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index c165102..355e33c 100644
--- a/sdd.tex
+++ b/sdd.tex
@@ -23,32 +23,32 @@ de conjonction \og . \fg{} et
 unaire de négation \og $\overline{\mathstrut\enskip}$ \fg{}.
 
 
-Soit $n$ un entier naturel.
-On introduit quelques notations à propos d'éléments de $\Bool^n$. 
-L'ensemble $\{1,\dots, n\}$ sera par la suite noté $[n]$.
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel.
+On introduit quelques notations à propos d'éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$. 
+L'ensemble $\{1,\dots, {\mathsf{N}}\}$ sera par la suite noté $[{\mathsf{N}}]$.
 Le $i^{\textrm{ème}}$ composant d'un élément 
-$x \in \Bool^n$ s'écrit  $x_i$.
-Si l'ensemble $I$ est une partie de $[n]$, alors 
-$\overline{x}^I$ est l'élément $y\in  \Bool^n$
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ s'écrit  $x_i$.
+Si l'ensemble $I$ est une partie de $[{\mathsf{N}}]$, alors 
+$\overline{x}^I$ est l'élément $y\in  \Bool^{\mathsf{N}}$
 tel que $y_i = 1 - x_i$ si $i\in I$ et  
 $y_i = x_i$ sinon. 
-On considère les deux abréviations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[n]}$ 
+On considère les deux abréviations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[{\mathsf{N}}]}$ 
 (chaque composant de $\overline{x}$ est nié:
 c'est une négation composante à composante)
-et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [n]$
+et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [{\mathsf{N}}]$
 (seul $x_i$ est nié dans $\overline{x}$).
-Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^n$, l'ensemble 
-$\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [n]$
+Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 
+$\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [{\mathsf{N}}]$
 tels que $x_i \neq y_i$.
-Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^n$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
-est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^n$ dans $\Bool$.
+Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
+est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans $\Bool$.
 Pour chaque 
-$x$ dans $\Bool^n$, l'ensemble 
+$x$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 
 $\Delta f(x)$ est défini par $\Delta f(x) = \Delta(x,f(x))$.
 On peut admettre que $f (x) = \overline{x}^{\Delta f(x)}$ .
 
 \begin{xpl}\label{xpl:1}
-On considère $n= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
+On considère ${\mathsf{N}}= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
 $f(x)=(f_1(x),f_2(x),f_3(x))$ avec  
 $$\begin{array}{rcl}
 f_1(x_1, x_2, x_3) &=& (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 \textrm{, }\\
@@ -110,58 +110,64 @@ d'éléments étudiés (gènes, protéines,\ldots).
 Un réseau booléen  est 
 défini à partir d'une fonction booléenne:
 \[
-f:\Bool^n\to\Bool^n,\qquad x=(x_1,\dots,x_n)\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x)),
+f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}},\qquad x=(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}})\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_{\mathsf{N}}(x)),
 \]
-et un  {\emph{schéma itératif}} ou  encore \emph{mode de  mise à jour}. À  partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^n$,  la suite $(x^{t})^{t
+et un  {\emph{schéma itératif}} ou  encore \emph{mode de  mise à jour}. À  partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^{\mathsf{N}}$,  la suite $(x^{t})^{t
   \in  \Nats}$ des  configurations  du  système est  construite  selon l'un  des
 schémas suivants :
 \begin{itemize}
 \item \textbf{Schéma parallèle  synchrone :} basé sur la  relation de récurrence
-  $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous  les $x_i$, $1 \le  i \le n$,  sont ainsi mis à  jour à
+  $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous  les $x_i$, $1 \le  i \le {\mathsf{N}}$,  sont ainsi mis à  jour à
   chaque itération en utilisant l'état global précédent du système $x^t$.
 \item \textbf{Schéma  unaire :} ce schéma  est parfois 
   qualifié de chaotique 
   dans  la littérature. 
   Il  consiste à modifier la valeur 
-  d'un unique élément $i$,  $1 \le i \le  n$, à
+  d'un unique élément $i$,  $1 \le i \le  {\mathsf{N}}$, à
   chaque itération. Le choix de l'élément qui est modifié à chaque itération est
   défini  par une  suite 
   $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ qui est  une séquence
-  d'indices dans $[n]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}. 
-  Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [n]$ par
-  $$
+  d'indices dans $[{\mathsf{N}}]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}. 
+  Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+  
+\begin{equation}
   x^{t+1}_i=
   \left\{ \begin{array}{l}
       f_i(x^t) \textrm{ si } i=s^t, \\
       x^t_i\textrm{ sinon.}
     \end{array}
-  \right.$$
+  \right.
+\label{eq:schema:unaire}
+\end{equation}
 
 
 
