X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/2b04820abccb0772b10b2c53542ecddc6a6f600c..7b2f06062fc54db047de438cda35671608a1dc89:/sdd.tex

diff --git a/sdd.tex b/sdd.tex
index 3755295..83bee06 100644
--- a/sdd.tex
+++ b/sdd.tex
@@ -23,32 +23,32 @@ de conjonction \og . \fg{} et
 unaire de nÃ©gation \og $\overline{\mathstrut\enskip}$ \fg{}.
 
 
-Soit $n$ un entier naturel.
-On introduit quelques notations Ã  propos d'Ã©lÃ©ments de $\Bool^n$. 
-L'ensemble $\{1,\dots, n\}$ sera par la suite notÃ© $[n]$.
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel.
+On introduit quelques notations Ã  propos d'Ã©lÃ©ments de $\Bool^{\mathsf{N}}$. 
+L'ensemble $\{1,\dots, {\mathsf{N}}\}$ sera par la suite notÃ© $[{\mathsf{N}}]$.
 Le $i^{\textrm{Ã¨me}}$ composant d'un Ã©lÃ©ment 
-$x \in \Bool^n$ s'Ã©crit  $x_i$.
-Si l'ensemble $I$ est une partie de $[n]$, alors 
-$\overline{x}^I$ est l'Ã©lÃ©ment $y\in  \Bool^n$
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ s'Ã©crit  $x_i$.
+Si l'ensemble $I$ est une partie de $[{\mathsf{N}}]$, alors 
+$\overline{x}^I$ est l'Ã©lÃ©ment $y\in  \Bool^{\mathsf{N}}$
 tel que $y_i = 1 - x_i$ si $i\in I$ et  
 $y_i = x_i$ sinon. 
-On considÃ¨re les deux abrÃ©viations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[n]}$ 
+On considÃ¨re les deux abrÃ©viations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[{\mathsf{N}}]}$ 
 (chaque composant de $\overline{x}$ est niÃ©:
 c'est une nÃ©gation composante Ã  composante)
-et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [n]$
+et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [{\mathsf{N}}]$
 (seul $x_i$ est niÃ© dans $\overline{x}$).
-Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^n$, l'ensemble 
-$\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [n]$
+Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 
+$\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [{\mathsf{N}}]$
 tels que $x_i \neq y_i$.
-Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^n$. Son $i^{\textrm{Ã¨me}}$ composant
-est nommÃ© $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^n$ dans $\Bool$.
+Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$. Son $i^{\textrm{Ã¨me}}$ composant
+est nommÃ© $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans $\Bool$.
 Pour chaque 
-$x$ dans $\Bool^n$, l'ensemble 
+$x$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 
 $\Delta f(x)$ est dÃ©fini par $\Delta f(x) = \Delta(x,f(x))$.
 On peut admettre que $f (x) = \overline{x}^{\Delta f(x)}$ .
 
