X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/2b04820abccb0772b10b2c53542ecddc6a6f600c..b3411a22f651c0dbca34dca87df92f8d3d130e1a:/sdd.tex?ds=sidebyside diff --git a/sdd.tex b/sdd.tex index 3755295..eb51e97 100644 --- a/sdd.tex +++ b/sdd.tex @@ -23,32 +23,32 @@ de conjonction \og . \fg{} et unaire de négation \og $\overline{\mathstrut\enskip}$ \fg{}. -Soit $n$ un entier naturel. -On introduit quelques notations à propos d'éléments de $\Bool^n$. -L'ensemble $\{1,\dots, n\}$ sera par la suite noté $[n]$. +Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel. +On introduit quelques notations à propos d'éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$. +L'ensemble $\{1,\dots, {\mathsf{N}}\}$ sera par la suite noté $[{\mathsf{N}}]$. Le $i^{\textrm{ème}}$ composant d'un élément -$x \in \Bool^n$ s'écrit $x_i$. -Si l'ensemble $I$ est une partie de $[n]$, alors -$\overline{x}^I$ est l'élément $y\in \Bool^n$ +$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ s'écrit $x_i$. +Si l'ensemble $I$ est une partie de $[{\mathsf{N}}]$, alors +$\overline{x}^I$ est l'élément $y\in \Bool^{\mathsf{N}}$ tel que $y_i = 1 - x_i$ si $i\in I$ et $y_i = x_i$ sinon. -On considère les deux abréviations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[n]}$ +On considère les deux abréviations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[{\mathsf{N}}]}$ (chaque composant de $\overline{x}$ est nié: c'est une négation composante à composante) -et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [n]$ +et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [{\mathsf{N}}]$ (seul $x_i$ est nié dans $\overline{x}$). -Pour tout $x$ et $y$ dans $\Bool^n$, l'ensemble -$\Delta(x, y)$, contient les $i \in [n]$ +Pour tout $x$ et $y$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble +$\Delta(x, y)$, contient les $i \in [{\mathsf{N}}]$ tels que $x_i \neq y_i$. -Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^n$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant -est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^n$ dans $\Bool$. +Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant +est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans $\Bool$. Pour chaque -$x$ dans $\Bool^n$, l'ensemble +$x$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble $\Delta f(x)$ est défini par $\Delta f(x) = \Delta(x,f(x))$. On peut admettre que $f (x) = \overline{x}^{\Delta f(x)}$ . \begin{xpl}\label{xpl:1} -On considère $n= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que +On considère ${\mathsf{N}}= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que $f(x)=(f_1(x),f_2(x),f_3(x))$ avec $$\begin{array}{rcl} f_1(x_1, x_2, x_3) &=& (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 \textrm{, }\\ @@ -110,42 +110,67 @@ d'éléments étudiés (gènes, protéines,\ldots). Un réseau booléen est défini à partir d'une fonction booléenne: \[ -f:\Bool^n\to\Bool^n,\qquad x=(x_1,\dots,x_n)\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x)), +f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}},\qquad x=(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}})\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_{\mathsf{N}}(x)), \] -et un {\emph{schéma itératif}} ou encore \emph{mode de mise à jour}. À partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^n$, la suite $(x^{t})^{t +et un {\emph{schéma itératif}} ou encore \emph{mode de mise à jour}. À partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^{\mathsf{N}}$, la suite $(x^{t})^{t \in \Nats}$ des configurations du système est construite selon l'un des schémas suivants : \begin{itemize} \item \textbf{Schéma parallèle synchrone :} basé sur la relation de récurrence - $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous les $x_i$, $1 \le i \le n$, sont ainsi mis à jour à + $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous les $x_i$, $1 \le i \le {\mathsf{N}}$, sont ainsi mis à jour à chaque itération en utilisant l'état global précédent du système $x^t$. -\item \textbf{Schéma unaire :} cette terminologie a plusieurs - interprétations - dans la littérature, mais celle que nous - retenons ici consiste à modifier la valeur - d'un unique élément $i$, $1 \le i \le n$, à +\item \textbf{Schéma unaire :} ce schéma est parfois + qualifié de chaotique + dans la littérature. + Il consiste à modifier la valeur + d'un unique élément $i$, $1 \le i \le {\mathsf{N}}$, à chaque itération. Le choix de l'élément