X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/hdrcouchot.git/blobdiff_plain/2b04820abccb0772b10b2c53542ecddc6a6f600c..fcbc9202a51285ff17060f4d330eca0d57b2a3c1:/annexePromelaProof.tex diff --git a/annexePromelaProof.tex b/annexePromelaProof.tex index 1f70e9f..3c0724c 100644 --- a/annexePromelaProof.tex +++ b/annexePromelaProof.tex @@ -1,41 +1,47 @@ -\JFC{Voir section~\ref{sec:spin:proof}} +%\JFC{Voir section~\ref{sec:spin:proof}} Cette section donne les preuves des deux théorèmes de correction et complétude du chapitre~\ref{chap:promela}. -\begin{lemma}[Strategy Equivalence]\label{lemma:strategy} - Let $\phi$ be a DDN with strategy $(S^t)^{t \in \Nats}$ and $\psi$ be its - translation. There exists an execution of $\psi$ with weak fairness s.t. the - scheduler makes \verb+update_elems+ update elements of $S^t$ at iteration $t$. +\begin{lemma}[Stratégie équivalente]\label{lemma:strategy} + Soit $\phi$ un système dynamique discret de stratégie $(S^t)^{t \in \Nats}$ + et $\psi$ sa traduction en PROMELA. + Il existe une exécution de $\psi$ sous hypothèse d'équité faible telle + le scheduler met à jour les éléments of $S^t$ + donnés par \verb+update_elems+ à l'itération $t$. \end{lemma} -\begin{Proof} - The proof is direct for $t=0$. Let us suppose it is established until $t$ is - some $t_0$. Let us consider pseudo-periodic strategies. Thanks to the weak - fairness equity property, \verb+update_elems+ will modify elements of $S^t$ at - iteration $t$. -\end{Proof} - -In what follows, let $Xd^t_{ji}$ be the value of -\verb+Xd[+$j$\verb+].v[+$i$\verb+]+ after the $t^{\text{th}}$ call to the -function \verb+fetch_values+. Furthermore, let $Y^k_{ij}$ be the element at -index $k$ in the channel \verb+channels[i].sent[j]+ of size $m$, $m \le -\delta_0$; $Y^0_{ij}$ and $Y^{m-1}_{ij}$ are respectively the head and the tail -of the channel. Secondly, let $(M_{ij}^t)^{t \in \{1, 1.5, 2, 2.5,\ldots\}}$ be a -sequence such that $M_{ij}^t$ is the partial function that associates to each -$k$, $0 \le k \le m-1$, the tuple $(Y^k_{ij},a^k_{ij},c^k_{ij})$ while entering -into the \verb+update_elems+ at iteration $t$ where +\begin{proof} + La preuve est directe pour $t=0$. + Supposons qu'elle est établie jusqu'en $t$ valant un certain $t_0$. + On considère des stratégies pseudo-périodiques. + Grâce à l'hypothèse d'équité faible, \verb+update_elems+ modifie + les éléments de $S^t$ à l'itération $t$. +\end{proof} + +Dans ce qui suit, soit $Xd^t_{ji}$ la valeur de +\verb+Xd[+$j$\verb+].v[+$i$\verb+]+ après le $t^{\text{ème}}$ appel +à la fonction +\verb+fetch_values+. +De plus, soit $Y^k_{ij}$ l'élément à l'indice $k$ +dans le canal \verb+channels[i].sent[j]+ de taille $m$, $m \le +\delta_0$; $Y^0_{ij}$ et $Y^{m-1}_{ij}$ sont respectivement la tête et la queue +du canal. +De plus, soit $(M_{ij}^t)^{t \in \{1, 1.5, 2, 2.5,\ldots\}}$ une séquence telle que +$M_{ij}^t$ est une fonction partielle qui associe à chaque +$k$, $0 \le k \le m-1$, le tuple $(Y^k_{ij},a^k_{ij},c^k_{ij})$ en entrant +dans la fonction \verb+update_elems+ à l'itération $t$ où % \begin{itemize} % \item - $Y^k_{ij}$ is the value of the channel \verb+channels[i].sent[j]+ - at index $k$, + $Y^k_{ij}$ est la valeur du canal \verb+channels[i].sent[j]+ + à l'indice $k$, %\item -$a^k_{ij}$ is the date (previous to $t$) when $Y^k_{ij}$ has been added and +$a^k_{ij}$ est la date (antérieure à $t$) mémorisant quand $Y^k_{ij}$ est ajouté et %\item -$c^k_{ij}$ is the first date at which the value is available on $j$. So, - the value is removed from the channel $i\rightarrow j$ at date $c^k_{ij}+1$. +$c^k_{ij}$ est le premier temps où cette valeur est accessible à $j$. +La valeur est supprimée du canal $i\rightarrow j$ à la date $c^k_{ij}+1$. %\end{itemize} -$M_{ij}^t$ has the following signature: +$M_{ij}^t$ a la signature suivante: \begin{equation*} \begin{array}{rrcl} M_{ij}^t: & @@ -44,205 +50,225 @@ M_{ij}^t: & \end{array} \end{equation*} -Intuitively, $M_{ij}^t$ is the memory of \verb+channels[i].sent[j]+ while -starting the iteration $t$. Notice that the domain of any $M_{ij}^1$ is $\{0\}$ -and $M_{ij}^1(0)=(\verb+Xp[i]+,0,0)$: indeed, the \verb+init+ process -initializes \verb+channels[i].sent[j]+ with \verb+Xp[i]+. - -Let us show how to make the indeterminism inside the two functions\linebreak -\verb+fetch_values+ and \verb+diffuse_values+ compliant with \Equ{eq:async}. -The function $M_{ij}^{t+1}$ is obtained by the successive updates of -$M_{ij}^{t}$ through the two functions\linebreak \verb+fetch_values+ and -\verb+diffuse_values+. Abusively, let $M_{ij}^{t+1/2}$ be the value of -$M_{ij}^{t}$ after the former function during iteration $t$. - -In what follows, we consider elements $i$ and $j$ both in $\llbracket 1, n -\rrbracket$ that are updated. At iteration $t$, $t \geq 1$, let -$(Y^0_{ij},a^0_{ij},c^0_{ij})$ be the value of $M_{ij}^t(0)$ at the beginning of -\verb+fetch_values+. If $t$ is equal to $c^0_{ij}+1$ then we execute the -instruction that assigns $Y^0_{ij}$ (\textit{i.e.}, the head value of -\verb+channels[i].sent[j]+) to $Xd_{ji}^t$. In that case, the function -$M_{ij}^t$ is updated as follows: $M_{ij}^{t+1/2}(k) = M_{ij}^{t}(k+1)$ for each -$k$, $0 \le k \le m-2$ and $m-1$ is removed from the domain of $M_{ij}^{t+1/2}$. -Otherwise (\textit{i.e.}, when $t < c^0_{ij}+1$ or when the domain of $M_{ij}$ -is empty) the \verb+skip+ statement is executed and $M_{ij}^{t+1/2} = +Intuitivement, $M_{ij}^t$ est la mémoire du canal +\verb+channels[i].sent[j]+ à l'itération $t$. +On note que le domaine de chaque $M_{ij}^1$ est $\{0\}$ et +$M_{ij}^1(0)=(\verb+Xp[i]+,0,0)$: en effet le processus +\verb+init+ initialise \verb+channels[i].sent[j]+ avec \verb+Xp[i]+. + +Montrons comment l'indéterminisme des deux fonctions +\verb+fetch_values+ et \verb+diffuse_values+ +permet de modéliser l'équation \Equ{eq:async}. +La fonction $M_{ij}^{t+1}$ est obtenue à l'aide de mises à jour successives +de $M_{ij}^{t}$ au travers des deux fonctions \verb+fetch_values+ and +\verb+diffuse_values+. Par abus, soit $M_{ij}^{t+1/2}$ +la valeur de $M_{ij}^{t}$ après la première fonction pendant l'itération + $t$. + +Dans ce qui suit, on considère les éléments $i$ et $j$ +dans $[ \mathsf{N} ]$. +A l'itération $t$, $t \geq 1$, soit +$(Y^0_{ij},a^0_{ij},c^0_{ij})$ la valeur de $M_{ij}^t(0)$ en entrant +dans la fonction +\verb+fetch_values+. +Si $t$ est égal à $c^0_{ij}+1$ alors on exécute +l'instruction qui affecte $Y^0_{ij}$ (\textit{i.e.