 \item \textbf{Schéma généralisé:}  dans ce schéma, ce sont les valeurs  
-  d'un ensemble d'éléments de $[n]$ qui sont modifiées à  chaque  itération.
+  d'un ensemble d'éléments de $[{\mathsf{N}}]$ qui sont modifiées à  chaque  itération.
   Dans  le  cas  particulier où  c'est la valeur d'un  singleton
-  $\{k\}$, $1 \le k  \le n$, qui est modifiée à
+  $\{k\}$, $1 \le k  \le {\mathsf{N}}$, qui est modifiée à
   chaque  itération, on retrouve le
   mode unaire. Dans le second cas particulier où ce sont les valeurs de 
-  tous les éléments de $\{1, \ldots,  n\}$ qui sont  modifiées
+  tous les éléments de $\{1, \ldots,  {\mathsf{N}}\}$ qui sont  modifiées
   à chaque  itération, on retrouve  le mode
   parallèle.  Ce mode généralise donc les deux modes précédents.  
   Plus formellement,  à  la  $t^{\textrm{ème}}$
   itération, seuls les éléments de la partie 
-  $s^{t} \in \mathcal{P}([n])$ sont mis à
+  $s^{t} \in \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])$ sont mis à
   jour.  La  suite $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ est  une séquence
   de sous-ensembles 
-  de   $[n]$   appelée   \emph{stratégie généralisée}.
-  Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [n]$ par
-  $$
+  de   $[{\mathsf{N}}]$   appelée   \emph{stratégie généralisée}.
+  Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+  \begin{equation}
   x^{t+1}_i=
   \left\{ \begin{array}{l}
       f_i(x^t) \textrm{ si } i \in s^t, \\
       x^t_i\textrm{ sinon.}
     \end{array}
-  \right.$$
+  \right.
+\label{eq:schema:generalise}
+\end{equation}
+
 
 
 
@@ -176,22 +182,24 @@ La section suivante détaille comment représenter graphiquement les évolutions
 
 
 
-Pour un entier naturel $n$ et une 
-fonction $f : B^n \rightarrow B^n$, plusieurs évolutions sont possibles
+Pour un entier naturel ${\mathsf{N}}$ et une 
+fonction $f : B^{\mathsf{N}} \rightarrow B^{\mathsf{N}}$, plusieurs évolutions sont possibles
 en fonction du schéma itératif retenu. 
 Celles-ci sont représentées par un graphe orienté dont les noeuds 
-sont les éléments de $\Bool^n$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).
+sont les éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).
 
 
 \begin{itemize}
 \item Le \emph{graphe des itérations synchrones} de $f$, noté $\textsc{gis}(f)$ 
-est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement si $y=f(x)$.
 \item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{giu}(f)$
-est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
-et seulement s'il existe $x \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ pour $x \neq$ si 
+et seulement s'il existe $i \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
+Si $\Delta f(x)$ est vide, on ajoute l'arc $x \rightarrow x$.
+
 \item Le \emph{graphe des itérations généralisées} de $f$, noté $\textsc{gig}(f)$
-est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement s'il existe un ensemble $I\subseteq \Delta f(x)$ tel que 
 $y = \overline{x}^I$. On peut remarquer que ce graphe contient comme 
 sous-graphe à la fois celui des itérations synchrones et celui 
@@ -251,7 +259,7 @@ On remarque le cycle $((101,111),(111,011),(011,101))$
 \subsection{Attracteurs}
 
 On dit que le point 
-$x \in \Bool^n$ est un \emph{point fixe} de $f$ si  $x = f (x)$.
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ est un \emph{point fixe} de $f$ si  $x = f (x)$.
 Les points fixes sont particulièrement intéressants car ils correspondent 
 aux états stables:
 dans chaque graphe d'itérations, le point $x$ est un point fixe 
@@ -259,12 +267,12 @@ si et seulement si il est son seul successeur.
 
 
 
-Soit $\Gamma$ un graphe d'itérations (synchrones, unaires ou généralisées)
+Soit un graphe d'itérations (synchrones, unaires ou généralisées)
 de $f$. 
-Les \emph{attracteurs}  de $\Gamma$ sont les 
+Les \emph{attracteurs}  de ce graphe sont les 
 plus petits sous-ensembles (au sens de l'inclusion) non vides
-$A \subseteq \Bool^n$ tels que pour tout arc
-$x \rightarrow y$ de $\Gamma$, si $x$ est un élément de $A$, alors 
+$A \subseteq \Bool^{\mathsf{N}}$ tels que pour tout arc
+$x \rightarrow y$, si $x$ est un élément de $A$, alors 
 $y$ aussi.
 Un attracteur qui contient au moins deux éléments  est dit \emph{cyclique}.
 On en déduit qu'un attracteur cyclique ne contient pas de point fixe.
@@ -277,12 +285,12 @@ On a la proposition suivante:
 
 \begin{theorem}\label{Prop:attracteur}
 Le point $x$ est un point fixe si et seulement si 
-$\{x\}$ est un attracteur de $\Gamma$.
-En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de $\Gamma$ 
+$\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itération (synchrone, unaire, généralisé).
+En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci 
 sont les points fixes de $f$.
-Ainsi pour chaque $x\in \Bool^n$, il existe au moins un chemin 
+Ainsi pour chaque $x\in \Bool^{\mathsf{N}}$, il existe au moins un chemin 
 depuis $x$ qui atteint un attracteur.
-Ainsi $\Gamma$ contient toujours au moins un attracteur.
+Ainsi tout graphe d'itérations contient toujours au moins un attracteur.
 \end{theorem}
 
