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index c165102..2352fad 100644
--- a/sdd.tex
+++ b/sdd.tex
@@ -23,32 +23,32 @@ de conjonction \og . \fg{} et
 unaire de nÃ©gation \og $\overline{\mathstrut\enskip}$ \fg{}.
 
 
-Soit $n$ un entier naturel.
-On introduit quelques notations Ã  propos d'Ã©lÃ©ments de $\Bool^n$. 
-L'ensemble $\{1,\dots, n\}$ sera par la suite notÃ© $[n]$.
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel.
+On introduit quelques notations Ã  propos d'Ã©lÃ©ments de $\Bool^{\mathsf{N}}$. 
+L'ensemble $\{1,\dots, {\mathsf{N}}\}$ sera par la suite notÃ© $[{\mathsf{N}}]$.
 Le $i^{\textrm{Ã¨me}}$ composant d'un Ã©lÃ©ment 
-$x \in \Bool^n$ s'Ã©crit  $x_i$.
-Si l'ensemble $I$ est une partie de $[n]$, alors 
-$\overline{x}^I$ est l'Ã©lÃ©ment $y\in  \Bool^n$
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ s'Ã©crit  $x_i$.
+Si l'ensemble $I$ est une partie de $[{\mathsf{N}}]$, alors 
+$\overline{x}^I$ est l'Ã©lÃ©ment $y\in  \Bool^{\mathsf{N}}$
 tel que $y_i = 1 - x_i$ si $i\in I$ et  
 $y_i = x_i$ sinon. 
-On considÃ¨re les deux abrÃ©viations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[n]}$ 
+On considÃ¨re les deux abrÃ©viations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[{\mathsf{N}}]}$ 
 (chaque composant de $\overline{x}$ est niÃ©:
 c'est une nÃ©gation composante Ã  composante)
-et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [n]$
+et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [{\mathsf{N}}]$
 (seul $x_i$ est niÃ© dans $\overline{x}$).
-Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^n$, l'ensemble 
-$\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [n]$
+Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 
+$\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [{\mathsf{N}}]$
 tels que $x_i \neq y_i$.
-Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^n$. Son $i^{\textrm{Ã¨me}}$ composant
-est nommÃ© $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^n$ dans $\Bool$.
+Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$. Son $i^{\textrm{Ã¨me}}$ composant
+est nommÃ© $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans $\Bool$.
 Pour chaque 
-$x$ dans $\Bool^n$, l'ensemble 
+$x$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 
 $\Delta f(x)$ est dÃ©fini par $\Delta f(x) = \Delta(x,f(x))$.
 On peut admettre que $f (x) = \overline{x}^{\Delta f(x)}$ .
 