}, la valeur de tête du +\verb+channels[i].sent[j]+) à $Xd_{ji}^t$. Dans ce cas, la fonction +$M_{ij}^t$ est mise à jour comme suit: $M_{ij}^{t+1/2}(k) = M_{ij}^{t}(k+1)$ pour chaque $k$, $0 \le k \le m-2$ et $m-1$ est supprimée du domaine de $M_{ij}^{t+1/2}$. +Sinon, (\textit{i.e.}, lorsque $t < c^0_{ij}+1$ ou lorsque le domaine de $M_{ij}$ +est vide) l'instruction \verb+skip+ est exécutée et $M_{ij}^{t+1/2} = M_{ij}^{t}$. -In the function \verb+diffuse_values+, if there exists some $\tau$, $\tau\ge t$ -such that \mbox{$D^{\tau}_{ji} = t$}, let $c_{ij}$ be defined by $ \min\{l \mid -D^{l}_{ji} = t \} $. In that case, we execute the instruction that adds the -value \verb+Xp[i]+ to the tail of \verb+channels[i].sent[j]+. Then, -$M_{ij}^{t+1}$ is defined as an extension of $M_{ij}^{t+1/2}$ in $m$ such that -$M_{ij}^{t+1}(m)$ is $(\verb+Xp[i]+,t,c_{ij})$. Otherwise (\textit{i.e.}, when $\forall l -\, . \, l \ge t \Rightarrow D^{l}_{ji} \neq t$ is established) the \verb+skip+ -statement is executed and $M_{ij}^{t+1} = M_{ij}^{t+1/2}$. - - -\begin{lemma}[Existence of SPIN Execution]\label{lemma:execution} - For any sequences $(S^t)^{t \in \Nats}$,\linebreak $(D^t)^{t \in \Nats}$, for - any map $F$ there exists a SPIN execution such that for any iteration $t$, $t - \ge 1$, for any $i$ and $j$ in $\llbracket 1, n \rrbracket$ we have the - following properties: +Dans la fonction \verb+diffuse_values+, +s'il existe un $\tau$, $\tau\ge t$ +tel que \mbox{$D^{\tau}_{ji} = t$}, soit alors $c_{ij}$ défini par $ \min\{l \mid +D^{l}_{ji} = t \} $. Dans ce cas, on exécute l'instruction qui +ajoute la valeur \verb+Xp[i]+ dans la queue du canal +\verb+channels[i].sent[j]+. Alors, +$M_{ij}^{t+1}$ est défini en étendant $M_{ij}^{t+1/2}$ à $m$ de sorte que +$M_{ij}^{t+1}(m)$ est $(\verb+Xp[i]+,t,c_{ij})$. +Sinon, (\textit{i.e.}, lorsque $\forall l +\, . \, l \ge t \Rightarrow D^{l}_{ji} \neq t$ est établie) l'instruction +\verb+skip+ +est exécutée et $M_{ij}^{t+1} = M_{ij}^{t+1/2}$. + + +\begin{lemma}[Existence d'une exécution SPIN]\label{lemma:execution} + Pour chaque séquence $(S^t)^{t \in \Nats}$,\linebreak $(D^t)^{t \in \Nats}$, + pour chaque fonction $F$, + il existe une exécution SPIN telle que pour toute itération $t$, $t + \ge 1$, et pour chaque $i$ et $j$ dans $[ \mathsf{N} ]$ + on a la propriété suivante: -\noindent If the domain of $M_{ij}^t$ is not empty, then +\noindent Si le domaine de $M_{ij}^t$ n'est pas vide, alors \begin{equation} \left\{ \begin{array}{rcl} M_{ij}^1(0) & = & \left(X_i^{D_{ji}^{0}}, 0,0 \right) \\ - \textrm{if $t \geq 2$ then }M_{ij}^t(0) & = & + \textrm{si $t \geq 2$ alors }M_{ij}^t(0) & = & \left(X_i^{D_{ji}^{c}},D_{ji}^{c},c \right) \textrm{, } c = \min\{l | D_{ji}^l > D_{ji}^{t-2} \} \end{array} \right. \label{eq:Mij0} \end{equation} -\noindent Secondly we have: +\noindent De plus, on a : \begin{equation} \forall t'\, .