qui est modifié à chaque itération est défini par une suite $S = \left(s^t\right)^{t \in \mathds{N}}$ qui est une séquence - d'indices dans $[n]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}. -% Lorsque cette suite est strictement cyclique (sans - % occurrences multiples dans le motif) sur l'ensemble des éléments $\{1,\ldots - % n\}$, alors on retrouve le comportement du mode séquentiel synchrone. + d'indices dans $[{\mathsf{N}}]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}. + Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par + +\begin{equation} + x^{t+1}_i= + \left\{ \begin{array}{l} + f_i(x^t) \textrm{ si } i=s^t, \\ + x^t_i\textrm{ sinon.} + \end{array} + \right. +\label{eq:schema:unaire} +\end{equation} + + + \item \textbf{Schéma généralisé:} dans ce schéma, ce sont les valeurs - d'un ensemble d'éléments de $[n]$ qui sont modifiées à chaque itération. + d'un ensemble d'éléments de $[{\mathsf{N}}]$ qui sont modifiées à chaque itération. Dans le cas particulier où c'est la valeur d'un singleton - $\{k\}$, $1 \le k \le n$, qui est modifiée à + $\{k\}$, $1 \le k \le {\mathsf{N}}$, qui est modifiée à chaque itération, on retrouve le mode unaire. Dans le second cas particulier où ce sont les valeurs de - tous les éléments de $\{1, \ldots, n\}$ qui sont modifiées + tous les éléments de $\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\}$ qui sont modifiées à chaque itération, on retrouve le mode parallèle. Ce mode généralise donc les deux modes précédents. Plus formellement, à la $t^{\textrm{ème}}$ itération, seuls les éléments de la partie - $s^{t} \in \mathcal{P}([n])$ sont mis à + $s^{t} \in \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])$ sont mis à jour. La suite $S = \left(s^t\right)^{t \in \mathds{N}}$ est une séquence de sous-ensembles - de $[n]$ appelée \emph{stratégie généralisée}. + de $[{\mathsf{N}}]$ appelée \emph{stratégie généralisée}. + Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par + \begin{equation} + x^{t+1}_i= + \left\{ \begin{array}{l} + f_i(x^t) \textrm{ si } i \in s^t, \\ + x^t_i\textrm{ sinon.} + \end{array} + \right. +\label{eq:schema:generalise} +\end{equation} + + + + \end{itemize} @@ -157,22 +182,22 @@ La section suivante détaille comment représenter graphiquement les évolutions -Pour un entier naturel $n$ et une -fonction $f : B^n \rightarrow B^n$, plusieurs évolutions sont possibles +Pour un entier naturel ${\mathsf{N}}$ et une +fonction $f : B^{\mathsf{N}} \rightarrow B^{\mathsf{N}}$, plusieurs évolutions sont possibles en fonction du schéma itératif retenu. Celles-ci sont représentées par un graphe orienté dont les noeuds -sont les éléments de $\Bool^n$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}). +sont les éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}). \begin{itemize} \item Le \emph{graphe des itérations synchrones} de $f$, noté $\textsc{gis}(f)$ -est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si +est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si et seulement si $y=f(x)$. -\item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{gia}(f)$ -est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si +\item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{giu}(f)$ +est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si et seulement s'il existe $x \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$. \item Le \emph{graphe des itérations généralisées} de $f$, noté $\textsc{gig}(f)$ -est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si +est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si et seulement s'il existe un ensemble $I\subseteq \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^I$. On peut remarquer que ce graphe contient comme sous-graphe à la fois celui des itérations synchrones et celui @@ -200,7 +225,7 @@ associés à $f$. \end{minipage} \label{fig:fsig} } - \subfigure[$\textsc{gia}(f)$]{ + \subfigure[$\textsc{giu}(f)$]{ \begin{minipage}{0.33\textwidth} \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{faig} @@ -232,23 +257,20 @@ On remarque le cycle $((101,111),(111,011),(011,101))$ \subsection{Attracteurs} On dit que le point -$x \in \Bool^n$ est un \emph{point fixe} de $f$ si $x = f (x)$. +$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ est un \emph{point fixe} de $f$ si $x = f (x)$. Les points fixes sont particulièrement intéressants car ils correspondent aux états stables: dans chaque graphe d'itérations, le point $x$ est un point fixe si et seulement si il est son seul successeur. -Dans le contexte des réseaux de régulation de gènes, -ces points fixes correspondent aux configurations stables pour l'expression de -gènes. -Soit $\Gamma$ un graphe d'itérations (synchrones, unaires ou généralisées) +Soit un graphe d'itérations (synchrones, unaires ou généralisées) de $f$. -Les \emph{attracteurs} de $\Gamma$ sont les +Les \emph{attracteurs} de ce graphe sont les plus petits sous-ensembles (au sens de l'inclusion) non vides -$A \subseteq \Bool^n$ tels que pour tout arc -$x \rightarrow y$ de $\Gamma$, si $x$ est un élément de $A$, alors +$A \subseteq \Bool^{\mathsf{N}}$ tels que pour tout arc +$x \rightarrow y$, si $x$ est un élément de $A$, alors $y$ aussi. Un attracteur qui contient au moins deux éléments est dit \emph{cyclique}. On en déduit qu'un attracteur cyclique ne contient pas de point fixe. @@ -261,18 +283,18 @@ On a la proposition suivante: \begin{theorem}\label{Prop:attracteur} Le point $x$ est un point fixe si et seulement si -$\{x\}$ est un attracteur de $\Gamma$. -En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de $\Gamma$ +$\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itération (synchrone, unaire, généralisé). +En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci sont les points fixes de $f$. -Ainsi pour chaque $x\in \Bool^n$, il existe au moins un chemin +Ainsi pour chaque $x\in \Bool^{\mathsf{N}}$, il existe au moins un chemin depuis $x$ qui atteint un attracteur. -Ainsi $\Gamma$ contient toujours au moins un attracteur. +Ainsi tout graphe d'itérations contient toujours au moins un attracteur. \end{theorem} \begin{xpl} -Les attracteurs de $\textsc{gia}(f)$ et de $\textsc{gig}(f)$ sont +Les attracteurs de $\textsc{giu}(f)$ et de $\textsc{gig}(f)$ sont le point fixe $000$ et l'attracteur cyclique $\{001, 101,111, 011 \}$. Les attracteurs de $\textsc{gis}(f)$ sont le point fixe $000$ @@ -284,7 +306,7 @@ Les interactions entre les composants du système peuvent être mémorisées dans la {\emph{matrice jacobienne discrète}} $f'$. Celle-ci est définie comme étant la fonction qui à chaque -configuration $x\in\Bool^n$ associe la matrice de taille +configuration $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$ associe la matrice de taille $n\times n$ telle que \begin{equation} f'(x)=(f'_{ij}(x)),\qquad @@ -298,7 +320,7 @@ $\overline{x}^j_j$ et $x_j$ sont considérés comme des entiers naturels dans $\Z$. Lorsqu'on supprime les signes dans la matrice jacobienne discrète, on obtient une matrice notée $B(f)$ aussi de taille -$n\times n$. +${\mathsf{N}}\times {\mathsf{N}}$. Celle-ci mémorise uniquement l'existence d'une dépendance de tel élément vis à vis de tel élément. @@ -307,7 +329,7 @@ les uns par rapport aux autres. Cette matrice est nommée \emph{matrice d'incidence}. \begin{theorem} -Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [n]$, +Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [{\mathsf{N}}]$, $f_i(\overline{x}^j)$ est égal à $f_i(x)$, \textit{i.e}, $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie. \end{theorem} @@ -316,11 +338,11 @@ $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie. En outre, les interactions peuvent se représenter à l'aide d'un -graphe $G(f)$ orienté et signé défini ainsi: -l'ensemble des sommets est -$[n]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe +graphe $\Gamma(f)$ orienté et signé défini ainsi: +l'ensemble des sommet %s est +$[{\mathsf{N}}]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe $s\in\{-1,1\}$, noté $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins -un $x\in\Bool^n$. +un $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$. On note que la présence de deux arcs de signes opposés entre deux sommets donnés @@ -400,7 +422,7 @@ La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complèt \begin{figure}[ht] \begin{center} - \subfigure[Matrice jacobienne de $f$.]{ + \subfigure[Matrice jacobienne]{ \begin{minipage}{0.90\textwidth} \begin{center} $ @@ -440,8 +462,8 @@ La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complèt \end{minipage} \label{fig:f:jacobienne} } - - \subfigure[Graphe d'interaction de $f$.]{ + ~ + \subfigure[Graphe d'interaction]{ \begin{minipage}{0.45\textwidth} \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{gf} @@ -450,7 +472,7 @@ La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complèt \end{minipage} } - \subfigure[Matrice d'incidence de $f$.]