 \begin{xpl}\label{xpl:1}
-On considÃ¨re $n= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
+On considÃ¨re ${\mathsf{N}}= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
 $f(x)=(f_1(x),f_2(x),f_3(x))$ avec  
 $$\begin{array}{rcl}
 f_1(x_1, x_2, x_3) &=& (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 \textrm{, }\\
@@ -110,42 +110,67 @@ d'Ã©lÃ©ments Ã©tudiÃ©s (gÃ¨nes, protÃ©ines,\ldots).
 Un rÃ©seau boolÃ©en  est 
 dÃ©fini Ã  partir d'une fonction boolÃ©enne:
 \[
-f:\Bool^n\to\Bool^n,\qquad x=(x_1,\dots,x_n)\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x)),
+f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}},\qquad x=(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}})\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_{\mathsf{N}}(x)),
 \]
-et un  {\emph{schÃ©ma itÃ©ratif}} ou  encore \emph{mode de  mise Ã  jour}. Ã  partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^n$,  la suite $(x^{t})^{t
+et un  {\emph{schÃ©ma itÃ©ratif}} ou  encore \emph{mode de  mise Ã  jour}. Ã  partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^{\mathsf{N}}$,  la suite $(x^{t})^{t
   \in  \Nats}$ des  configurations  du  systÃ¨me est  construite  selon l'un  des
 schÃ©mas suivants :
 \begin{itemize}
 \item \textbf{SchÃ©ma parallÃ¨le  synchrone :} basÃ© sur la  relation de rÃ©currence
-  $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous  les $x_i$, $1 \le  i \le n$,  sont ainsi mis Ã   jour Ã 
+  $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous  les $x_i$, $1 \le  i \le {\mathsf{N}}$,  sont ainsi mis Ã   jour Ã 
   chaque itÃ©ration en utilisant l'Ã©tat global prÃ©cÃ©dent du systÃ¨me $x^t$.
-\item \textbf{SchÃ©ma  unaire :} cette terminologie  a plusieurs 
-  interprÃ©tations
-  dans  la littÃ©rature,  mais celle  que  nous
-  retenons ici  consiste Ã  modifier la valeur 
-  d'un unique Ã©lÃ©ment $i$,  $1 \le i \le  n$, Ã 
+\item \textbf{SchÃ©ma  unaire :} ce schÃ©ma  est parfois 
+  qualifiÃ© de chaotique 
+  dans  la littÃ©rature. 
+  Il  consiste Ã  modifier la valeur 
+  d'un unique Ã©lÃ©ment $i$,  $1 \le i \le  {\mathsf{N}}$, Ã 
   chaque itÃ©ration. Le choix de l'Ã©lÃ©ment qui est modifiÃ© Ã  chaque itÃ©ration est
   dÃ©fini  par une  suite 
   $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ qui est  une sÃ©quence
-  d'indices dans $[n]$. Cette suite est appelÃ©e \emph{stratÃ©gie unaire}. 
-%  Lorsque  cette  suite est  strictement cyclique  (sans
-  % occurrences multiples  dans le motif) sur l'ensemble  des Ã©lÃ©ments $\{1,\ldots
-  % n\}$, alors on retrouve le comportement du mode sÃ©quentiel synchrone.
+  d'indices dans $[{\mathsf{N}}]$. Cette suite est appelÃ©e \emph{stratÃ©gie unaire}. 
+  Il est basÃ© sur la relation dÃ©finie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+  
+\begin{equation}
+  x^{t+1}_i=
+  \left\{ \begin{array}{l}
+      f_i(x^t) \textrm{ si } i=s^t, \\
+      x^t_i\textrm{ sinon.}
+    \end{array}
+  \right.
+\label{eq:schema:unaire}
+\end{equation}
+
+
+
 \item \textbf{SchÃ©ma gÃ©nÃ©ralisÃ©:}  dans ce schÃ©ma, ce sont les valeurs  
-  d'un ensemble d'Ã©lÃ©ments de $[n]$ qui sont modifiÃ©es Ã   chaque  itÃ©ration.
+  d'un ensemble d'Ã©lÃ©ments de $[{\mathsf{N}}]$ qui sont modifiÃ©es Ã   chaque  itÃ©ration.
   Dans  le  cas  particulier oÃ¹  c'est la valeur d'un  singleton
-  $\{k\}$, $1 \le k  \le n$, qui est modifiÃ©e Ã 
+  $\{k\}$, $1 \le k  \le {\mathsf{N}}$, qui est modifiÃ©e Ã 
   chaque  itÃ©ration, on retrouve le
   mode unaire. Dans le second cas particulier oÃ¹ ce sont les valeurs de 
-  tous les Ã©lÃ©ments de $\{1, \ldots,  n\}$ qui sont  modifiÃ©es
+  tous les Ã©lÃ©ments de $\{1, \ldots,  {\mathsf{N}}\}$ qui sont  modifiÃ©es
   Ã  chaque  itÃ©ration, on retrouve  le mode
   parallÃ¨le.  Ce mode gÃ©nÃ©ralise donc les deux modes prÃ©cÃ©dents.  
   Plus formellement,  Ã   la  $t^{\textrm{Ã¨me}}$
   itÃ©ration, seuls les Ã©lÃ©ments de la partie 
-  $s^{t} \in \mathcal{P}([n])$ sont mis Ã 
+  $s^{t} \in \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])$ sont mis Ã 
   jour.  La  suite $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ est  une sÃ©quence
   de sous-ensembles 
-  de   $[n]$   appelÃ©e   \emph{stratÃ©gie gÃ©nÃ©ralisÃ©e}.
+  de   $[{\mathsf{N}}]$   appelÃ©e   \emph{stratÃ©gie gÃ©nÃ©ralisÃ©e}.
+  Il est basÃ© sur la relation dÃ©finie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+  \begin{equation}
+  x^{t+1}_i=
+  \left\{ \begin{array}{l}
+      f_i(x^t) \textrm{ si } i \in s^t, \\
+      x^t_i\textrm{ sinon.}
+    \end{array}
+  \right.
+\label{eq:schema:generalise}
+\end{equation}
+
+
+
+
   \end{itemize}
 