\, 1 \le t' \le t \Rightarrow Xd^{t'}_{ji} = X^{D^{t'-1}_{ji}}_i \label{eq:correct_retrieve} \end{equation} -\noindent Thirdly, for any $k\in S^t$. Then, the value of the computed variable -\verb+Xp[k]+ at the end of the \verb+update_elems+ process is equal to +\noindent Enfin, pour chaque $k\in S^t$, la valeur de +la variable \verb+Xp[k]+ en sortant du processus +\verb+update_elems+ est égale à $X_k^{t}$ \textit{i.e.}, $F_{k}\left( X_1^{D_{k\,1}^{t-1}},\ldots, - X_{n}^{D_{k\,{n}}^{t-1}}\right)$ at the end of the $t^{\text{th}}$ iteration. + X_{\mathsf{N}}^{D_{k\,{\mathsf{N}}}^{t-1}}\right)$ à la fin de la $t^{\text{ème}}$ itération. \end{lemma} -\begin{Proof} -The proof is done by induction on the number of iterations. +\begin{proof} +La preuve est faite par induction sur le nombre d'itérations. -\paragraph{Initial case:} - -For the first item, by definition of $M_{ij}^t$, we have $M_{ij}^1(0) = \left( - \verb+Xp[i]+, 0,0 \right)$ that is obviously equal to $\left(X_i^{D_{ji}^{0}}, +\paragraph{Situation initiale:} +Pour le premier item, par définition de $M_{ij}^t$, on a $M_{ij}^1(0) = \left( + \verb+Xp[i]+, 0,0 \right)$ qui est égal à $\left(X_i^{D_{ji}^{0}}, 0,0 \right)$. - -Next, the first call to the function \verb+fetch_value+ either assigns the head -of \verb+channels[i].sent[j]+ to \verb+Xd[j].v[i]+ or does not modify -\verb+Xd[j].v[i]+. Thanks to the \verb+init+ process, both cases are equal to -\verb+Xp[i]+, \textit{i.e.}, $X_i^0$. The equation (\ref{eq:correct_retrieve}) is then -established. - - -For the last item, let $k$, $0 \le k \le n-1$. At the end of the first -execution\linebreak of the \verb+update_elems+ process, the value of -\verb+Xp[k]+ is\linebreak $F(\verb+Xd[+k\verb+].v[0]+, \ldots, -\verb+Xd[+k\verb+].v[+n-1\verb+]+)$. Thus, by definition of $Xd$, it is equal -to $F(Xd^1_{k\,0}, \ldots,Xd^1_{k\,n-1})$. Thanks to \Equ{eq:correct_retrieve}, -we can conclude the proof. - - - -\paragraph{Inductive case:} - -Suppose now that lemma~\ref{lemma:execution} is established until iteration $l$. - -First, if domain of definition of the function $M_{ij}^l$ is not empty, by -induction hypothesis $M_{ij}^{l}(0)$ is $\left(X_i^{D_{ji}^{c}}, D_{ji}^{c},c -\right)$ where $c$ is $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-2} \}$. - -At iteration $l$, if $l < c + 1$ then the \verb+skip+ statement is executed in -the \verb+fetch_values+ function. Thus, $M_{ij}^{l+1}(0)$ is equal to -$M_{ij}^{l}(0)$. Since $c > l-1$ then $D_{ji}^c > D_{ji}^{l-1}$ and hence, $c$ -is $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. Obviously, this implies also that -$D_{ji}^c > D_{ji}^{l-2}$ and $c=\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-2} \}$. - -We now consider that at iteration $l$, $l$ is $c + 1$. In other words, $M_{ij}$ -is modified depending on the domain $\dom(M^l_{ij})$ of $M^l_{ij}$: +Ensuite, le premier appel à la fonction \verb+fetch_value+ +soit affecte la tête de \verb+channels[i].sent[j]+ +à \verb+Xd[j].v[i]+ soit ne modifie par +\verb+Xd[j].v[i]+. +Grâce au processus \verb+init+ process, +les deux cas sont égaux à +\verb+Xp[i]+, \textit{i.e.