 \begin{xpl}\label{xpl:1}
-On considÃ¨re $n= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
+On considÃ¨re ${\mathsf{N}}= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
 $f(x)=(f_1(x),f_2(x),f_3(x))$ avec  
 $$\begin{array}{rcl}
 f_1(x_1, x_2, x_3) &=& (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 \textrm{, }\\
@@ -110,58 +110,64 @@ d'Ã©lÃ©ments Ã©tudiÃ©s (gÃ¨nes, protÃ©ines,\ldots).
 Un rÃ©seau boolÃ©en  est 
 dÃ©fini Ã  partir d'une fonction boolÃ©enne:
 \[
-f:\Bool^n\to\Bool^n,\qquad x=(x_1,\dots,x_n)\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x)),
+f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}},\qquad x=(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}})\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_{\mathsf{N}}(x)),
 \]
-et un  {\emph{schÃ©ma itÃ©ratif}} ou  encore \emph{mode de  mise Ã  jour}. Ã  partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^n$,  la suite $(x^{t})^{t
+et un  {\emph{schÃ©ma itÃ©ratif}} ou  encore \emph{mode de  mise Ã  jour}. Ã  partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^{\mathsf{N}}$,  la suite $(x^{t})^{t
   \in  \Nats}$ des  configurations  du  systÃ¨me est  construite  selon l'un  des
 schÃ©mas suivants :
 \begin{itemize}
 \item \textbf{SchÃ©ma parallÃ¨le  synchrone :} basÃ© sur la  relation de rÃ©currence
-  $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous  les $x_i$, $1 \le  i \le n$,  sont ainsi mis Ã   jour Ã 
+  $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous  les $x_i$, $1 \le  i \le {\mathsf{N}}$,  sont ainsi mis Ã   jour Ã 
   chaque itÃ©ration en utilisant l'Ã©tat global prÃ©cÃ©dent du systÃ¨me $x^t$.
 \item \textbf{SchÃ©ma  unaire :} ce schÃ©ma  est parfois 
   qualifiÃ© de chaotique 
   dans  la littÃ©rature. 
   Il  consiste Ã  modifier la valeur 
-  d'un unique Ã©lÃ©ment $i$,  $1 \le i \le  n$, Ã 
+  d'un unique Ã©lÃ©ment $i$,  $1 \le i \le  {\mathsf{N}}$, Ã 
   chaque itÃ©ration. Le choix de l'Ã©lÃ©ment qui est modifiÃ© Ã  chaque itÃ©ration est
   dÃ©fini  par une  suite 
   $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ qui est  une sÃ©quence
-  d'indices dans $[n]$. Cette suite est appelÃ©e \emph{stratÃ©gie unaire}. 
-  Il est basÃ© sur la relation dÃ©finie pour tout $i \in [n]$ par
-  $$
+  d'indices dans $[{\mathsf{N}}]$. Cette suite est appelÃ©e \emph{stratÃ©gie unaire}. 
+  Il est basÃ© sur la relation dÃ©finie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+  
+\begin{equation}
   x^{t+1}_i=
   \left\{ \begin{array}{l}
       f_i(x^t) \textrm{ si } i=s^t, \\
       x^t_i\textrm{ sinon.}
     \end{array}
-  \right.$$
+  \right.
+\label{eq:schema:unaire}
+\end{equation}
 
 
 
 \item \textbf{SchÃ©ma gÃ©nÃ©ralisÃ©:}  dans ce schÃ©ma, ce sont les valeurs  
-  d'un ensemble d'Ã©lÃ©ments de $[n]$ qui sont modifiÃ©es Ã   chaque  itÃ©ration.
+  d'un ensemble d'Ã©lÃ©ments de $[{\mathsf{N}}]$ qui sont modifiÃ©es Ã   chaque  itÃ©ration.
   Dans  le  cas  particulier oÃ¹  c'est la valeur d'un  singleton
-  $\{k\}$, $1 \le k  \le n$, qui est modifiÃ©e Ã 
+  $\{k\}$, $1 \le k  \le {\mathsf{N}}$, qui est modifiÃ©e Ã 
   chaque  itÃ©ration, on retrouve le
   mode unaire. Dans le second cas particulier oÃ¹ ce sont les valeurs de 
-  tous les Ã©lÃ©ments de $\{1, \ldots,  n\}$ qui sont  modifiÃ©es
+  tous les Ã©lÃ©ments de $\{1, \ldots,  {\mathsf{N}}\}$ qui sont  modifiÃ©es
   Ã  chaque  itÃ©ration, on retrouve  le mode
   parallÃ¨le.  Ce mode gÃ©nÃ©ralise donc les deux modes prÃ©cÃ©dents.  
   Plus formellement,  Ã   la  $t^{\textrm{Ã¨me}}$
   itÃ©ration, seuls les Ã©lÃ©ments de la partie 
-  $s^{t} \in \mathcal{P}([n])$ sont mis Ã 
+  $s^{t} \in \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])$ sont mis Ã 
   jour.  La  suite $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ est  une sÃ©quence
   de sous-ensembles 
-  de   $[n]$   appelÃ©e   \emph{stratÃ©gie gÃ©nÃ©ralisÃ©e}.
-  Il est basÃ© sur la relation dÃ©finie pour tout $i \in [n]$ par
-  $$
+  de   $[{\mathsf{N}}]$   appelÃ©e   \emph{stratÃ©gie gÃ©nÃ©ralisÃ©e}.
+  Il est basÃ© sur la relation dÃ©finie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+  \begin{equation}
   x^{t+1}_i=
   \left\{ \begin{array}{l}
       f_i(x^t) \textrm{ si } i \in s^t, \\
       x^t_i\textrm{ sinon.}
     \end{array}
-  \right.$$
+  \right.
+\label{eq:schema:generalise}
+\end{equation}
+
 