 
@@ -157,22 +182,24 @@ La section suivante dÃ©taille comment reprÃ©senter graphiquement les Ã©volutions
 
 
 
-Pour un entier naturel $n$ et une 
-fonction $f : B^n \rightarrow B^n$, plusieurs Ã©volutions sont possibles
+Pour un entier naturel ${\mathsf{N}}$ et une 
+fonction $f : B^{\mathsf{N}} \rightarrow B^{\mathsf{N}}$, plusieurs Ã©volutions sont possibles
 en fonction du schÃ©ma itÃ©ratif retenu. 
 Celles-ci sont reprÃ©sentÃ©es par un graphe orientÃ© dont les noeuds 
-sont les Ã©lÃ©ments de $\Bool^n$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).
+sont les Ã©lÃ©ments de $\Bool^{\mathsf{N}}$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).
 
 
 \begin{itemize}
 \item Le \emph{graphe des itÃ©rations synchrones} de $f$, notÃ© $\textsc{gis}(f)$ 
-est le graphe orientÃ© de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
+est le graphe orientÃ© de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement si $y=f(x)$.
-\item Le \emph{graphe des itÃ©rations unaires} de $f$, notÃ© $\textsc{gia}(f)$
-est le graphe orientÃ© de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
-et seulement s'il existe $x \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
+\item Le \emph{graphe des itÃ©rations unaires} de $f$, notÃ© $\textsc{giu}(f)$
+est le graphe orientÃ© de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ pour $x \neq$ si 
+et seulement s'il existe $i \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
+Si $\Delta f(x)$ est vide, on ajoute l'arc $x \rightarrow x$.
+
 \item Le \emph{graphe des itÃ©rations gÃ©nÃ©ralisÃ©es} de $f$, notÃ© $\textsc{gig}(f)$
-est le graphe orientÃ© de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
+est le graphe orientÃ© de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
 et seulement s'il existe un ensemble $I\subseteq \Delta f(x)$ tel que 
 $y = \overline{x}^I$. On peut remarquer que ce graphe contient comme 
 sous-graphe Ã  la fois celui des itÃ©rations synchrones et celui 
@@ -190,7 +217,7 @@ d'images (\textsc{Table}~\ref{table:xpl:images}).
 La \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs} donne les trois graphes d'itÃ©rations 
 associÃ©s Ã  $f$.
 
-\begin{figure}[ht]
+\begin{figure}%[ht]
   \begin{center}
     \subfigure[$\textsc{gis}(f)$]{
       \begin{minipage}{0.33\textwidth}
@@ -200,7 +227,7 @@ associÃ©s Ã  $f$.
       \end{minipage}
       \label{fig:fsig}
     }
-    \subfigure[$\textsc{gia}(f)$]{
+    \subfigure[$\textsc{giu}(f)$]{
       \begin{minipage}{0.33\textwidth}
         \begin{center}
           \includegraphics[scale=0.4]{faig}
@@ -232,23 +259,20 @@ On remarque le cycle $((101,111),(111,011),(011,101))$
 \subsection{Attracteurs}
 
 On dit que le point 
-$x \in \Bool^n$ est un \emph{point fixe} de $f$ si  $x = f (x)$.
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ est un \emph{point fixe} de $f$ si  $x = f (x)$.
 Les points fixes sont particuliÃ¨rement intÃ©ressants car ils correspondent 
 aux Ã©tats stables:
 dans chaque graphe d'itÃ©rations, le point $x$ est un point fixe 
 si et seulement si il est son seul successeur.
-Dans le contexte des rÃ©seaux de rÃ©gulation de gÃ¨nes,
-ces points fixes correspondent aux configurations stables pour l'expression de
-gÃ¨nes.
 