}, $X_i^0$. L'équation (\ref{eq:correct_retrieve}) est ainsi établie. + +Pour le dernier item, soit $k$, $0 \le k \le \mathsf{N}-1$. +A la fin de la première exécution du processus \verb+update_elems+, +la valeur de +\verb+Xp[k]+ est $F(\verb+Xd[+k\verb+].v[0]+, \ldots, +\verb+Xd[+k\verb+].v[+\mathsf{N}-1\verb+]+)$. +Ainsi par définition de $Xd$, ceci est égal à +$F(Xd^1_{k\,0}, \ldots,Xd^1_{k\,\mathsf{N}-1})$. Grâce à l'équation \Equ{eq:correct_retrieve}, +on peut conclure la preuve. + + + +\paragraph{Induction:} +Supposons maintenant que le lemme~\ref{lemma:execution} est établi jusqu'à +l'itération $l$. + +Tout d'abord, si le domaine de définition de la fonction $M_{ij}^l$ +n'est pas vide, par hypothèse d'induction $M_{ij}^{l}(0)$ est +$\left(X_i^{D_{ji}^{c}}, D_{ji}^{c},c +\right)$ où $c$ est $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-2} \}$. + +A l'itération $l$, si $l < c + 1$ alors l'instruction + \verb+skip+ est exécutée dans la fonction \verb+fetch_values+. + Ainsi, $M_{ij}^{l+1}(0)$ est égal à +$M_{ij}^{l}(0)$. Puisque $c > l-1$, alors $D_{ji}^c > D_{ji}^{l-1}$ et donc, $c$ +est $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. +Cela implique que +$D_{ji}^c > D_{ji}^{l-2}$ et $c=\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-2} \}$. + +On considère maintenant qu'à l'itération $l$, celui-ci vaut $c + 1$. +Dit autrement, $M_{ij}$ est modifié en fonction du domaine $\dom(M^l_{ij})$ de + $M^l_{ij}$: \begin{itemize} -\item if $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$ and $\forall k\, . \, k\ge l \Rightarrow - D^{k}_{ji} \neq l$ is established then $\dom(M_{ij}^{l+1})$ is empty and the - first item of the lemma is established; -\item if $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$ and $\exists k\, . \, k\ge l \land D^{k}_{ji} - = l$ is established then $M_{ij}^{l+1}(0)$ is $(\verb+Xp[i]+,l,c_{ij})$ that - is added in the \verb+diffuse_values+ function s.t.\linebreak $c_{ij} = - \min\{k \mid D^{k}_{ji} = l \} $. Let us prove that we can express - $M_{ij}^{l+1}(0)$ as $\left(X_i^{D_{ji}^{c'}},D_{ji}^{c'},c' \right)$ where - $c'$ is $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. First, it is not hard to - establish that $D_{ji}^{c_{ij}}= l \geq D_{ji}^{l} > D_{ji}^{l-1}$ and thus - $c_{ij} \geq c'$. Next, since $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$, then between - iterations $D_{ji}^{c}+1$ and $l-1$, the \texttt{diffuse\_values} function has - not updated $M_{ij}$. Formally we have +\item si $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$ et $\forall k\, . \, k\ge l \Rightarrow + D^{k}_{ji} \neq l$ sont vraies, alors $\dom(M_{ij}^{l+1})$ est vide et le premier + item du lemme est vérifié; +\item si $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$ et $\exists k\, . \, k\ge l \land D^{k}_{ji} + = l$ sont vraies, alors $M_{ij}^{l+1}(0)$ vaut $(\verb+Xp[i]+,l,c_{ij})$ qui est ajouté + dans la