 
 
@@ -176,22 +182,22 @@ La section suivante dÃ©taille comment reprÃ©senter graphiquement les Ã©volutions
 
 
 
-Pour un entier naturel $n$ et une 
-fonction $f : B^n \rightarrow B^n$, plusieurs Ã©volutions sont possibles
+Pour un entier naturel ${\mathsf{N}}$ et une 
+fonction $f : B^{\mathsf{N}} \rightarrow B^{\mathsf{N}}$, plusieurs Ã©volutions sont possibles
 en fonction du schÃ©ma itÃ©ratif retenu. 
 Celles-ci sont reprÃ©sentÃ©es par un graphe orientÃ© dont les noeuds 
-sont les Ã©lÃ©ments de $\Bool^n$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).
+sont les Ã©lÃ©ments de $\Bool^{\mathsf{N}}$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).
 
 
 \begin{itemize}
 \item Le \emph{graphe des itÃ©rations synchrones} de $f$, notÃ© $\textsc{gis}(f)$ 
-est le graphe orientÃ© de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
+est le graphe orientÃ© de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement si $y=f(x)$.
 \item Le \emph{graphe des itÃ©rations unaires} de $f$, notÃ© $\textsc{giu}(f)$
-est le graphe orientÃ© de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
+est le graphe orientÃ© de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement s'il existe $x \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
 \item Le \emph{graphe des itÃ©rations gÃ©nÃ©ralisÃ©es} de $f$, notÃ© $\textsc{gig}(f)$
-est le graphe orientÃ© de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
+est le graphe orientÃ© de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement s'il existe un ensemble $I\subseteq \Delta f(x)$ tel que 
 $y = \overline{x}^I$. On peut remarquer que ce graphe contient comme 
 sous-graphe Ã  la fois celui des itÃ©rations synchrones et celui 
@@ -251,7 +257,7 @@ On remarque le cycle $((101,111),(111,011),(011,101))$
 \subsection{Attracteurs}
 
 On dit que le point 
-$x \in \Bool^n$ est un \emph{point fixe} de $f$ si  $x = f (x)$.
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ est un \emph{point fixe} de $f$ si  $x = f (x)$.
 Les points fixes sont particuliÃ¨rement intÃ©ressants car ils correspondent 
 aux Ã©tats stables:
 dans chaque graphe d'itÃ©rations, le point $x$ est un point fixe 
@@ -259,12 +265,12 @@ si et seulement si il est son seul successeur.
 
 
 
-Soit $\Gamma$ un graphe d'itÃ©rations (synchrones, unaires ou gÃ©nÃ©ralisÃ©es)
+Soit un graphe d'itÃ©rations (synchrones, unaires ou gÃ©nÃ©ralisÃ©es)
 de $f$. 
-Les \emph{attracteurs}  de $\Gamma$ sont les 
+Les \emph{attracteurs}  de ce graphe sont les 
 plus petits sous-ensembles (au sens de l'inclusion) non vides
-$A \subseteq \Bool^n$ tels que pour tout arc
-$x \rightarrow y$ de $\Gamma$, si $x$ est un Ã©lÃ©ment de $A$, alors 
+$A \subseteq \Bool^{\mathsf{N}}$ tels que pour tout arc
+$x \rightarrow y$, si $x$ est un Ã©lÃ©ment de $A$, alors 
 $y$ aussi.
 Un attracteur qui contient au moins deux Ã©lÃ©ments  est dit \emph{cyclique}.
 On en dÃ©duit qu'un attracteur cyclique ne contient pas de point fixe.
@@ -277,12 +283,12 @@ On a la proposition suivante:
 