 
 
-Soit $\Gamma$ un graphe d'itÃ©rations (synchrones, unaires ou gÃ©nÃ©ralisÃ©es)
+Soit un graphe d'itÃ©rations (synchrones, unaires ou gÃ©nÃ©ralisÃ©es)
 de $f$. 
-Les \emph{attracteurs}  de $\Gamma$ sont les 
+Les \emph{attracteurs}  de ce graphe sont les 
 plus petits sous-ensembles (au sens de l'inclusion) non vides
-$A \subseteq \Bool^n$ tels que pour tout arc
-$x \rightarrow y$ de $\Gamma$, si $x$ est un Ã©lÃ©ment de $A$, alors 
+$A \subseteq \Bool^{\mathsf{N}}$ tels que pour tout arc
+$x \rightarrow y$, si $x$ est un Ã©lÃ©ment de $A$, alors 
 $y$ aussi.
 Un attracteur qui contient au moins deux Ã©lÃ©ments  est dit \emph{cyclique}.
 On en dÃ©duit qu'un attracteur cyclique ne contient pas de point fixe.
@@ -261,18 +285,18 @@ On a la proposition suivante:
 
 \begin{theorem}\label{Prop:attracteur}
 Le point $x$ est un point fixe si et seulement si 
-$\{x\}$ est un attracteur de $\Gamma$.
-En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de $\Gamma$ 
+$\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itÃ©ration (synchrone, unaire, gÃ©nÃ©ralisÃ©).
+En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci 
 sont les points fixes de $f$.
-Ainsi pour chaque $x\in \Bool^n$, il existe au moins un chemin 
+Ainsi pour chaque $x\in \Bool^{\mathsf{N}}$, il existe au moins un chemin 
 depuis $x$ qui atteint un attracteur.
-Ainsi $\Gamma$ contient toujours au moins un attracteur.
+Ainsi tout graphe d'itÃ©rations contient toujours au moins un attracteur.
 \end{theorem}
 
 
 
 \begin{xpl}
-Les attracteurs de $\textsc{gia}(f)$ et de $\textsc{gig}(f)$ sont 
+Les attracteurs de $\textsc{giu}(f)$ et de $\textsc{gig}(f)$ sont 
 le point fixe $000$ et l'attracteur cyclique 
 $\{001, 101,111, 011  \}$. 
 Les attracteurs de $\textsc{gis}(f)$ sont le point fixe $000$
@@ -284,7 +308,7 @@ Les interactions entre les composants du
 systÃ¨me peuvent Ãªtre mÃ©morisÃ©es 
 dans la {\emph{matrice jacobienne discrÃ¨te}} $f'$.
 Celle-ci est dÃ©finie comme Ã©tant la fonction  qui  Ã  chaque 
-configuration $x\in\Bool^n$ associe la matrice de taille 
+configuration $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$ associe la matrice de taille 
 $n\times n$ telle que 
 \begin{equation}
 f'(x)=(f'_{ij}(x)),\qquad 
@@ -298,7 +322,7 @@ $\overline{x}^j_j$ et $x_j$ sont considÃ©rÃ©s comme des entiers naturels
  dans $\Z$.
 Lorsqu'on supprime les signes dans la matrice jacobienne discrÃ¨te, 
 on obtient une matrice notÃ©e $B(f)$ aussi de taille 
-$n\times n$.
+${\mathsf{N}}\times {\mathsf{N}}$.
 Celle-ci mÃ©morise uniquement 
 l'existence d'une dÃ©pendance de tel Ã©lÃ©ment vis Ã  vis de 
  tel Ã©lÃ©ment.
@@ -307,7 +331,7 @@ les uns par rapport aux autres. Cette matrice est nommÃ©e
 \emph{matrice d'incidence}.  
 
 \begin{theorem}
-Si $f_i$ ne dÃ©pend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [n]$, 
+Si $f_i$ ne dÃ©pend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [{\mathsf{N}}]$, 
 $f_i(\overline{x}^j)$ est Ã©gal Ã   $f_i(x)$, \textit{i.e}, 
 $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La rÃ©ciproque est aussi vraie.
 \end{theorem} 
@@ -316,11 +340,11 @@ $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La rÃ©ciproque est aussi vraie.
 