fonction \verb+diffuse_values+ de sorte que $c_{ij} = + \min\{k \mid D^{k}_{ji} = l \} $. + Prouvons qu'on peut exprimer + $M_{ij}^{l+1}(0)$ comme $\left(X_i^{D_{ji}^{c'}},D_{ji}^{c'},c' \right)$ où + $c'$ vaut $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. + Tout d'abord, il n'est pas difficile de prouver que + $D_{ji}^{c_{ij}}= l \geq D_{ji}^{l} > D_{ji}^{l-1}$ et que + $c_{ij} \geq c'$. + Ensuite, comme $\dom(M_{ij}^{l})=\{0\}$, alors, entre les + itérations $D_{ji}^{c}+1$ et $l-1$, la fonction \texttt{diffuse\_values} n'a pas mis à jour + $M_{ij}$. On a ainsi la propriété $$ \forall t,k \, .\, D_{ji}^c < t < l \land k \geq t \Rightarrow D_{ji}^k \neq t.$$ -Particularly, $D_{ji}^{c'} \not \in \{D_{ji}^{c}+1,\ldots,l-1\}$. We can apply -the third item of the induction hypothesis to deduce -$\verb+Xp[i]+=X_i^{D_{ji}^{c'}}$ and we can conclude. - -\item if $\{0,1\} \subseteq \dom(M_{ij}^{l})$ then $M_{ij}^{l+1}(0)$ is - $M_{ij}^{l}(1)$. Let $M_{ij}^{l}(1)= \left(\verb+Xp[i]+, a_{ij} , c_{ij} - \right)$. By construction $a_{ij}$ is $\min\{t' | t' > D_{ji}^c \land - (\exists k \, .\, k \geq t' \land D_{ji}^k = t')\}$ and $c_{ij}$ is $\min\{k | - D_{ji}^k = a_{ij}\}$. Let us show $c_{ij}$ is equal to $\min\{k | D_{ji}^k > - D_{ji}^{l-1} \}$ further referred as $c'$. First we have $D_{ji}^{c_{ij}} = - a_{ij} > D_{ji}^c$. Since $c$ by definition is greater or equal to $l-1$ , - then $D_{ji}^{c_{ij}}> D_{ji}^{l-1}$ and then $c_{ij} \geq c'$. Next, since - $c$ is $l-1$, $c'$ is $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{c} \}$ and then $a_{ij} - \leq D_{ji}^{c'}$. Thus, $c_{ij} \leq c'$ and we can conclude as in the - previous part. +En particulier, on a $D_{ji}^{c'} \not \in \{D_{ji}^{c}+1,\ldots,l-1\}$. +On peut donc appliquer le troisième item de l'hypothèse d'induction pour déduire +$\verb+Xp[i]+=X_i^{D_{ji}^{c'}}$ et on peut conclure. + +\item Si $\{0,1\} \subseteq \dom(M_{ij}^{l})$, alors $M_{ij}^{l+1}(0)$ vaut + $M_{ij}^{l}(1)$. Soit $M_{ij}^{l}(1)= \left(\verb+Xp[i]+, a_{ij} , c_{ij} + \right)$. Par construction, $a_{ij}$ vaut $\min\{t' | t' > D_{ji}^c \land + (\exists k \, .\, k \geq t' \land D_{ji}^k = t')\}$ et $c_{ij}$ est $\min\{k | + D_{ji}^k = a_{ij}\}$. Montrons que $c_{ij}$ est égal à $\min\{k | D_{ji}^k > + D_{ji}^{l-1} \}$, noté plus tard $c'$. On a tout d'abord $D_{ji}^{c_{ij}} = + a_{ij} > D_{ji}^c$. Puisque $c$ par définition est supérieur ou égal à $l-1$, + alors $D_{ji}^{c_{ij}}> D_{ji}^{l-1}$ et donc $c_{ij} \geq c'$. Ensuite, puisque + $c=l-1$, $c'$ vaut $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{c} \}$ et donc $a_{ij} + \leq D_{ji}^{c'}$. Ainsi, $c_{ij} \leq c'$ et on peut conclure comme dans la partie précédente. \end{itemize} -The case where the domain $\dom(M^l_{ij})$ is empty but the formula $\exists k -\, .\, k \geq l \land D_{ji}^k = l$ is established is equivalent to the second -case given above and then is omitted. +Le cas où le domaine $\dom(M^l_{ij})$ est vide mais où la formule $\exists k +\, .