 \begin{theorem}\label{Prop:attracteur}
 Le point $x$ est un point fixe si et seulement si 
-$\{x\}$ est un attracteur de $\Gamma$.
-En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de $\Gamma$ 
+$\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itÃ©ration (synchrone, unaire, gÃ©nÃ©ralisÃ©).
+En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci 
 sont les points fixes de $f$.
-Ainsi pour chaque $x\in \Bool^n$, il existe au moins un chemin 
+Ainsi pour chaque $x\in \Bool^{\mathsf{N}}$, il existe au moins un chemin 
 depuis $x$ qui atteint un attracteur.
-Ainsi $\Gamma$ contient toujours au moins un attracteur.
+Ainsi tout graphe d'itÃ©rations contient toujours au moins un attracteur.
 \end{theorem}
 
 
@@ -300,7 +306,7 @@ Les interactions entre les composants du
 systÃ¨me peuvent Ãªtre mÃ©morisÃ©es 
 dans la {\emph{matrice jacobienne discrÃ¨te}} $f'$.
 Celle-ci est dÃ©finie comme Ã©tant la fonction  qui  Ã  chaque 
-configuration $x\in\Bool^n$ associe la matrice de taille 
+configuration $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$ associe la matrice de taille 
 $n\times n$ telle que 
 \begin{equation}
 f'(x)=(f'_{ij}(x)),\qquad 
@@ -314,7 +320,7 @@ $\overline{x}^j_j$ et $x_j$ sont considÃ©rÃ©s comme des entiers naturels
  dans $\Z$.
 Lorsqu'on supprime les signes dans la matrice jacobienne discrÃ¨te, 
 on obtient une matrice notÃ©e $B(f)$ aussi de taille 
-$n\times n$.
+${\mathsf{N}}\times {\mathsf{N}}$.
 Celle-ci mÃ©morise uniquement 
 l'existence d'une dÃ©pendance de tel Ã©lÃ©ment vis Ã  vis de 
  tel Ã©lÃ©ment.
@@ -323,7 +329,7 @@ les uns par rapport aux autres. Cette matrice est nommÃ©e
 \emph{matrice d'incidence}.  
 
 \begin{theorem}
-Si $f_i$ ne dÃ©pend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [n]$, 
+Si $f_i$ ne dÃ©pend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [{\mathsf{N}}]$, 
 $f_i(\overline{x}^j)$ est Ã©gal Ã   $f_i(x)$, \textit{i.e}, 
 $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La rÃ©ciproque est aussi vraie.
 \end{theorem} 
@@ -333,10 +339,10 @@ $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La rÃ©ciproque est aussi vraie.
 
 En outre, les interactions peuvent se  reprÃ©senter Ã  l'aide d'un 
 graphe $\Gamma(f)$ orientÃ© et signÃ© dÃ©fini ainsi: 
-l'ensemble des sommets est 
-$[n]$ et il existe un arc de $j$ Ã  $i$ de signe
+l'ensemble des sommet %s est 
+$[{\mathsf{N}}]$ et il existe un arc de $j$ Ã  $i$ de signe
  $s\in\{-1,1\}$, notÃ© $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins
-un $x\in\Bool^n$. 
+un $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$. 
 