 
 En outre, les interactions peuvent se  reprÃ©senter Ã  l'aide d'un 
-graphe $G(f)$ orientÃ© et signÃ© dÃ©fini ainsi: 
-l'ensemble des sommets est 
-$[n]$ et il existe un arc de $j$ Ã  $i$ de signe
+graphe $\Gamma(f)$ orientÃ© et signÃ© dÃ©fini ainsi: 
+l'ensemble des sommet %s est 
+$[{\mathsf{N}}]$ et il existe un arc de $j$ Ã  $i$ de signe
  $s\in\{-1,1\}$, notÃ© $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins
-un $x\in\Bool^n$. 
+un $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$. 
 
 On note que la prÃ©sence de 
 deux arcs de signes opposÃ©s entre deux sommets donnÃ©s 
@@ -398,9 +422,9 @@ $x_1$ et  de $x_3$
 Ainsi la seconde ligne (resp. la troisiÃ¨me ligne) de $B(f)$ est $1~0~1$ (resp. est $1~1~1$). 
 La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complÃ¨te. 
 
-\begin{figure}[ht]
+\begin{figure}%[ht]
   \begin{center}
-     \subfigure[Matrice jacobienne de $f$.]{
+     \subfigure[Matrice jacobienne]{
        \begin{minipage}{0.90\textwidth}
          \begin{center}
         $
@@ -440,8 +464,8 @@ La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complÃ¨t
        \end{minipage}
        \label{fig:f:jacobienne}
      } 
-     
-    \subfigure[Graphe d'interaction de $f$.]{
+    ~ 
+    \subfigure[Graphe d'interaction]{
       \begin{minipage}{0.45\textwidth}
       \begin{center}
         \includegraphics[scale=0.5]{gf}
@@ -450,7 +474,7 @@ La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complÃ¨t
     \end{minipage}
     }
     
-    \subfigure[Matrice d'incidence de $f$.]{
+    \subfigure[Matrice d'incidence]{
       \begin{minipage}{0.45\textwidth}
         \begin{center}
           $
@@ -468,24 +492,30 @@ La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complÃ¨t
     \end{minipage}
   }
 \end{center}  
-\caption{ReprÃ©sentations des dÃ©pendances entre les Ã©lÃ©ments de la fonction $f$ de l'exemple illustratif.}
+\caption{ReprÃ©sentations des dÃ©pendances entre les Ã©lÃ©ments 
+de la fonction 
+$f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que  
+$(x_1, x_2, x_3) \mapsto 
+((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3,
+x_1.x_3,
+x_1 + x_2 + x_3)$}
 \end{figure}
 \end{xpl}
 
 
 
 
-Soit $P$ une suite d'arcs de $G(f)$ de la forme
+Soit $P$ une suite d'arcs de $\Gamma(f)$ de la forme
 \[
 (i_1,s_1,i_2),(i_2,s_2,i_3),\ldots,(i_r,s_r,i_{r+1}).
 \]
-Alors, $P$ est dit un chemin de $G(f)$ de longueur $r$ et de signe
+Alors, $P$ est dit un chemin de $\Gamma(f)$ de longueur $r$ et de signe
 $\Pi_{i=1}^{r}s_i$ et  $i_{r+1}$ est dit accessible depuis
 $i_1$. 
 $P$ est un {\emph{circuit}} si $i_{r+1}=i_1$ et si les sommets
 $i_1$,\ldots $i_r$ sont deux Ã  deux disjoints.
-Un sommet $i$ de $G(f)$ a une {\emph{boucle}} 
-positive (resp. nÃ©gative) , si $G(f)$ a un 
+Un sommet $i$ de $\Gamma(f)$ a une {\emph{boucle}} 
+positive (resp. nÃ©gative) , si $\Gamma(f)$ a un 
 arc positif (resp. un arc nÃ©gatif) de $i$ vers lui-mÃªme.
 
 
@@ -493,28 +523,28 @@ arc positif (resp. un arc nÃ©gatif) de $i$ vers lui-mÃªme.
 \subsection{Conditions de convergence}\label{sec:Robert:async}
 
 Parmi les itÃ©rations unaires caractÃ©risÃ©es par leurs stratÃ©gies
-$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'Ã©lÃ©ments appartenant Ã  $[n]$,
+$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'Ã©lÃ©ments appartenant Ã  $[{\mathsf{N}}]$,
 sont jugÃ©es intÃ©ressantes 
 celles qui activent au moins une fois
-chacun des $i\in[n]$. Dans le cas contraire, un Ã©lÃ©ment n'est jamais modifiÃ©. 
+chacun des $i\in[{\mathsf{N}}]$. Dans le cas contraire, un Ã©lÃ©ment n'est jamais modifiÃ©. 
 