\, k \geq l \land D_{ji}^k = l$ est vraie est équivalent au second +cas ci-dessus et n'est pas présenté. -Secondly, let us focus on the formula~(\ref{eq:correct_retrieve}). At iteration -$l+1$, let $c'$ be defined as $\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. Two cases -have to be considered depending on whether $D_{ji}^{l}$ and $D_{ji}^{l-1}$ are -equal or not. +Concentrons nous sur la formule~(\ref{eq:correct_retrieve}). A l'itération +$l+1$, soit $c'$ défini par $c'=\min\{k | D_{ji}^k > D_{ji}^{l-1} \}$. Deux cas peuvent +apparaître selon que $D_{ji}^{l}$ et $D_{ji}^{l-1}$ sont égaux ou non. \begin{itemize} -\item If $D_{ji}^{l} = D_{ji}^{l-1}$, since $D_{ji}^{c'} > D_{ji}^{l-1}$, then - $D_{ji}^{c'} > D_{ji}^{l}$ and then $c'$ is distinct from $l$. Thus, the SPIN - execution detailed above does not modify $Xd_{ji}^{l+1}$. It is obvious to - establish that $Xd_{ji}^{l+1} = Xd_{ji}^{l} = X_i^{D_{ji}^{l-1}} = +\item Si $D_{ji}^{l} = D_{ji}^{l-1}$, puisque $D_{ji}^{c'} > D_{ji}^{l-1}$, alors + $D_{ji}^{c'} > D_{ji}^{l}$ et donc $c'$ est différent de $l$. L'exécution de SPIN + ne modifie pas $Xd_{ji}^{l+1}$. On a ainsi $Xd_{ji}^{l+1} = Xd_{ji}^{l} = X_i^{D_{ji}^{l-1}} = X_i^{D_{ji}^{l}}$. -\item Otherwise $D_{ji}^{l}$ is greater than $D_{ji}^{l-1}$ and $c$ is thus $l$. - According to \Equ{eq:Mij0} we have proved, we have - $M_{ij}^{l+1}(0)=(X_i^{D_{ji}^{l}},D_{ji}^{l},l)$. Then the SPIN execution - detailed above assigns $X_i^{D_{ji}^{l}}$ to $Xd_{ji}^{l+1}$, which ends the - proof of (\ref{eq:correct_retrieve}). +\item Sinon, $D_{ji}^{l}$ et plus grand que $D_{ji}^{l-1}$ et $c$ est donc égal à $l$. + Selon l'équation \Equ{eq:Mij0}, on a + $M_{ij}^{l+1}(0)=(X_i^{D_{ji}^{l}},D_{ji}^{l},l)$. Ainsi l'exécution SPIN + affecte $X_i^{D_{ji}^{l}}$ à $Xd_{ji}^{l+1}$, ce qui termine la preuve +(\ref{eq:correct_retrieve}). \end{itemize} -We are left to prove the induction of the third part of the lemma. Let $k$, $k +Il reste à prouver la partie inductive de la troisième partie du lemme. +Soit $k$, $k \in S^{l+1}$. % and $\verb+k'+ = k-1$. -At the end of the first execution of the \verb+update_elems+ process, we have +A l'issue de la première exécution +du processus \verb+update_elems+, on a $\verb+Xp[+k\verb+]+= F(\verb+Xd[+k\verb+][0]+, -\ldots,\verb+Xd[+k\verb+][+n\verb+-1]+)+$. By definition of $Xd$, it is equal -to $F(Xd^{l+1}_{k\,0}, \ldots,Xd^{l+1}_{k\,n-1})$. Thanks to -\Equ{eq:correct_retrieve} we have proved, we can conclude the proof. -\end{Proof} +\ldots,\verb+Xd[+k\verb+][+n\verb+-1]+)+$. +Par définition $Xd=F(Xd^{l+1}_{k\,0}, \ldots,Xd^{l+1}_{k\,n-1})$. +Grâce à~\Equ{eq:correct_retrieve} déjà prouvée, on peut conclure la preuve. +\end{proof} \begin{lemma} - Bounding the size of channels to $\textit{max} = \delta_0$ is sufficient when - simulating a DDN where delays are bounded by $\delta_0$. + Borner la taille du canal à $\textit{max} = \delta_0$ est suffisant + lorsqu'on simule un système dynamique dont les délais sont bornés par + $\delta_0$. \end{lemma} -\begin{Proof} - For any $i$, $j$, at each iteration $t+1$, thanks to bounded delays (by - $\delta_0$), element $i$ has to know at worst $\delta_0$ values that are - $X_j^{t}$, \ldots, $X_j^{t-\delta_0+1}$. They can be stored into any channel - of size $\delta_0$. -\end{Proof} +\begin{proof} + Pour chaque $i$ et $j$, à chaque itération $t+1$, comme les délais sont bornés par + $\delta_0$, l'élément $i$ doit connaître au plus $\delta_0$ + valeurs qui sont + $X_j^{t}$, \ldots, $X_j^{t-\delta_0+1}$. Elles peuvent être mémorisées dans n'importe quel canal + de taille $\delta_0$. +\end{proof} \promelasound* -\begin{Proof} +\begin{proof} % For the case where the strategy is finite, one notice that property % verification is achieved under weak fairness property. Instructions that % write or read into \verb+channels[j].sent[i]+ are continuously enabled leading % to convenient available dates $D_{ji}$. It is then easy to construct % corresponding iterations of the DDN that are convergent. % \ANNOT{quel sens donnes-tu a \emph{convenient} ici ?} - - Let us show the contraposition of the theorem. The previous lemmas have shown - that for any sequence of iterations of the DDN, there exists an execution of - the PROMELA model that simulates them. If some iterations of the DDN are - divergent, then they prevent the PROMELA model from stabilizing, \textit{i.e.}, not - verifying the LTL property (\ref{eq:ltl:conv}). -\end{Proof} + Montrons la contraposée du théorème. + Le lemme précédent a montré que pour chaque séquence d'itérations du système dynamique discret, + Il existe une exécution du modèle PROMELA qui la simule. + Si des itérations du système dynamique discret sont divergentes, leur exécution vont empêcher + le modèle PROMELA de se stabiliser, \textit{i.e.} + ce dernier ne vérifiera pas la propriété LTL (\ref{eq:ltl:conv}). +\end{proof} % \begin{Corol}[Soundness wrt universall convergence property]\label{Theo:sound} @@ -257,20 +283,22 @@ to $F(Xd^{l+1}_{k\,0}, \ldots,Xd^{l+1}_{k\,n-1})$. Thanks to \promelacomplete* -\begin{Proof} - For models $\psi$ that do not verify the LTL property (\ref{eq:ltl:conv}) it - is easy to construct corresponding iterations of the DDN, whose strategy is - pseudo-periodic since weak fairness property is taken into account. +\begin{proof} + Pour chaque modèle $\psi$ + qui ne vérifie pas la propriété LTL (\ref{eq:ltl:conv}), + il est immédiat de construire les itérations correspondantes du + système dynamique, dont la stratégie est pseudo-périodique en raison + de la propriété d'équité faible.. % i.e. iterations that are divergent. Executions are % performed under weak fairness property; we then detail what are continuously % enabled: % \begin{itemize} -% \item if the strategy is not defined as periodic, elements $0$, \ldots, $n$ are +% \item if the strategy is not defined as periodic, elements $0$, \ldots, $\mathsf{N}$ are % infinitely often updated leading to pseudo-periodic strategy; % \item instructions that write or read into \verb+channels[j].sent[i]+ are % continuously enabled leading to convenient available dates $D_{ji}$. % \end{itemize} % The simulated DDN does not stabilize and its iterations are divergent. - \end{Proof} + \end{proof}