 On note que la prÃ©sence de 
 deux arcs de signes opposÃ©s entre deux sommets donnÃ©s 
@@ -515,28 +521,28 @@ arc positif (resp. un arc nÃ©gatif) de $i$ vers lui-mÃªme.
 \subsection{Conditions de convergence}\label{sec:Robert:async}
 
 Parmi les itÃ©rations unaires caractÃ©risÃ©es par leurs stratÃ©gies
-$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'Ã©lÃ©ments appartenant Ã  $[n]$,
+$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'Ã©lÃ©ments appartenant Ã  $[{\mathsf{N}}]$,
 sont jugÃ©es intÃ©ressantes 
 celles qui activent au moins une fois
-chacun des $i\in[n]$. Dans le cas contraire, un Ã©lÃ©ment n'est jamais modifiÃ©. 
+chacun des $i\in[{\mathsf{N}}]$. Dans le cas contraire, un Ã©lÃ©ment n'est jamais modifiÃ©. 
 
 Plus formellement, une sÃ©quence finie $S=(s^t)^{t \in \Nats}$
-est dite \emph{complÃ¨te} relativement Ã  $[n]$ si 
-tout indice de $[n]$
+est dite \emph{complÃ¨te} relativement Ã  $[{\mathsf{N}}]$ si 
+tout indice de $[{\mathsf{N}}]$
 s'y retrouve au moins une fois.
 
 Parmi toutes les stratÃ©gies unaires de 
-$[n]^{\Nats}$, on qualifie de:
+$[{\mathsf{N}}]^{\Nats}$, on qualifie de:
 \begin{itemize}
 \item \emph{pÃ©riodiques} celles 
 qui sont constituÃ©es par une rÃ©pÃ©tition indÃ©finie 
-d'une mÃªme sÃ©quence $S$ complÃ¨te relativement Ã  $[n]$.
+d'une mÃªme sÃ©quence $S$ complÃ¨te relativement Ã  $[{\mathsf{N}}]$.
 En particulier toute sÃ©quence pÃ©riodique est complÃ¨te.
 \item \emph{pseudo-pÃ©riodiques} celles 
 qui sont constituÃ©es par une succession indÃ©finie de sÃ©quences 
 (de longueur Ã©ventuellement variable non supposÃ©e bornÃ©e) complÃ¨tes.
 Autrement dit dans chaque stratÃ©gie pseudo-pÃ©riodique, chaque indice de
-$1$ Ã  $n$ revient indÃ©finiment.
+$1$ Ã  ${\mathsf{N}}$ revient indÃ©finiment.
 \end{itemize}
 
 
@@ -547,14 +553,14 @@ dans le mode des itÃ©rations unaires.
 \begin{theorem}\label{Th:conv:GIU}
 Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratÃ©gie unaire est
 pseudo-pÃ©riodique, alors tout chemin de $\textsc{giu}(f)$ atteint 
-l'unique point fixe $\zeta$ en au plus $n$ pseudo-pÃ©riodes.
+l'unique point fixe $\zeta$ en au plus ${\mathsf{N}}$ pseudo-pÃ©riodes.
 \end{theorem}
 
 Le qualificatif \emph{pseudo-pÃ©riodique} peut aisÃ©ment 
 s'Ã©tendre aux stratÃ©gies gÃ©nÃ©ralisÃ©es comme suit.
 Lorsqu'une stratÃ©gie gÃ©nÃ©ralisÃ©e est constituÃ©e d'une 
-succession indÃ©finie de sÃ©quences de parties de $[n]$ 
-dont l'union est $[n]$, cette stratÃ©gie est {pseudo-pÃ©riodique}.
+succession indÃ©finie de sÃ©quences de parties de $[{\mathsf{N}}]$ 
+dont l'union est $[{\mathsf{N}}]$, cette stratÃ©gie est {pseudo-pÃ©riodique}.
 J. Bahi~\cite{Bah00} a dÃ©montrÃ© le thÃ©orÃ¨me suivant:
 
 \begin{theorem}\label{Th:Bahi}