 Plus formellement, une sÃ©quence finie $S=(s^t)^{t \in \Nats}$
-est dite \emph{complÃ¨te} relativement Ã  $[n]$ si 
-tout indice de $[n]$
+est dite \emph{complÃ¨te} relativement Ã  $[{\mathsf{N}}]$ si 
+tout indice de $[{\mathsf{N}}]$
 s'y retrouve au moins une fois.
 
 Parmi toutes les stratÃ©gies unaires de 
-$[n]^{\Nats}$, on qualifie de:
+$[{\mathsf{N}}]^{\Nats}$, on qualifie de:
 \begin{itemize}
 \item \emph{pÃ©riodiques} celles 
 qui sont constituÃ©es par une rÃ©pÃ©tition indÃ©finie 
-d'une mÃªme sÃ©quence $S$ complÃ¨te relativement Ã  $[n]$.
+d'une mÃªme sÃ©quence $S$ complÃ¨te relativement Ã  $[{\mathsf{N}}]$.
 En particulier toute sÃ©quence pÃ©riodique est complÃ¨te.
 \item \emph{pseudo-pÃ©riodiques} celles 
 qui sont constituÃ©es par une succession indÃ©finie de sÃ©quences 
 (de longueur Ã©ventuellement variable non supposÃ©e bornÃ©e) complÃ¨tes.
 Autrement dit dans chaque stratÃ©gie pseudo-pÃ©riodique, chaque indice de
-$1$ Ã  $n$ revient indÃ©finiment.
+$1$ Ã  ${\mathsf{N}}$ revient indÃ©finiment.
 \end{itemize}
 
 
@@ -522,23 +552,24 @@ FranÃ§ois Robert~\cite{Rob95}
 a Ã©noncÃ© en 1995 le thÃ©orÃ¨me suivant de convergence 
 dans le mode des itÃ©rations unaires.
 
-\begin{theorem}\label{Th:conv:GIA}
-Si le graphe $G(f)$ n'a pas de cycle et si la stratÃ©gie unaire est
-pseudo-pÃ©riodique, alors tout chemin de $\textsc{GIA}(f)$ atteint 
-l'unique point fixe $\zeta$ en au plus $n$ pseudo-pÃ©riodes.
+\begin{theorem}\label{Th:conv:GIU}
+Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratÃ©gie unaire est
+pseudo-pÃ©riodique, alors tout chemin de $\textsc{giu}(f)$ atteint 
+l'unique point fixe $\zeta$ en au plus ${\mathsf{N}}$ pseudo-pÃ©riodes.
 \end{theorem}
 
 Le qualificatif \emph{pseudo-pÃ©riodique} peut aisÃ©ment 
 s'Ã©tendre aux stratÃ©gies gÃ©nÃ©ralisÃ©es comme suit.
 Lorsqu'une stratÃ©gie gÃ©nÃ©ralisÃ©e est constituÃ©e d'une 
-succession indÃ©finie de sÃ©quences de parties de $[n]$ 
-dont l'union est $[n]$, cette stratÃ©gie est {pseudo-pÃ©riodique}.
+succession indÃ©finie de sÃ©quences de parties de $[{\mathsf{N}}]$ 
+dont l'union est $[{\mathsf{N}}]$, cette stratÃ©gie est {pseudo-pÃ©riodique}.
 J. Bahi~\cite{Bah00} a dÃ©montrÃ© le thÃ©orÃ¨me suivant:
 
 \begin{theorem}\label{Th:Bahi}
-Si le graphe $G(f)$ n'a pas de cycle et si la stratÃ©gie gÃ©nÃ©ralisÃ©e
+Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratÃ©gie gÃ©nÃ©ralisÃ©e
 est pseudo-pÃ©riodique alors
-tout chemin de $\textsc{gig}(f)$ finit par atteindre
+tout chemin de $\textsc{gig}(f)$ (et donc de $\textsc{giu}(f)$) 
+finit par atteindre
 l'unique point fixe $\zeta$. 
 \end{theorem}
 