 
@@ -300,7 +308,7 @@ Les interactions entre les composants du
 système peuvent être mémorisées 
 dans la {\emph{matrice jacobienne discrète}} $f'$.
 Celle-ci est définie comme étant la fonction  qui  à chaque 
-configuration $x\in\Bool^n$ associe la matrice de taille 
+configuration $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$ associe la matrice de taille 
 $n\times n$ telle que 
 \begin{equation}
 f'(x)=(f'_{ij}(x)),\qquad 
@@ -314,7 +322,7 @@ $\overline{x}^j_j$ et $x_j$ sont considérés comme des entiers naturels
  dans $\Z$.
 Lorsqu'on supprime les signes dans la matrice jacobienne discrète, 
 on obtient une matrice notée $B(f)$ aussi de taille 
-$n\times n$.
+${\mathsf{N}}\times {\mathsf{N}}$.
 Celle-ci mémorise uniquement 
 l'existence d'une dépendance de tel élément vis à vis de 
  tel élément.
@@ -323,8 +331,8 @@ les uns par rapport aux autres. Cette matrice est nommée
 \emph{matrice d'incidence}.  
 
 \begin{theorem}
-Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [n]$, 
-$f_i(\overline{x}^j)$ est égal à  $f_i(x)$, \textit{i.e}, 
+Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [{\mathsf{N}}]$, 
+$f_i(\overline{x}^j)$ est égal à  $f_i(x)$, \textit{i.e.}, 
 $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
 \end{theorem} 
 
@@ -333,10 +341,10 @@ $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
 
 En outre, les interactions peuvent se  représenter à l'aide d'un 
 graphe $\Gamma(f)$ orienté et signé défini ainsi: 
-l'ensemble des sommets est 
-$[n]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe
+l'ensemble des sommet %s est 
+$[{\mathsf{N}}]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe
  $s\in\{-1,1\}$, noté $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins
-un $x\in\Bool^n$. 
+un $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$. 
 
 On note que la présence de 
 deux arcs de signes opposés entre deux sommets donnés 
@@ -515,28 +523,28 @@ arc positif (resp. un arc négatif) de $i$ vers lui-même.
 \subsection{Conditions de convergence}\label{sec:Robert:async}
 
 Parmi les itérations unaires caractérisées par leurs stratégies
-$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'éléments appartenant à $[n]$,
+$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'éléments appartenant à $[{\mathsf{N}}]$,
 sont jugées intéressantes 
 celles qui activent au moins une fois
-chacun des $i\in[n]$. Dans le cas contraire, un élément n'est jamais modifié. 
+chacun des $i\in[{\mathsf{N}}]$. Dans le cas contraire, un élément n'est jamais modifié. 
 
 Plus formellement, une séquence finie $S=(s^t)^{t \in \Nats}$
-est dite \emph{complète} relativement à $[n]$ si 
-tout indice de $[n]$
+est dite \emph{complète} relativement à $[{\mathsf{N}}]$ si 
+tout indice de $[{\mathsf{N}}]$
 s'y retrouve au moins une fois.
 
 Parmi toutes les stratégies unaires de 
-$[n]^{\Nats}$, on qualifie de:
+$[{\mathsf{N}}]^{\Nats}$, on qualifie de:
 \begin{itemize}
 \item \emph{périodiques} celles 
 qui sont constituées par une répétition indéfinie 
-d'une même séquence $S$ complète relativement à $[n]$.
+d'une même séquence $S$ complète relativement à $[{\mathsf{N}}]$.
 En particulier toute séquence périodique est complète.
 \item \emph{pseudo-périodiques} celles 
 qui sont constituées par une succession indéfinie de séquences 
 (de longueur éventuellement variable non supposée bornée) complètes.
 Autrement dit dans chaque stratégie pseudo-périodique, chaque indice de
-$1$ à $n$ revient indéfiniment.
+$1$ à ${\mathsf{N}}$ revient indéfiniment.
 \end{itemize}
 
 
@@ -547,14 +555,14 @@ dans le mode des itérations unaires.
 \begin{theorem}\label{Th:conv:GIU}
 Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie unaire est
 pseudo-périodique, alors tout chemin de $\textsc{giu}(f)$ atteint 
-l'unique point fixe $\zeta$ en au plus $n$ pseudo-périodes.
+l'unique point fixe $\zeta$ en au plus ${\mathsf{N}}$ pseudo-périodes.
 \end{theorem}
 
 Le qualificatif \emph{pseudo-périodique} peut aisément 
 s'étendre aux stratégies généralisées comme suit.
 Lorsqu'une stratégie généralisée est constituée d'une 
-succession indéfinie de séquences de parties de $[n]$ 
-dont l'union est $[n]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}.
+succession indéfinie de séquences de parties de $[{\mathsf{N}}]$ 
+dont l'union est $[{\mathsf{N}}]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}.
 J. Bahi~\cite{Bah00} a démontré le théorème suivant:
 
 \begin{theorem}\label{Th:Bahi}