{ + \subfigure[Matrice d'incidence]{ \begin{minipage}{0.45\textwidth} \begin{center} $ @@ -468,24 +490,30 @@ La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complèt \end{minipage} } \end{center} -\caption{Représentations des dépendances entre les éléments de la fonction $f$ de l'exemple illustratif.} +\caption{Représentations des dépendances entre les éléments +de la fonction +$f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que +$(x_1, x_2, x_3) \mapsto +((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3, +x_1.x_3, +x_1 + x_2 + x_3)$} \end{figure} \end{xpl} -Soit $P$ une suite d'arcs de $G(f)$ de la forme +Soit $P$ une suite d'arcs de $\Gamma(f)$ de la forme \[ (i_1,s_1,i_2),(i_2,s_2,i_3),\ldots,(i_r,s_r,i_{r+1}). \] -Alors, $P$ est dit un chemin de $G(f)$ de longueur $r$ et de signe +Alors, $P$ est dit un chemin de $\Gamma(f)$ de longueur $r$ et de signe $\Pi_{i=1}^{r}s_i$ et $i_{r+1}$ est dit accessible depuis $i_1$. $P$ est un {\emph{circuit}} si $i_{r+1}=i_1$ et si les sommets $i_1$,\ldots $i_r$ sont deux à deux disjoints. -Un sommet $i$ de $G(f)$ a une {\emph{boucle}} -positive (resp. négative) , si $G(f)$ a un +Un sommet $i$ de $\Gamma(f)$ a une {\emph{boucle}} +positive (resp. négative) , si $\Gamma(f)$ a un arc positif (resp. un arc négatif) de $i$ vers lui-même. @@ -493,28 +521,28 @@ arc positif (resp. un arc négatif) de $i$ vers lui-même. \subsection{Conditions de convergence}\label{sec:Robert:async} Parmi les itérations unaires caractérisées par leurs stratégies -$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'éléments appartenant à $[n]$, +$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'éléments appartenant à $[{\mathsf{N}}]$, sont jugées intéressantes celles qui activent au moins une fois -chacun des $i\in[n]$. Dans le cas contraire, un élément n'est jamais modifié. +chacun des $i\in[{\mathsf{N}}]$. Dans le cas contraire, un élément n'est jamais modifié. Plus formellement, une séquence finie $S=(s^t)^{t \in \Nats}$ -est dite \emph{complète} relativement à $[n]$ si -tout indice de $[n]$ +est dite \emph{complète} relativement à $[{\mathsf{N}}]$ si +tout indice de $[{\mathsf{N}}]$ s'y retrouve au moins une fois. Parmi toutes les stratégies unaires de -$[n]^{\Nats}$, on qualifie de: +$[{\mathsf{N}}]^{\Nats}$, on qualifie de: \begin{itemize} \item \emph{périodiques} celles qui sont constituées par une répétition indéfinie -d'une même séquence $S$ complète relativement à $[n]$. +d'une même séquence $S$ complète relativement à $[{\mathsf{N}}]$. En particulier toute séquence périodique est complète. \item \emph{pseudo-périodiques} celles qui sont constituées par une succession indéfinie de séquences (de longueur éventuellement variable non supposée bornée) complètes. Autrement dit dans chaque stratégie pseudo-périodique, chaque indice de -$1$ à $n$ revient indéfiniment. +$1$ à ${\mathsf{N}}$ revient indéfiniment. \end{itemize} @@ -522,23 +550,24 @@ François Robert~\cite{Rob95} a énoncé en 1995 le théorème suivant de convergence dans le mode des itérations unaires. -\begin{theorem}\label{Th:conv:GIA} -Si le graphe $G(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie unaire est -pseudo-périodique, alors tout chemin de $\textsc{GIA}(f)$ atteint -l'unique point fixe $\zeta$ en au plus $n$ pseudo-périodes. +\begin{theorem}\label{Th:conv:GIU} +Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie unaire est +pseudo-périodique, alors tout chemin de $\textsc{giu}(f)$ atteint +l'unique point fixe $\zeta$ en au plus ${\mathsf{N}}$ pseudo-périodes. \end{theorem} Le qualificatif \emph{pseudo-périodique} peut aisément s'étendre aux stratégies généralisées comme suit. Lorsqu'une stratégie généralisée est constituée d'une -succession indéfinie de séquences de parties de $[n]$ -dont l'union est $[n]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}. +succession indéfinie de séquences de parties de $[{\mathsf{N}}]$ +dont l'union est $[{\mathsf{N}}]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}. J. Bahi~\cite{Bah00} a démontré le théorème suivant: \begin{theorem}\label{Th:Bahi} -Si le graphe $G(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie généralisée +Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie généralisée est pseudo-périodique alors -tout chemin de $\textsc{gig}(f)$ finit par atteindre +tout chemin de $\textsc{gig}(f)$ (et donc de $\textsc{giu}(f)$) +finit par atteindre l'unique point fixe $\zeta$. \end{theorem}