{algorithm}[h]
+%\begin{scriptsize}
+\KwIn{une fonction $f$, un nombre d'itérations $b$, 
+une configuration initiale $x^0$ ($n$ bits)}
+\KwOut{une configuration $x$ ($n$ bits)}
+$x\leftarrow x^0$\;
+$k\leftarrow b $\;
+\For{$i=1,\dots,k$}
+{
+$s\leftarrow{\textit{Set}(\textit{Random}(2^n))}$\;
+$x\leftarrow{F_{f_g}(s,x)}$\;
+}
+return $x$\;
+%\end{scriptsize}
+\caption{PRNG basé sur les itérations généralisées.}
+\label{CI Algorithm:prng:g}
+\end{algorithm}
+
+Par rapport à l'algorithme~\ref{CI Algorithm} seule 
+la ligne $s\leftarrow{\textit{Set}(\textit{Random}(2^n))}$ est différente.
+Dans celle-ci la fonction  $\textit{Set}   :    \{1,\ldots,2^n\}   \rightarrow
+\mathcal{P}(\{1,\ldots   n\})$   retourne  l'ensemble   dont   la   fonction
+caractéristique  serait  représentée par  le  nombre  donné  en argument.
+Par exemple, pour $n=3$, l'ensemble $\textit{Set}(6)$ vaudraitt $\{3,2\}$.
+On remarque aussi que l'argument de la fonction  $\textit{Random}$
+passe de $n$ à $2^n$.
+
+